Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Представляет интерес синтез оптимальных аналоговых алгоритмов обнаружения сигналов на фоне адднтивных,гауссовских помех, использующих всю непрерывную наблюдаемую реализацию для решения о наличии или отсутствии сигнала. Как было показано в п. 13.9.3, оптимальный по любому из рассмотренных критериев качества аналоговый алгоритм проверки гипотезы Н, против альтернативы Н, предписывает сравнение с порогом логарифма функционала отношения правдоподобия. Поэтому для синтеза оптимального аналогового алгоритма обнаружения сигнала на фоне гауссовской помехи необходимо определить логарифм функционала отношения правдоподобия гауссовского случайного процесса с указанием ограничений, при которых этот функционал существует (см. п.
13.9.2). Имея в виду, что в дальнейшем будут рассмотрены также оптимальные алгоритмы различения сигналов на фоне аддитивных гауссовских помех, далее приводится вывод выражения логарифма функционала отношения правдоподобия для более общего случая, когда гипотеза Н, состоит в том, что наблюдаемая реализация принадлежит гауссовскому прцессу с корреляционной функцией В(1, у) и средним значением зз(1), а альтернатива Н, — в том, что реализация принадлежит гауссовскому ~процессу с той же корреляционной функцией и средним значением я~(1). Для рассматриваемой здесь задачи обнаружения зз(1) — = 0 и з~(1) =з(1).
15.2.2. Предел логарифма отношения правдоподобия для коррелированной выборки. Запишем логарифм отношения правдоподобия для дискретной выборки х=(хь ..., х ), полученной отбором на интервале (О, Т) через равные промежутки времени из реализации х(1) гауссовского случайного процесса 1см. (13.124)] 1п1(х) = х' К ' (з, — з ) — — (з, + з )' К ' (з, — з,) = 2 = ~'- — (з,+зо)'~К '(з,-за), (15.51) где х — вектор с компонентами х~г х(1д); зь з, — векторы с компонентами з х=з,(1ь), заь=зю(1ь), М=(О, Т), я=1, и; К=(В(гь 1;) ] — корреляционная матрица (положительно определенная) размером и Х п. Введем вектор Ч=К '(з~ — зо) ° (15.51а) Тогда з~ — з~ = КУ. (15.5!б) 431 Записывая компоненты вектора Ч в виде У(и!)Ьиь представим (15.516) интегральной суммой з~ (1) — зо (1) У, В (1, ит) Ъ' (ит) Л ин (15,51в) / ! Переходя к пределу при и- са (или при !пах ба;оО) на за!]анном / интервале наблюдения (О, Т), получаем неоднородное интегральное уравнение т ] В(1, и) У(и) о]а=з!(1) — з (1), О( $в-.Т, (15.52) о яз которого можно определить функцию У(и).
Представим те. перь (15.51) стохастической интегральной суммой 1п 1 (х) = 2' ,'т' (1!) ~х ((т) — ' рт) + о (Н) ] л 1 . (15.53) 2 Для любой гипотезы дисперсия этой интегральной суммы ]!а(!п 1(х)) = (а! ао)' ](. (э! ао) = (з! — зо) Ч о = Х ]г, (1,) — г, (1!)] ~,(1,) й 1,. / ! Если (15.54) 432 цоп р (1п 1(х)) = ] У (С) (з, (Х) — г (1)] д( = дог -со, (15.55) о "ФОО о то имеет место регулярный случай (см. п. 13.9.2) и логарифм отношения правдоподобия (15.53) сходится в среднеквадратнческом к логарифму функционала отношения правдоподобия !п']"(1)]="]р(1)']'(1)- ' (15.56) о 2 где У(!) — решение интегрального уравнения (15.52). Нетрудно найти также средние значения логарифма функционала отношения правдоподобия при гипотезе и при альтернативе: !п,(]п]]х(1)] Н ) = 1]шт,(1п1(х)]Н ) = — до /2, (15.57а) гн-оо т,(1п([х(1)] НД = 1]шт! (!п1(х)]Но) = д' /2, (15.576) л-ко где параметр 4Рт определяется по формуле (15;55) 1см.
(15.56)). 15.2.3. Вывод выражения логафима функционала отношения правдоподобия при помощи независимых координат. Используя У независимых координат наблюдаемого гауссовского процесса, получаем (см. и. 15:1.7) и 1п](х,..., хн) =. — —;~ ((х,— Оь)о — (хо — ао)о] = 2 о пд+Ьд Л д ! 2 = ~$х(1) — " +" ~ ~, ')г'Лд(Ьд — ад)«рд(1), о [ 2 (15.58) где т х = р' Лд ) х (г) «рд (1) г[1, (15.59а) о т ад = УЛд 1 зо (1) «рд (1) «(1. о т Ь, = )ТХ. У з, (1) р, (г) «(1, (15.59в) о )ьд и «рд(1) — собственные числа и собственные функции однородного линейного интегрального уравнения (15.38). Из (15.58) находим средние и дисперсию логарифма отношения правдоподобия (15.696) аг п««(1п1(х)[Н«) = — т,([п1(х)[Но) = — 2, '(Ьд — ад)а, 2 (15.60а) 1(15.61) 1п1(х„..., х„) = [ У„(1) ~х(1) — "(О+' () 1 Ф.
(15.63) о 2 Если дисперсия (15.60б) при Л! — э-оо ограничена, т. е. если' ' Условие (15.64) совпадает с условием регулярности (15.55). Действительно, т И~ Х (Ьд — а )'= Игп )' [«,(!) и («И т [(од~э) [/Л',~, (!))«)! д-! о д=! т т = 1пп ) Уи(!) [а1(0 — ао(!))ш= )'У(!) [а1(!) — аэ(!))«!! «)!я<со. и-'- о о При эхом (15.60а, б) совпадают с (15.57а, б), (15.55), если й«-~-сс. 433 р,([п1(х)[Н„Н!) = ~ (Ьд — ад)'. (15.606) ь-! Обозначим )г,(1) = ~', )ггЛд(Ьд — ад)«рд(1). д=! Умножая обе части (15.61) на В(1, и), интегрируя по 1 от 0 до Т и используя (15.38),,получаем ) В(1, и))г„(1) Й=.
2, ( д (15.62) о д=! [/Лд Используя (15.61), можно переписать выражение (15.58) в виде ОО 'у', (Ьд — ад)в( ~, ддм го существует конечный предел 11ш У, (1) =У(1), (15.65) и.+в причем функция У(1) определяется из следующего неодйородно- го линейного интегрального уравнения 1см. (15.59б), (15.59в), (15.62) ] т 4) В(1, и) 1'(и)би= 2;(Ьд — ад) !рд(1)ф)!д=з (1) — з (1), 0(1(Т. Это уравнение не отличается от (15.52).
При выполнении условия (15.64) из (15.65) следует, что лога- рифм отношения !правдоподобия (15.63) сходится в среднеквад- ратическом к функционалу 1п1(х(1)) =- ( У(1) ~х(1) — "()+'!(11,(1 2 Последнее выражение совпадает с (15.56). Когда ряд (15.64) расходящийся, логарифм отношения правдоподобия (15.63) стремится к оо, если верна гипотеза Но и к — оо, если верна гипотеза Нм 15.2.4.
Обобщение на комплексный гауссовский процесс. Распространим результаты п. 15,2,3 на комплексный гауссовский случайный процесс ~(1) с известной корреляционной функцией Вс (1 у) =т!(ь(1)ь(у)), где черта указывает на комплексно-сопряженную величину.
Найдем логарифм отношения правдоподобия для дискретной выборки (размером 2Л') независимых координат гд=хд+)уд, Й=1, Л!, (15.66) наблюдаемой на интервале (О, Т) реализации (1) = (1)+1у(1) (15.67) центрированного гауссовского процесса ь(1) =5(1) +1ч(1) (15.68) (гипотеза Нд), или гауссовского процесса ~(1)+з(1) =5(1)+а(1)+!(т1(4)+Ь(1)) (15.69) (гипотеза Н!), где з(1) =а(!)+1Ьг — детерминированная комплексная~ функция. Предполагается, что т!(5(и)5(о)) =т!(!1(и)т)(о)), т!Д(и) Х Хт1(о))= — т!(т1(и)4(о)), а также т!(4(1)) =т!(т)(1)) =О, т!(~х(1)+т1'(1))(оо, (15.70) 434 Пр гипотезе Н, т!( х )=т!(у!у )=О для Ь~т, (15.71а) т!( у )=О для всех Ь, т, (15.71б) т!( д) =т!(Уад) =1/2.
(15.71В) Введем кроме того, координаты детерминированного процесса зд = ад +1Ьд. (15. 72) Учитывая, что распределение случайных величин хм у» нормальное и при гипотезе, и при альтернативе, получаем аналогично (15.58) 1п1(х„, ум) = ~, '(адх, — Ьду» — (айа+Ьд)121 й=! или в комплексной форме д! д! 1п1(г„, гл) - Х 1гд~а — 1гд — зд)а-2ме 2, 'зд ( гд — — '" ), (15.74) й ! й! 2 (15.73) где г ад=~'Лд) г(1) фд(1) !(1, (15.75а) г з = 1' Лд ~ з(1) фд (1) г(1, о а Л» и грд(1) — собственные числа и собственные функции интегрального уравнения ' т !р (1) = Л) Вй (г, у) <р(у) с(у, О(г(Т.
(15.76) о Обозначим 1" (1) = ~ )'Лдад рд(1). й=! Из (15.77) аналогично (15.62) ) гВС(1, и) 1',ч(1) с(г= 2; (15.78) с д ! хЪЛ» Из (15.74) находим средние и дисперсию логарифма отношения правдоподобия д! т,(!п1(г)!Нт) = — т,(!п1(г)1На) — Х (а»1в> 2 й 1»а (1п 1(г)~Н„ Не) = 'У'. ~зд~'.
(15.79б) й 1 ' Нетрудно убедиться, что для комплексного случайного процесса корреляционная функция Нб(Ь у) симметрична и положительно определенна, а собственные числа Хй действительны и положительны. (15.75б) (15.77) (15.79а) 43ос Тогда (15.74) можно переписать следующим образом: !п1(г) = 2]се~ ]ти (1) [г(1) — — ! г]1. 2 л Если дисперсия (15.79б) при ]о'-е-со ограничена, т. е. есди ' ~]аа]'<-, (15.81) (15.83) т ] [Ва(т, и)+Вч(1, и)] [т~(и) о[и+ е т +] [Вче(т, и) — Вге([, и)][го(и)о[и=!арпа(1), 0(1(7', (15,845) о При выполнении условия (15.81) логарифм отношения правдоподобия (~15.80) сходится в среднеквадратическом к функционалу 1п 1 [г (1)] = 2[[е ] ]т (г) ~ г (1) — а ( ) ~ г[Е о 2 (15.85) 15.3. ОНТИМАЛЬНЫЕ АНАЛОГОВЫЕ АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ 15.3.1.
Синтез оптимального алгоритма и его рабочая характеристика. Рассмотрим задачу обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной гауссовской помехи,:постановка которой и необходимые априорные данные для ее решения приведе- ' Условие (!5.81) легко преобразуется к виду, аиалогичиопу (15.55). 436 то существует предел 1[ш Уи'(1) = [т (1). (15,82) и->в Функция ]г(1) определяется из неоднородного линейного интегрального уравнения, которое получается нз (15.78) при [1[-з-оо т ~ В5(1, и)[У(и) [и=о([), 0<1<т.
Интегральное уравнение (15.83) в комплексной форме эквивалентно системе двух интегральных уравнений относительно действительной Ув(1) и мнимой Уг(1) частей: ) [Ве([, и)+В„(1, и)] [та(и) ди+ о т +] [Вач(1, и) — Вча(1, и)]]та(и)а[и=Вез([), 0(1(7', (1584а) о (15.88) (15.896) ны в п 15.1.1. Будем, однако, предполагать, что наблюдаемая ре- ализацйя х(1) не подвергается дискретизации и необходимо син- тезировать оптимальный по критерию Неймана — Пирсона анало- говый алгоритм обнаружения. Для этого используем выражение (15.5б) логарифма функционала отношения ~нравдоподобия для гауссовского случайного процесса, полагая з~(1) =з(1) и зо(1) =О.
Так как з(1) — детерминированный сигнал, а функция Р(1) определяется априорными данными 1см. (15.52)], то достаточной статистикой является случайная величина [линейный функционал от реализации х(1)1 т у т = ) у (г) х (1) й, (15.8б) о где функция )т(1) представляет решение интегрального уравнения т ) В(1 — и)1'(и)4(и=з(1), 0(1(Т, (15.87) о где В(т) — корреляционная функция гауссовской помехи. Оптимальный аналоговый алгоритм обнаружения предписыва- ет сравнение функционала (15.86) (так называемого корреляци- онного интеграла) с порогом т~ ут с, та который определяется заданной вероятностью а ложной тревоги.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
