Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Случайная вел~ичина ут как линейный функционал гауссовско- го процесса распределена нормально с параметрами тл, (ут~ Н,) = О, (15.89а) т тл,(ут(Н1) ~$'(1)з(1)й, т т р,(ут~Н„Н,) = )" )" В(1 — и) т'(1) т'(и) й4(и (15,89в) о о или с учетом (15.87) т ~,(ут(Н„Н,) = ( У(1)з(1)ж. (15.89) о Обозначим т сР = ) 17(1)з(1)й. Тогда из уравнения Р (у т ) с ~ Нз) = (2п 41' ) — '1' ) ехр с находим с = х„И~. (15.90) (15.91) 437 Таким образом, в соответствии с (15.88) принимается решение т, о наличии сигнала, если т ~ )7(1) х (1) й = х„— йт, (15.92) о и решение уо о том, что сигнала нет, в противном случае.
Вероятность правильного обнаружения 1 — (1 =Р(ут' с~Н,) =1 — у(х„— ит). (15.93) Используя (15.93), запишем рабочую характеристику оптимального аналогового алгоритма обнаружения сигнала х« — х~ в ит, (15.94) где ко, х~ в — процентные точки нормального распределения вероятностей; г(т — параметр обнаружения, определяемый из (15.90). Из (15.20), (15.37), (15.50) и (15.94) следует, что рабочие характеристики всех рассмотренных оптимальных дискретно-аналоговых алгоритмов обнаружения и оптимального аналогового алгоритма одинаковы и отличаются лишь параметрами обнаружения.
Графики рабочих характеристик, изображенные на рис. 15.2 и 15.3, можно использовать и для оптимального аналогового алгоритма обнаружения, если заменить параметр г(„параметром г)т. Параметр йт зависит от вида сигнала и корреляционной функции помехи (см. (15.90) и (15.87)1 и равен «расстоянию» между статистиками ут при гипотезе Н, и альтернативе Нь 15.3.2. Реализация оптимального аналогового алгоритма. Из (15.92) следует, что для реализации оптимального аналогового алгоритма обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной гауссовской помехи необходимо вычислить корреляционный интеграл (15.86), представляющий линейный функционал от наблюдаемой реализации х(1) с ядром т'(1), представляющим решение интегрального уравнения (15.87). Вычислитель корреляционного интеграла ут — аналоговый коррелометр (рис.
15.7)— содержит нелинейный элемент — умножитель, на вход которого поступают наблюдаемая реализация х(г) и функция т'(1), генерируемая в блоке ИУ путем решения интегрального уравнения (15.87) для заданных сигнала и корреляционной функции помехи. Можно, однако, вычислить корреляционный интеграл, используя физически реализуемый линейный фильтр с постоянными во времени параметрами (см, п. 6.3.1). Рассмотрим линейный фильтр с импульсной характеристикой У(Т вЂ” т), 0(т(Т, (15.95) О, т(0, т~Т.
Если на вход такого фильтра действует процесс х(1), то процесс у(1) на выходе фильтра [см, (6.29)1: т у(1) )" )т(и)х(1+и — Т)би (15.96) о 438 Рис. уд7. Схема аналогового корре- лометра и, следовательно, в конце наблюдения при 1=Т из (15.96) получаем т ут = у (Т) = ] 17 (и) х (и) г(и, (15.96а) а (15.98) т. е. корреляционный интеграл. Фильтр с характеристикой (15.95), при помощи которого реализуется оптимальный алгоритм обнаружения, назовем оптимальнылс 15.3.3. Помеха — белый шум. Предположим, что аддитивной помехой является белый гауссовский шум со спектральной интенсивностью й(а (см.
п.п. 4.4.2, 5.5.9). Так как корреляционная функция белого шума равна В(т) =й!еб(т), то из (15.87), используя фильтрующее свойство дельта;функции, получаем 17(1) з (1) /г'а'а. (15.97) Из (15.90) следует т Ев а ] за(()Д( в лго о Лга где Еа — энергия сигнала на интервале наблюдения. Таким образом, оптимальный аналоговый алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фне аддитивной гауссовской помехи представляется в виде [см. (15.92)] т — ) з(1) х(1) г(! х [ — ') па о Рабочая характеристика этого алгоритма [см. (15.94)] Մ— Х1 В=(Еа!П )на (15. 100) полностью определяется отношением энергии сигнала Е, к спектральной плотности Дга белого шума и не зависит от вида сигнала. Заметим, что при белом шуме условие (15.55) для рассматриваемой задачи обнаружения Еа7Мо С со (15.!01) представляет требование ограниченности отношения энергии сигнала к спектральной плотности шума, что практически всегда выполняется.
Таким образом, при обнаружении сигнала на фоне аддитнвного белого шума всегда будет иметь место регулярный слу- 439 чай, а сингулярность (которой соответствуют безошибочные решения при конечном времени наблюдения) исключается. 15.3.4. Согласованный фильтр. Из (15.99) следует, что оптимальный алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивного белого гауссовского шума предписывает сравнение с порогом корреляционного интервала т 9 г = ( з (1) х (1) 4(1. (25.102) о В соответствии с результатами, приведенными в п.
15.3.3, корреляционный интеграл (15.102) вычисляется при помощи оптимального линейного фильтра с импульсной характеристикой з(Т вЂ” т), 0<т<Т, (15.103) О, т<0, т>Т. Фильтр, импульсная характеристика которого определяется формулой (15.103), называют согласованным. Как следует из (15.103), импульсная характеристика согласованного фильтра представляет зеркальное отображение сигнальной функции з(1) относительно осн, проходящей через точку $=Т (см. рис.
15.8). Передаточная функция согласованного фильтра [см, (6.30а)! т й (! в) =- ) з (Т вЂ” т) ехр ( — ! в 1) Ж = о т =ехр( — (вТ) ! з(т)ехр( — 1вт) о(т (15.104а) о или (15.104б) й = (!в) =А. (в; Т) ехр ( — 1вТ), где А.(в; Т) — спектр сигнала. Следовательно, передаточная функция согласованного фильтра равна комплексно-сопряженно- му опектру сигнала иа ~интервале наблюдения. 15.3.5.
Отношение сигнал-помеха на выходе оптимального фильтра. Оптимальность использования фильтра с характеристи- кой (!5.95) для обнаружения детерминированного сигнала з(1) на фоне аддитивной гауссовской помехи можно объяснить и с другой точки зрения. Для этого рассмотрим отношение квадрата сигнала на выходе произвольного линейного фильтра в конце на- блюдения зо(Т) = ~~ Ь(Т вЂ” и) з(и) йи (15.105а) Еа к дисперсии помехи на выходе фильтра т т и„' = ) ') Ь (Т вЂ” и) й (Т вЂ” и) В (о — и) Ни оЬ, о о 440 а) д 'га т 1+та Рис.
1б.й. Реакция согласо- ванного фильтра на входной импульс Рис. 1б.8. Сигнальная функ- ция (а) и импульсная харак- теристика (б) согласованн ь го фильтра п т-г' т где Ь(и) — импульсная характеристика фильтра, В(т) — корреляционная функция помехи. Величину ив=за~(Т)1о'и называют отношением сигнал-помеха. а ни Каи для ЛЮбОГО фнЛЬтра ЗВ1(Т)1овв~(М тех~ ЧО и тахо и з 1(Т) ~)0 или т т т',„~ ( Ь(Т вЂ” и) ЦТ вЂ” О)В(о — и) дие†об 1 т к в — ~ )" ЦТ вЂ” и) з (и) г(и ~ ) 0„. а (15.105в) причем знак равенства соответствует максимальному отношению сигнал-помеха. Нетрудно проверить, что левая часть (15.105в) обращается в нуль для функции Ь(т), удовлетворяющей интегральному уравнению т ~ )т(Т вЂ” т)В(1 — т)дт=з(1), 0 1~ Т, (15.106) причем т тя,„= ) ЦТ вЂ” и) з (и) ди.
о (!5.107) Уравнение (15.106) при ЦТ вЂ” г) =У(т), 0 =т:-Т, не втличается от (15.87) и, следовательно, определяет импульсную гарактеристику оптимального фильтра, а параметр с(вт рабочей характеристики оптимального алгоритма обнаружения совпадает при этом с 441 максимальным отношением сигнал-помеха 1ср. (15.107) с (15.90)1. Для белого шума с интенсивностью Уа из (15.107) следует т авз = — Р У(1) йр= — ', шах вв а а о Ж а (15.1!0) 15.4. ОптимАльные АлГОРитмы ОБнАРужения КВАЗИДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ 15.4.1. Постановка задачи. Рассмотрим теперь задачу синтеза оптимального алгоритма обнаружения квазидетерминированного сигнала, представляющего узкополосный процесс с заданными законами амплитудной а(1) и фазовой арв(г) модуляции и со случайной начальной фазой <ра: з(1) =а(1) соз'1ыа1 — вР (1) +вра1 (15.111) на фоне аддитивной узкополосной гауссовской помехи. Задача состоит в проверке простой гипотезы На, что наблюдаемый процесс — реализация стационарного гауссовского процесса с нулевым средним, против сложной альтернативы Нь что этот процесс также рсализиция гауссовского, но со средним значением з(7), которое представляет одно из континуума реализаций, соответ ствующих изменению случайной фазы ара в интервале (О, 2п).
Синтез оптимальных алгоритмов обнаружения в рассматриваемом случае основан на усредненных по случайной фазе отношения правдоподобия для дискретно-аналогового алгоритма и функционала отношения правдоподобия для аналогового алгоритма 442 т. е. максимальное отношение сигнал-помеха на выходе согласованного фильтра равно отношению энергии сигнала Е, на интервале (О, Т) к спектральной плотности Уа шума. Заметим, что,в конце интервала наблюдения $=Т реакция' з~(1) согласованного фильтра иа входной сигнал з(1) максимальна ~см. (15.105а) и рис. 15.91.
Обозначая мощность сигнала Ррв,= Е.(Т и мощность шума 1авш= =1УаР в полосе Р, запишем (15.107а) в виде т шах РТУРв7РРш. (15.108) Величину РТ называют базой сигнала. Формулу (15.107) можно выразить через спектральные характеристики сигнала и помехи: (15.109) шах ап а (м) где З(в) — спектральная плотность мощности помехи. Для белого шума из (15.109) следует = — ) (А, (га) ) а пто = — '. ашх 2ва Гв' ва '(см, п, 13.4.4). Такие алгоритмы, использующие усредненные по неизвестной фазе сигнала (мешающему параметру) достаточные статистики, называют некогерентными в отличие от рассмотренных когерентных алгоритмов обнаружения детерминированных сигналов. 15.4.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
