Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Комплексная огибающая узкополосного процесса. Воспользуемся комплексным представлением реализаций помехи как узкополосного стационарного случайного процесса (см. п.10.1.2): х(1) =Бег(1)ехр(!оо(), (15.112) где г(1) — комплексная огибающая помехи, связанная с ее огибающей «(!) и фазой д(1) соотношением з(1) «(1) ехр (!6(1)], (15.112а) причем г(1) =А(г) +1С(1), (12.112б) где АД) н С(1) — квадратурные составляющие помехи.
Для гауссовской помехи эти составляющие распределены нормально. Комплексная огибающая квазидетерминированного сигнала (!5.11 1) г, (г) = а (1) ехр1! ф. (1) ], (15.113) з (1) = Р е з, (1) ехр (на от) ехр (! сро) . (15.113а) При гипотезе Н, (сигнала нет) наблюдаемая реализация помехи связана с ее комплексной огибающей соотношением (15.112), а при альтернативе Н, (сигнал присутствует) наблюдаемая реализация х(!) =Йе(г(1) +г,,(т) ехр (! <ро) ] ехр (! ао1). (15.113б) Из (15.112) и (15.1!Зб) следует, что при гипотезе, и при альтернативе для каждого фиксированного значения фазы ~рэ сигнала вероятностные характеристики наблюдаемой реализации х(1) высокочастотного процесса полностью определяются вероятностными характеристиками комплексной огибающей г(1) помехи (нли ее квадратурными составляющими, медленно изменяющимися по сравнению с высокочастотным колебанием соз ыо!).
Поэтому для синтеза оптимального дискретно-аналогового алгоритма обнаружения детерминированного узкополосного сигнала на фоне стационарной узкополосной помехи с центральной частотой ао спектра, совпадающей с несущей частотой сигнала, можно использовать выборки комплексной огибающей помехи (или выборки ее квадратурных составляющих). Такой алгоритм обнаружения, который можно назвать оптимальным амплитуднофазовым (см. 116], п.
6.3.6), будет так же эффективен, как и оптимальный дискретно-аналоговый алгоритм обнаружения, синтезированный на основе выборки наблюдаемого высокочастотного процесса. 443 где В,(т) = — т,(г(1)г(!+т)) 1 (15.116) — корреляционная функция комплексной огибающей помехи, действительная и мнимая части которой совпадают с корреляционной и взаимнои корреляционной функциями квадратурных составляющих А(1) и С(1) помехи; )те В,(т) =В,,(т) =Во(т), '(15.116а) 1гпВ,(т) =Влс(т) = — Вол(т). '(15.1166) Заметим, что для симметричного относительно частоты спектра помехи Влс(т)= — О, В,(т) =Вл(т) и решения интегрального уравнения (15.115) — действительные функции. Из (15.114) и (15.115) имеем т1(гай,4 =26о .
Нетрудно показать, что т~(гьг„Д =0 (15.1 1 7а) для всех й и т. Если хо и уь — действительная и мнимая части координаты гь (т. е. координаты квадратурных составляющих), то из (15.117), (15.117а) следует (см. п. 15.2.4) т (хьу„) =0 для любых й, т; '(15.118а) т1(хьх„Д=т1(у„у ) =0 для йчьт; (15.1186) т,(хоо) =т,(уоь) =1, (15.118в) Кроме того, для помехи (гипотеза Н,) т~(г(1)) =О, и, следовательно, т~(го!Но) =т1(хо')Но) =т1(уо!Но) =О, 1'15.118г) (15.117) ' В качестве упражнения рекомендуется рассмотреть мгновенную дискретизацию комплексной огибающей (см. также задачу 15.9). 444 15.4.3. Независимые координаты комплексной огибающей гауссовского случайного процесса.
Рассмотрим фильтровой способ дискретизации комплексной огибающей (см. пп. 15.1.7 и 15.2.4). В результате такой дискретизации получаем совокупность некоррелированных координат комплексной огибающей ' т „=~ Х,~г(1)~,тбу, В-), )Ч. (15.114) о Здесь ).ь и ~ро(4) — собственные числа и собственные функции интегрального уравнения г ор(1) ЯЧВ,(! — и) р(и)г!и, 0(1(Т, (15.115) а а для смеси помехи с сигналом (гипотеза Н,) т«(г(1)) = г,(1)ехр(! «ро) и поэтому т«(гд]Н,) д адехр (! «ро), т«(хд] Н«) =ад соз фо — Ьд зйпфо, т,(уд] Н,) =ад з!и «ро+Ьд соз «ро, (15.119г) Так как компоненты координат комплексной огибающей гауссовского узкополосного процесса распределены нормально, то случайные величины х«, у„..., хи, уи представляют совокупность независимых случайных величин.
15.4.4. Оптимальные дискретно-аналоговые алгоритмы обнаружения квазидетерминироваииых сигналов. Условный (при фиксированной фазе фо) логарифм отношения прадоподобия при использовании 2У независимых координат хь уо 1=1, Н, наблюдаемого процесса можно записать в виде (ср. (15.44)) (15.120а) 1п1(гм..., г«о]фо) = ~', [«те(гдздехр( — 1«ро)) — ]ад[о!2]. (15.1206) Из (15.120б) следует, что при фиксированной фазе ф, оптимальный амплитудно-фазовый дискретно-аналоговый алгоритм обнаружения детерминированного узкополосного сигнала на фоне аддитивной узкополосной гауссовской помехи имеет вид (15.120в) Статистика в левой части неравенств (15.120в) представляет линейную функцию от независимых координат хю уд квадратурных составляющих наблюдаемой реализации узкополосного случай.ного процесса.
445 где т зд ад+1Ь =)~Гд~ г,(1) «рд(1) «(1. 1п1(х„у„..., хм, уд«[фо) = «о — — ~,' [х' + у' — (хд — ад соз фа + Ьд з!п «р,)'— 2 — (уд — ад з[п «р, — Ьд соз «р,)'], илн в комплексной форме (см. (15.80)! ~ !4е [гд зд ехр ( — ! «ро)] = ~'„[(ад соз «ро — Ьд з!и «р ) ха + д-о д-1 то + (ад ебп фо + Ьд соз фо) уд] и с. то (15.119а) (15.119б) (15.119в) ЕСЛИ МЕШаЮЩИй ПаРаМЕтР 4Рг — СЛУЧайНЫй И РаСПРЕДЕЛЕН РаВ- номерно на интервале (О, 2л), то усредненное по этому параметру отношение правдоподобия (см. (15.120б) ) гл Л(а„..., зм) = — ) 1(з„..., зя(<Рю) г('Ро = хл о (15.! 21) где ту= Еяьаь ° 14-! ~рм=агс1я 1гп Хяь7ь/Йе 2,'в„аь .
ь-1 ь 1 (15.121а) (15.1216) Используя известное интегральное представление функции Бесселя от мнимого аргумента (см., например, п.3.2.3), получаем окончательно У Л(з„..., яя) =1 (гэ) ехр — — 2', (эь)г . 2 (!5.122) Экспоненциальный сомножнтель в (15.122) зависит только от априорных данных, а функция 14(гэ) монотонно возрастает при гэ)0. Так как случайная величина гн)0 (см.
(15.121а)), то из (15,122) следует, что усредненное отношение правдоподобия является монотонной функцией статистики гэ=гм(зь ..., зэ). Поэтому оптимальный (по любому из рассмотренных в гл. 12 критериев) дискретно-аналоговый алгоритм обнаружения квазидетерминированного сигнала на фоне аддитнвной узкополосной гауссовской помехи предписывает сравнение с порогом статистики (15.121а): Ую гл ~с. т. При использовании критерия Неймана — Пирсона порог с определяется заданной вероятностью а ложной тревоги.
Для определения порога с в (15.122а) по заданному значению а и для вычисления вероятности правильного обнаружения необходимо знать распределение случайной величины гэ при гипотезе Н, и при альтернативе Н,. Нетрудно найти это распределение. Действительно, случайные величины зь представляют независимые комплексные нормальные случайные величины с нулевыми средними, когда верна гипотеза Н,, и со средними, равными злехр(! ~рг), когда верна гипотеза Н,. Для обеих указанных гипотез дисперсии этих величин. мг()зь() =т1(зьйь» =2. 446 (15.125) (15.
127) Отсюда следует, что случайная величина гэ представляет модуль комплексной гауссовской случайной величины (или случайного вектора с независимыми компонентами), дисперсия которой равна 2 Е ~зь~', а среднее значение равно нулю, когда верна гипоь-! теза Н,, и равна ехр(1!р0) Х (зь(', когда верна гипотеза Н!. ь-! Распределение модуля такого вектора было подробно рассмотрено в п. 3.2.3, из которого следует, что случайная величина гэ подчиняется рэлеевскому распределению и!,и (г) = — ' ехр ~ — ', г ) О, (15.123) лэ '[ (ы') если справедлива гипотеза Н,, и обобщенному рэлеевскому распределению и!„(г) = — ехр [ — (аз+ д4,)/(2!(„'Ц 1,(г), г О, (15.124) !ч л2 если верна гипотеза Нь В формулах (15.123) и (15.124) [ср. с ('15.47)) Р! = 2; )з )э. ь=! Из (15.123) следует а=Р(г„)с~Н0) =ехр [ — с'((2!!'э)), (15.126) откуда в алгоритме (15.122) с = Ач [21п (1/а) ! !!'.
Вероятность правильного обнаружения ф ! уэ!ь(!!а) ! хх м — ! 1 р(- "1-, ! * р( — — *!1,!~)л. (15~28! 2 ' а "' 2 / Интеграл в (15.128) табулирован (см., например, [4)). Формула (15.128) представляет зависимость вероятности правильного обнаружения от вероятности ложной тревоги — рабочую характеристику обнаружения. Параметром этой характеристики является величина дн, определяемая из (15.125). 15.4.5.
Оптимальные аналоговые алгоритмы обнаружения квазидетерминированных сигналов. Рассмотрим задачу синтеза оптимального алгоритма обнаружения квазидетерминированного сигнала при условии, что используется вся наблюдаемая на интервале (О, Т) реализация х(1), а не конечный набор ее координат, как в 15.4.4. Из (15.85), подставляя вместо з(!) величину г,(1)ехр (1!р,), находим выражение для функционала отношения правдоподобия, соответствующее комплексной огибающей г(1) процесса х(1) при заданной фазе Ч!0.' т 1[а(1)]фо] ехр Йе)' У(1; «р,) а(1) «И х о (15.130) (15.132в) т хехр — — йе ]' У(1; «ро) г,,(() ехр( — 1«р,) «1«', (15.129) о где УД; фо) определяется из неоднородного линейного интеграль- ного уравнения [см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
