Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Параметры этих величин (координат) т~(хх)Н4 =О, (15.41 а) т гп (хь(НД =)' Л ~ з(1) ф„(1) о(=зю (15.416) 4 ~х~~ ~ г т~ /ну-(2 ) "" »р( — ~"~ )=Е ~ ~в р/ — — Е*,'~, 2 (15,42) , 'йг (х! Н,) = (2п) ~~ ехр ( — ) = 2 = (2п) ~' ехр — — Х (х„— зх)' 2 (15.43) Теперь достаточная статистика логарифма отношения правдоподобия 1п1(х) = — ()х — з(' — (х(')/2=х'з — )з('/2 (15.44) или где з„— координата детерминированного сигнала при указанном фильтровом способе его дискретизации, т т р, (х„( Н,, Н ) = Л„( ( В (1 — у) ~р„(1) ~рд (у) ду й = о о 1 =~ фе (1) й= 1. (15.41в) Устройство, реализующее фильтровой способ дискретизации наблюдаемой реализации, (рис.
15.5) используется и для формирования координат з„, Й= 1, М, детерминированного сигнала, если на входы фильтров подается детерминированный сигнал з(1). 15.1.8. Оптимальный алгоритм обнаружения по независимым координатам. Рассмотрим задачу синтеза оптимального дискретно-аналогового алгоритма обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной гауссовской помехи при фильтровом способе дискретизации наблюдаемой реализации х(1) случайного процесса. Достаточная статистика формируется на основе независимых координат хю 1=1, М, определяемых согласно (15.40) и представляющих гауссовские случайные величины, средние и диоперсии которых (при гипотезе и альтернативе) находят по формулам (15.41а — в) . Функции правдоподобия выборки х= (х„..., хи), составленной из указанных независимых координат, запишутся в виде и М !п1(х) = 2;(зххд — — 2; з', ь=! 2 (15.44а) 427 Рмс.
уб.б. Схема фильтровой дискретизации: Фа — линейный фильтр с импульс. ной характеристикой (13.39(; ИУ— блок, н котором хранятся собстнеи. ные функции н собстненные кисла интегрального ураниения (13.33) для заданной корреляционной функции помехи (15.46) 428 Следует иметь в виду, что формула (15.44а) не отличается от формулы (15.9) только потому, что для разных величин исполь- зованы одинаковые обозначения. В (15.9) величина хд получена путем мгновенной дискретизации при условии, что интервал диск- ретизации достаточно большой, поэтому можно не учитывать коррелированность значений помехи и полагать выборку незави- симой. В (15.44а) величина хд,получена путем фильтровой диск- ретизации, которая зависит от корреляционной функции помехи, хотя и позволяет сформировать независимую выборку. Аналогич- ное замечание относится и к величине здь В (15.9) зд — значение сигнала з(1) в момент (м а в (15.44а) — координата сигнала з(1) в базисе собственных функций интегрального уравнения (15.38) и, следовательно, определяется и сигналом, и корреля- ционной функцией помехи 1см.
(15.41б)]. Из последнего замеча- ния следует, что второе слагаемое в (15.44а) представляет априо- ри известные даннь!е о сигнале и помехе и поэтому достаточной статистикой является также У,(х) = х'3= ~„'адхд, (15,45) 3=1 которая представляет гауссовскую случайную величину. При гипотезе Но (сигнала нет) т,(ущ (х)(Н,) = 2; 3 т,(хд1(Н ) =О, д-! )33(Ущ(х)~Н,) = ~ 3,'Р,(хд~Н,) = ~ 3,'=)з~'=4,. (15.47) д-! д-! Из (15.45) — (15.47) находим значение порога при заданной ве- роятности а ложной тревоги 1ср.
с (15.14) и (15.29)]: с=хи (уг(у, (15.48) где х„— процентная точка нормального распределения вероят- ности, а величина б(д! определяется по формуле (15.47). Оптимальный по критерию Неймана — Пирсона алгоритм об- наружения запишется в виде д( та ум(х)= Хздхд ~х„(1„. (15.49) д-! та Раб((чая характеристика обнаружения х,„~ — х, а=И, (15.50) в рассматриваемом случае формально совпадает с (15,20) и (15.87).
Необходимо учитывать лишь, что параметр галл рабочей характеристики отличается от соответствующих параметров Ы„ для рабочих характеристик алгоритмов, синтезированных по вы- боркам, которые получены путем мгновенной дискретизации.
Од- нако и при этом можно использовать графики рабочих характе- ристик, изображенных на рис. 15.2 и 15.3, если заменить параметр д„параметром й„согласно формуле (15.47), которая учитывает и внд сигнала, и корреляционную функцию помехи. Заметим, что и в рассматриваемом случае параметр дл равен «расстоянию» между статистиками ул(х) при гипотезе и альтернативе. Статистика (15.45), как и (15.10), (15.26), представляет кор- реляционную сумму и, следовательно, структурные схемы диск- ретного коррелометра (рис. 15.1) и цифрового фильтра (рис. 15.4) представляют устройства, реализующие алгоритм (15.49), если только иметь в виду, что выборочные значения хь и сигнальные значения зд на этих схемах заменены величинами на выходах фильтров Фь (рис.
15.6), когда на их входы действуют наблюдае- мая реализация х(1) и детерминированный сигнал з(1) соответст- венно. 15.1.9. Сопоставление рассмотренных дискретно-аналоговых алгоритмов обнаружения. Сопоставим рассмотренные три типа оптимальных дискретно-аналоговых алгоритмов обнаружения де- терминированного сигнала на фоне аддитивной гауссовской по- мехи по трем признакам: сложность алгоритма; необходимое вре- мя наблюдения (размер выборки) для получения требуемой ха- рактеристики обнаружения; характеристика обнаружения при фиксированном времени наблюдения. Сравнение производится для заданного детерминированного сигнала, заданных вероятно- стных характеристик гауссовской помехи и заданной вероятности ложной тревоги.
Все три оптимальных алгоритма обнаружения (15.11), (15.32) и (15.49), полученные прн различных условиях формирования вы- борки заданного размера, основаны на вычислении корреляци- онной суммы н сравнении ее с порогом. Эти операции реализуют- ся дискретным коррелометром или соответствующим цифровым фильтром. Поэтому сложность алгоритма и устройства, реализую- щего алгоритм, зависит от метода получения выборочных значе- ний хд, весовых коэффициентов зь и параметра характеристики обнаружения.
Наиболее простым является алгоритм (15.11), когда хь=х((ь), зь=з(1ь), а параметр д'„равен произведению размера выборки на отношение сигнал-помеха. Однако для получения выборки необходимого размера следует располагать очень большим временем на- 429 блюдения, чтобы выполнить условие независимости выборки при котором синтезирован указанный алгоритм. Более сложным является алгоритм (15,32), так как длй вычисления весовых коэффициентов ид и параметра г('„необходимо выполнить операцию обращения корреляционной матрицы большого размера.
Но при этом коррелированную выборку размером а можно получить при существенно меньшей длительности наблюдения по сравнению с той, которая требуется для получения независимой выборки того же размера, Конечно, может оказаться, что при одинаковых ррзмерах выборки характеристика обнаружения алгоритма (15.11) будет лучше, чем у алгоритма (15.32), и тогда для достижения одинаковой эффективности обнаружения придется увеличить размер коррелированной выборки, не увеличивая при этом длительности наблюдения.
Однако в некоторых случаях эффективность алгоритма (15.32) может оказаться выше, чем у алгоритма (15.11) даже при одинаковом размере выборки. Для иллюстрации последнего утверждения рассмотрим простейший случай постоянного сигнала з(1) =а и в=2. Тогда для независимой выборки параметр пэ(">= — 1)Г2 (см, (15.18)). Для коррелирована а ной выборки, как нетрудно подсчитать, параметр Аы~= — м а х ~, где )г — коэффициент корреляции между выборочными -а/ 2 'г' 1+я' значениями (см. (15.31Ц.
Следовательно, А<">/А<">=$'1+1, ~К((1, и это отношение больше единицы, если Я)0, и меньше единицы, если Я(0. При монотонном изменении корреляционной функции помехи алгоритм с независимыми выборками более эффективен, чем с коррелированными, ио при знакоперемепной корреляционной функции эффективность алгоритма с коррелироваиными выборками может оказаться выше, чем с независимыми.
Наиболее сложным, на первый взгляд, представляется алгоритм (15.49), так как для получения выборочных значений и весовых коэффициентов корреляционной суммы необходима система цифровых фильтров, импульсные характеристики которых являются решениями интегрального уравнения (15.38). Однако, как показывает пример, приведенный в [48), при одинаковом времени наблюдения н одинаковом размере выборки (Мг п) характеристика обнаружения алгоритма (15.38) лучше, чем у алгоритма (15.32). При заданной вероятности правильного обнаружения и фиксированной длительности наблюдения число У «декоррелирующих» фильтров может оказаться существенно меньшим, чем размер п коррелированной выборки.
15.2. ФУНКЦИОНАЛ ОТНОШЕНИЯ ПРАВДОПОДОВИЯ ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА 15.2.1. Предварительное замечание. Прн использовании дискретно-аналоговых алгоритмов неизбежны потери части полезной 430 инф мации, содержащейся в наблюдаемой реализации случайного процесса. Эти потери связаны с ограниченностью раз~мера выб ки прн мгновенной временной дискретизации непрерывной реал зации и с конечным числом независимых координат реализаци при фильтровом способе ее дискретизации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
