Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 85
Текст из файла (страница 85)
о те В этом случае оптимальное приемное устройство содержит линейный детектор и коррелометр. 15.5.6. Оптимальный фазовый алгоритм обнаружения детерминированного сигнала. Рассмотрим задачу синтеза оптимального правила выбора решения о наличии или отсутствии детерминированного сигнала в аддитивной узкополосной гауссовской помехе по реализации фазы Ю(!) наблюдаемого процесса. Вероятностные характеристики фазы, соответствующие двум гипотезам Н, (фаза помехи) и Н, (фаза аддитивной смеси сигнала и помехи), приведены в 9 !0.4.
Рассуждая так же, как и при выводе формулы (15.!57), введем некоррелированные координаты фазы до=О(лй/Л). (! 5. 171) Так как из некоррелированности значений фазы гауссовского случайного процесса следует их независимость, то координаты дд независимы. Ограничиваясь первыми У координатами, запишем функции правдоподобия выборки 0= (бь ..., 0и) для двух указанных гипотез !см.
(10.94)1: ш(6!Но)=(2л) ~, !0,)(л, 1=1, Ф, (15.172) хехр — — з!по(бо — ф„), !О; — ф1! (л, ! 1, М, (15.173) где а» определяется по формуле (15.161), а рд=!г (иЮ). Из (15.172) и (15.173) находим логарифм подобия (15.174) отношения правдо- 1п 1(6) = Е 1и (ехр ( — — ) +)!г2птадх д=! ! 2 х сов(6» — !рд) Р (ад сов (6» — »рд)) ехр — — в!п (6 — др ) ад~ 2 (15.176) 459 ! 6! — ф! ) ( и, !' = 1, 1Ч, (15.175) Оптимальный дискретно-аналоговый фазовый алгоритм обна- ружения детерминированного узкополосного сигнала на фоне ад- дитивной гауссовской помехи предписывает сравнение статистики (15.175) с порогом.
Однако определить функцию распределения статистики (15.175) в замкнутом виде невозможно. Поэтому, как и для амплитудного алгоритма, исследование продолжим для предельного случая слабого сигнала. 15.5.7. Оптимальный фазовый алгоритм обнаружения слабого сигнала. Для слабого сигнала (шаха»«1), используя формулу (10.96) и пренебрегая малыми порядка а', находим ав !п1(6) = Е ~ ~ — ") а»сов(6» — дрд)+ — сов2(6» — дрд)— д=! 2 ) 2 — — ад сов» (6» — »Р») 4 Заменяя квадратичные члены их средними значениями и учиты- вая, что т!(сов 2(дд — фд)) =О, т!(сов'(д» вЂ” дрд))=1/2, получаем !п1(д) ж ( — ~1 2; ад сов (6» — »Рд) — — 2, "а'.
(15.175а) д=! д=! Из (15.175а) следует, что оптимальный фазовый алгоритм об- наружения слабого сигнала можно представить в виде д' т Фл,(д) = 2,'а»сов(6» — фд) с. » ! У. При больших размерах выборки Л!)) 1 статистика Фн(д) асимптотически нормальная. Параметр нормального распределе- ния находим, используя известные распределения случайных ве- личин 6» при гипотезе Н, и альтернативе Н, 1см. (15.172), (15.173) и п. 10.5.1) и пренебрегая малыми порядка а'» и выше: т, ~ 2;а»сов(6» — фд)~Н, =О, (15.177а) !д-! с д! г — „ т, ~ ,'! ад сов (6» -. »Рд) ) Н, ~ = ~/ — 2; ад, (15.1776) г и М )зв ~ ~овсов(д„— ф,))Н„Нх) = — ~'„а'. (15. 177в) Обозначим 1ср. с (15.47) и (15.168)] г(лз ~ аз.
В-1 Тогда, учитывая асимптотическую нормальность статистики Фм(б) и формулы (15.177а и в), находим в (15.176) при заданной вероятности гх Ложной тревоги с = х„г(л!У2. (15,179) Рабочая характеристика алгоритма (15.176) запишется в виде (см. (!5.1776 и в)] х — х1 р=~л/4с(дг (15.180) где х„,х1 р — процентные точки нормального распределения вероятностей. В отличие от оптимального амплитудного алгоритма обнаружения слабого сигнала (см.
(15.166)] при оптимальном фазовом алгоритме, как и при оптимальном алгоритме (15.49) обнаружения сигнала, рабочая характеристика определяется параметром г(м, т. е. характеристика обнаружения слабого сигнала при фазовом методе оказывается лучше', чем при амплитудном. Формула (15.180) получается из (15.50) заменой г(м на ) л74г(м (т. е. ж0,9г(м). При ТЬ>>1 сумму в (15.176) можно приближенно заменить интегралом и получить, таким образом, оптимальный аналоговый фазовый алгоритм обнаружения слабого сигнала г т. ]'афсоз[б(К) — тр(1))й с. (15.181) о тч (15.178) Из (15.181) следует, что при оптимальном фазовом методе обнаружения слабого детерминированного сигнала вычисляется взаимная корреляционная функция между косинусом разности фаз принятого и детерминированного сигналов и огибающей детерминированного сигнала.
15.5.8. Оптимальный фазовый алгоритм обнаружения слабого квазидетерминированного сигнала. Рассмотрим задачу синтеза оптимального дискретно-аналогового фазового алгоритма обнаружения слабого квазидетерминированного сигнала на фоне адднтнвной гауссовской помехи. В этом случае к детерминированной координате трв фазы сигнала [см. (15.174)] добавляется случай- ' Этого следовало ожидать, так как функция распределения фазы (15.173) информативнее функции распределения огибающей (см. (15.!60)1. В первом случае параметры распределения содержат информацию о значениях огибающей и фазы сигнала, а во втором — только о значениях огибаняцей сигнала.' 460 ная начальная фаза ро, распределенная равномерно иа интервале (О, 2и).
Из (15.175) находим условное отношение правдоподобия при фиксированной начальной фазе !ро аСс!ас- о ()/ — ' га !с,— а,+ао — г,( (25332 ! д-! д-! или а(а!а)- а(а' а ъ (а.-о[] а( — — 'аз]. 8 д-! (15.1826) где г, = ~, 'ад ехр [1 (бд — с[!д)], (15.183) 1д-! к к Фк = агс16 1и! ~ ад ехр [1 (бд — срд)]/Ке 2; ад ехр [1 (6, — дрд)] д-! д-! (15. 183а) Усредняя отношение правдоподобия по случайной фазе !ро, получаем л!а)= а(- — "х Ч] — '! с(Г' —," ° ° !а.-о,>(са,= 8 д=! ) х" о (15.184) д=! Учитывая, что экспоненциальный множитель в (15.184) зависит только от априорных данных, а функция 1о(х) — монотонная при х- О, получаем для искомого алгоритма (15.185) Уа где порог с по критерию Неймана — Пирсона определяется при заданном значении а вероятности ложной тревоги.
Для этого необходимо знать плотность вероятности и!,к (г) статистики гк при гипотезе Но. Используем несколько видоизмененный метод, указанный в [5, гл. 4, 3 4) для задачи о случайных блужданиях, когда Од — независимые, равномерно распределенные на интервале (О, 2п) случайные величины [см. (15.183)]. Тогда !с.к(г) = г~'зло(гз) ПХо(адз)о[з. (15.186) о д=! Из (15.185) и (15.186) следует, что вероятность ложной тревоги ° с с к а = ('гсак (г) 4[г = 1 — с ('Х, (сз) Ц,(о (ад з) аз. (15.187) с о д=! 461 Для гармонического сигнала постоянной амплитуды Ао а - 1 — /о )',/„(йх) /о (х) «(х, о где й=с/Ао.
Если размер выборки велик («о'.л 1), то распределение случайной величины ги асимптотически рэлеевское, когда верна гипотеза Но, н обобщенное рэлеевское, когда верна гипотеза Н, (см. 5, с. 187 †1!). Параметры этих распределений равны соответственно (см. (15.177а — в))~ «Ри/2 и )«и/8 «!ги, «!ги/2, где «1ги определяется по формуле (15.178). Тогда при «о'.» ! находим в (15.185) с=«(и(!п1/а) и' (15.188) н рабочую характеристику обнаружения , Угыпа « „го 1 — (3=1 — ехр ( — — "«(г ) Г хехр( — —" ]1 ( ),« — 'г «( х)«(х. в ") о ) (15.189) 15.6.
ОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ ГАУССОВСКОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ АДДИТИВНОЙ ГАУССОВСКОЙ ПОМЕХИ (15.190) 462 15.8.1. Постановка задачи, априорные данные. Предположим, что на интервале 0 =Л =Т наблюдается реализация х(!) случай- ного процесса Х(1), относительно которого выдвигается гипотеза Но, что этот процесс представляет гауссовскую помеху с нулевым средним и известной корреляционной функцией Во(1, и) =Ви(1,и), против альтернативы Н„что процесс Х(г) представляет аддитнв- ную смесь указанной помехи и гауссовского сигнала с нулевым средним н известной корреляционной функцией В,(!, и).
Предпо- лагается, что сигнал и помеха — независимые случайные процес- сы. Поэтому прн альтернативе Н, корреляционная функция на- блюдаемого процесса В, (г, и) =Во(1, и)+Во(1, и). Задача состоит в том, чтобы синтезировать оптимальный алго- ритм принятия решения 7«о наличии сигнала (о том, что верна альтернатива Н«) нли решения то об отсутствии сигнала (о том, что верна гипотеза Но).
Сначала рассмотрим задачу синтеза дискретно-аналогового ал- горитма обнаружения, а затем — аналогового. Для решения пер- вой задачи используется фильтровый способ дискретизации на- блюдаемой реализации (см. п. 15.1.7). Если выбрать в качестве координат наблюдаемой на интерва- ле (О, Т) реализации х(!) величины (см. (15АО)1 г «д = )«Ад ) «(г! «рд (1) й, о где Лд и ~рд(1) — собственные числа и собственные функции интегрального уравнения [см. (15.38)1 т ор(1)=Л [В (1, и)~р(и)о(и, 0(1<Т, 9 (15.191) (15. 192а) 463 то эти координаты не коррелированы, если справедлива гипотеза Но, но будут коррелированы, если верна гипотеза Нь Можно, однако, выбрать координаты процесса так, чтобы онн не были коррелированными (следовательно, независимыми в силу нормального распределения) и при гипотезе Но, и при Нь с той лишь разницей, что при одной гипотезе дисперсии всех координат единичны, а при другой — различны для разных координат.
Здесь имеет место аналогия с известным результатом высшей алгебры, согласно которому одним линейным преобразованием можно одну квадратичную форму привести к нормальному виду (т. е. к сумме квадратов переменных), а другую — к каноническому (см., например, [3)). Пусть координаты процесса х(1) и для гипотезы Но, и для гипотезы Нд определяются согласно (15.190), причем Лд н ч~д(1)— собственные числа и собственные функции (ненормированные) интегрального уравнения т )'(В,(1, и) — ЛВ,(1, и))<р(и)Ли=О, 0(1<Т, (15.192) о а нормировка собственных функций производится относительно корреляционной функции Во(1, и), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
