Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Эта задача обнаружения сигнала на фоне помех относнтся к классу задач проверки статистических гипотез (см. и. 12.1.2). Обозначим через х(() реализацию случайного процесса Х(1), наблюдаемую на интервале 0(7(Т. Выдвигается гипотеза Не, что Х(1) =$((), где $(!) — случайная помеха, против альтернв тнвы Н„что Х(!) =з(!) Э$((), где з(1) — полезный сигнал н снмвол 8 характеризует взаимодействие сигнала з(1) с помехой $(!). Необходимо на основании определенного правила, оптнмаль. ного по некоторому критерию нлн эвристического, принять решенне т~ о наличии сигнала (прннять альтернативу Н~) нлн решевне Те об отсутствии сигнала (прннять гипотезу Не).
Как отмечалось в п.12.1.2, указанная общая постановка задачн проверки статистических гипотез не является нсчерпывающей. Ее необходимо дополнить укомплектованием априорных данных. !4 — 27 4!7 В этой главе предполагается, что помеха 5(1) — аддитивная и представляет центрированный гауссовский случайный процесс. Адднтивность означает, что символ Э заменяется знаком суммирования. Сигнал предполагается детерминированным, что соответствует так называемой задаче когерентного обнаружения. Рассмотрим одношаговые дискретно-аналоговые алгоритмы обнаружения. Вэтом случае непрерывная реализациях(1) подвергается временной дискретизации н наблюдение представляется выборкой заданного размера х= (хь ..., х„), х;=х;(1;), хяХ", М(0, Т), 1=1, и.
(15.1) Элементы выборки — гауссовские случайные величины, средние значения которых тд(х~~Но)=0, тю(х~)Н~)=зь з~=зЩ, 1=1, л. (152) Предполагается известной коварнационная матрица выборки х, которая равна К и при гипотезе, и нри альтернативе. Функции правдоподобия выборки х запишутся в виде [см. (2.64) ) ЯГ (х1Но) = (2п) '/о (йе1 К) — Мо ехр ( — — х' К-' х ), (15.3) 2 йУ (х~Н,) (2п) — "1о (бе1 К)-По ехр [ — — (х — з)' К-~ (х — з)~, 1 (15.4) где з=(зь ..., з„) — вектор сигнальных значений в моменты дискретизации.
За критерий качества алгоритма принятия решения выбираем критерий Неймана — Пирсона, который чаще всего используется в теории обнаружения сигналов. Поэтому указанный комплект априорных данных является полным для синтеза оптимального алгоритма обнаружения по принятому критерию (см. п. 12.4.6 и $12.6). Как и в общей теории проверки гипотезы Но против альтернативы Нь в теории обнаружения сигналов на фоне помех рассматриваются ошибки двух видов: первого рода — ложная тревога, когда принимается решение о наличии сигнала, а в действительности его нет, и второго рода, — пропуск сигнала, когда принимается решение о том, что сигнала нет, а в действительности он присутствует. Вероятности а ложной тревоги 5 пропуска сигнала а=Р(У~~Но), 5=Р(4о)НД.
(15.5) Вероятность правильного обнаружения сигнала 1 — 5=РЬ~Нд. (15.5а) Алгоритм обнаружения, оптимальный по критерию Неймана— Пирсона, обеспечивает максимум вероятности правильного обнаружения сигнала при заданной вероятности ложной тревоги. 418 где а' — дисперсия помехи и 1 — единичная матрица. Очевидно, что обратная матрица К-!=!/о'. Тогда согласно (15.3) и (15.4) функции правдоподобия выборки при гипотезе Н, и альтернати- ве Н, %7(х[Н»)-(2ное) — »м ехР ~ — — х'х~ 1 2а' » =(2ноз)-»!'ехр — — ~, 'хз1], 2а» 1 Яг(х]Нт) (2поз)»м ехр ~ — — (х — з)' (х— 2а! » — з) = (2 но') — "1' ехр — — ~ (хь — з„)' ь=! (! 5.7) (15.8) Как следует из общей теории проверки статистических гипотез (см.
я. 13.1.9), оптимальный по критерию Неймана — Пирсона алгоритм принятия решения предписывает сравнение с порогом достаточной статистики логарифма отношения правдоподобия. В рассматриваемом случае эта статистика равна 1п1(х) = — — [(х — з)' (х — з) — х' х] 2а» или »х 1»]' ! " !» з 1п 1(х) = — — — = — ~ з„х„- — ,'~ а» 2а» а» ! 2а» (15.9) Так как дисперсия помехи и детерминированный сигнал априори известны, то достаточной статистикой является также сумма у» (х) = з' х = Х захь. й-! (15.10) Теперь можно сформулировать оптимальный покритерию Неймана — Пирсона дискретно-аналоговый алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне независимой гауссовской ад- 14» 419 15.1.2. Синтез оптимального алгоритма обнаружения по независимой выборке.
Предположим сначала, что интервал дискретизации т».з т„ где т» — интервал корреляции стационарной гауссовской помехи. Так как т,т 1Я„ где Ь, — ширина полосы спектра помехи, то указанное условие означает т„б,)) 1. Время наблюдения Т=ит»У>ит . При указанных условиях элементы выборки (15.1) можно полагать практически некоррелированными, а так как распределение выборки нормальное, то с достаточным приближением можно полагать наблюдаемую выборку х независимой. В этом случае корреляционная матрица диагональная К= а'1 (15.6) дитивной помехи. Принимается решение у! о наличии сигнала, если у (х))с, (15.1'1) и решение тю о том, что сигнала нет, в противном случае.
Порог с в (115.!1) при заданной вероятности а ложной тревоги находим из урав~нения Р (ув (х) ) с [ Ню) = а. (15.12) Чтобы опредеЛить вероятность в левой части равенства (15.12), необходимо исследовать распределение статистики (15.10) при гипотезе Ню, т. е. когда выборка х представляет последовательность л независимых центрированных гауссовских величин с одинаковыми дисперсиями о'.
Ясно, что сумма у„(х) также представляет центрированную гауссовскую величину с дисперсией л ю р (у„(х)1Н ) 2'„вв рй (х) = ой ,'~ вй ой 1в1й. (15.13) й=! й ! Тогда Р (у„(х) ) с[Н,) (2 по' [з[') — пв х (15.14) или с=ха о~ в[, (15. 15) где х — процентная точка стандартного нормального распределения. Из (15.10), (15.11), (15,15) окончательно сформулируем алгоритм обнаружения сигнала: л та в'х Х айхй а! х о)в~.
(15.16) й ! те Этот алгоритм состоит в вычислении корреляционной суммы в'х и сравнении ее с порогом, который определяется известными априори вероятностью ложной тревоги а, дисперсией помехи о' и мощностью детерминированного сигнала [в[й. Этот алгоритм реализует дискретный коррелометр (рис. 15.1).
При байесовской трактовке критерия Неймана — Пирсона (см. п.13.1.9) порог с в алгоритме (15.11) представляет (при равно- вероятных гипотезе и альтернативе) отношение платы за ложную 420 тревогу к плате за пропуск сигнала. При уменьшении требуемой вероятности а ложных тревог повышается порог 1см. (15.15)) и, следовательно, увеличивается плата за ложную тревогу.
15.1.3. Анализ рабочей характеристики оптимального алгоритма обнаружения сигнала. Рабочей характеристикой оптимального алгоритма обнаружения сигнала на фоне помех назовем зависимость максимальной вероятности правильного обнаружения сигнала от заданной вероятности ложной тревоги при фиксированных априорных данных. Для того чтобы определить максимальную по критерию Неймана — Пирсона вероятность правильного обнаружения сигнала, необходимо исследовать распределение статистики в левой части (15.15), т, е, когда выборка х представляет аддитивную смесь сигнала и независимой гауссовской помехи.
Ясно, что линейная комбинация гауссовских случайных величин также представляет гауссовскую случайную величину, а ее среднее и дисперсия И Л л1~ (Уд (х)1Н() = г,' за /п~ (х») = ~ зь = 1а~ р (15,17а) рз (уь (х)~Н~) = л,' 3» рз (ха) = о,я зь = о 1з~ . (15.17б) Заметим, что при гипотезе и альтернативе «расстояние» между статистиками у„(х) (ср. с (13.82)] ш, (д„1НД вЂ” т, (у„~ Н„) ~ а ~ (и,(у„1Н, о ))и о Вероятность правильного обнаружения сигнала Р (у„(х) ) с ~Н») = 1 — () = 1 — Р(х„— — ) (15.19) (15.20а) или — з= ~зНо= й„, (15.20) где х„, х~ а — процентные точки стандартного нормального рас« пределения вероятностей.
Обозначая через 1(т„= — 2, з'ь мощ- П ь=! ность сигнала з(1), перепишем характеристику (15.20): х„— х1 З = (и К„,/о') нв . Соотношение (15.20) представляет рабочую характеристику оптимального алгоритма обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой гауссовской помехи в виде 421 хг-т дб Дс х„з у !12 44 йб дг а Рис.
!5.2. Линейная зависимость Рис. !5.3. Семейство рабочих характерипроцентных точек стик обнаружения сигнала линейной зависимости процентных точек х„н х1 а (рис. 15.2). Единственным параметром этой характеристики является величина г1„, пропорциональная квадратному корню из отношения мощности сигнала к дисперсии помехи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
