Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Определим среднее значение и Рис. !б.2, Схема знаково- рангового обноружнтелн сигнала 475 дисперсию статистики 3„(х). При гипотезе Н (сигнала нет) из (16.20а) находим т, (Я„(х))Н) = — 2; з,т» [К~+) =- — 2, 'з, ~/зр(Я~+=А) 2 ~ » 2 л и а 1 1 л = — Хз Х вЂ” = — Хз 2~»~»л4 нли т,(5„(х)~Н) = (а(а+1)/4) а,„, л а,„= — ~з; л е=» — постоянная составляющая сигнала. При а>) 1 из (16.21) следует т,(3„(х) ~ Н) а'а, /4.
(16.22) Средний квадрат статистики 8„(х) при гипотезе Н (см. [42, е. 72)) т„(Я„'(х))Н)= — т, ~ ~;» г~з7(й+~Я7+здпх,збпхт+ 1С-» 7=» »я,"лг» *„-л+,л,+л *,.»л+,Л»)- (16.21) (16.21а) = — 'Х ',т,[Н+')+ 4 + —,' Х Х л,Ж+Ф= 4 С»7=» и л »л 1 л + ~' = — ~, 'з, ~, '— + — ~~з,т,(В [), откуда дисперсия статистики 3 (х) при гипотезе Н Р (Ял(х)~Н) = — 1Р,„~, 'А' а-» и ~гвл (16.25) 476 или аз(5л (х) ~ Н) ='[а (В+1) (2л+1) /24) Я7за, (16.23) где К,„определяется по формуле (16.15). При п»1 из (16.23) следует азЯл(х) ~Н) -и Жзл/12.
(16.24) Используя (16.22) и (16.24) и асимптотическую нормальность статистики 5„(х), находим порог с в алгоритме (16.19) при а~1 [ср. с (13.200)1: (16.26) Далее [ср. с п. 13.8.10 и с (16.9)] Р (х ) 0 ~ К) = — + Х з„и (0) + о (Х), (16.26а) Р (х, + х1 ) 01К) = 1 — (Р, (у — з~ — з7) и (у) ау + СО 1 СО + о(Х1 = — + Х (з1 + зт) (и~ (У) г(У + о Р) 2 — О (16.266) Подставляя (16.26а и б) в (16.26), получаем т, (5„(х) ~ К) = —" а,„+ и Х Ят,„и (0) + + ( а,„+Хи' ~иэ(у)г(у — У 171 — — з + л л + — 2; ~ з,з7 +о(Х).
л~1.. +, Таким образом, из (16.27) при и»1 и ) '1/й=сопз1 следует и1, (3„(х)1К) — — """ + Ха',„иг (иэ(у) Ну. (16.27) (16.28) С учетом (16.25) вероятность пропуска сигнала при и»1 (ср. с (13.1996)1 (16.29) Асимптотическая рабочая характеристика алгоритма (16.19) запишется теперь в виде 4 12Рл 4 па х„-х, а=( — ) а' )иэ(у)бу. (16.30) 477 где х — процентная точка нормального распределения, определяемая по заданной вероятности а ложных тревог. 16.1.5. Относительная эффективность знаково-рангового обиаружнтеля.
Определим эффективность алгоритма (16.19) по отно1пению к линейному (16.13). Для этого получим предварительно асимптотнческую рабочую характеристику алгоритма (16.19) при и»1 н слабом сигнале (амплитуда Х малая). Используя (16.20б), находим среднее значение статистики 5„(х) при альтернативе К (снгнал присутствует) л л л т,(Я„(х)[К) = ~', заР(х„)01К)+ ~ ~'„з1 Р(х, +х1)О~К). 4-1 К-З 1=1+В Из (16.30) и (!6.16) КАОЭ знаково-рангового алгоритма (16.19) относительно линейного алгоритма (16.13) 4, ю р = 12 а' — ' ~ ) гэ (у) "у), (16.31) где а,= 1пп а,„, йг,= 1ап )Р, . о-+ о При п,=0, т. е. при отсутствии у сигнала постоянной составляющей КАОЭ знаково-рангового алгоритма обращается в нуль. Для постоянного сигнала з(1) — 1 отношение а",/й7,=1, и тогда формула (16.31) совпадает с (13.202).
Для периодической не- модулированной последовательности импульсов длительностью т н периодом повторения Т это отношение равно (т/Т)в, а при амплитудно-импульсной модуляции с индексом л4 а4/)й' ЯТ)е(1+ гпв /2) 16.1.6. Ранговые алгоритмы обнаружения узкополосных сигналов. Узкополосные высокочастотные радиосигналы ие содержат постоянной составляющей. Поэтому при додетекторной обработке наблюдений использовать знаково-ранговые алгоритмы неэффективно, так как по отношению к линейному алгоритму КАОЭ этих алгоритмов, как уже отмечалось, при нулевой постоянной составляющей равен нулю. Более эффективными непараметрическими алгоритмами обнаружения узкополосных радиосигналов (без постоянной составляющей) являются ранговые.
Их, конечно, можно использовать и для обнаружения сигналов с постоянной составляющей, однако в этом случае их эффективность ниже эффективности соответствующих знаково-ранговых алгоритмов обнаружения. Пусть Лз(1), Л)0 — детерминированный сигнал и х=(хь ..., х ) — наблюдаемая независимая выборка, которая принадлежит либо стационарной помехе (плотность распределения которой необязательно симметрична), либо сумме детерминированного сигнала и помехи. Правило принятия решения, базирующееся на так называемой линейной ранговой статистике, формулируется следующим образом: сигнал присутствует, если о Т„(х) ° ~ з, ф ()хг) ) с, (16.32) г 1 где ф(/е) — функция целочисленного аргумента Й=1, л. Схема обнаружителя, функционирующего согласно алгоритму (16.32), приведена на рис.
16.3. 478 Рис. !бХ Схема раигово- 4 го обиаружители сигиала Частными видами алгоритма (16.32) являются медианный ~, 'зь зйп ( Р— — ) .-ь с, г л+!х (16.33) А=! 2 Вилиоксона л 2; г,)7„)с, ь=! Ван-дер-Вардена 2;зла '( л ))с, (16.35) ь 1 л+! где Р '(з) — функция, обратная интегралу Лапласа. Определим среднее значение и дисперсию статистики Т„(х) при гипотезе Н (сигнала нет), Так как при стационарной незави- симой помехе распределение рангов равномерное, то т,(Т„(х)/Н) = 2' з! т!(!г(Н!)/Н) = — ~' з; ~„'!(!(й) 1=! л — ь=! (16.34) и, обозначая л Ф.
= — Хф(й) л получаем т,(Т„(х) (Н) =па,лфл, (16.36) где а. — постоянная составляющая сигнала [см. (16.21а)1. Дисперсия статистики Т (х) при гипотезе Н ~хз(Тп (х) ~ Н) =пРьлф п~ [16.37) где (16,37а) л = — Х И(й) -ф.)' (16.37б) Если постоянная составляющая сигнала а, =О, то при гипотезе Н т, (Т„(х) ~~ Н) = 6, 1!,(Т„(х) ) Н) = л!р',„~'„, (16.38) Если выполняется условие (16.14), то статистика Т„(х) асимптотически нормальна, и тогда порог с в алгоритме (16.32) связан с заданной вероятностью ложных тревог а следующим соотношением (при п)) 1): с = хл (л(!,'.„Ф.') ' " + па,л Ф„.
(16.39) 16.7.1. Коэффициент асимптотической относительной эффективности алгоритма Вилкоксона. Вычисление среднего и дисперсии 479 (! 6.41) (16,42) Т„(х) при альтернативе для произвольной функции 4Ь представ- ляет трудную задачу ', Ограничимся линейным ранговым алго- ритмом Вилкоксона (16.34) и перепишем его в виде [см. (13.168а)) л л 1 л л авл T„(х) ~з, ~„'и(хэ — х,)= — 2', 2; з; зйп(х,— ху)+ '". (16.40) С=~ Г=1Л -.
~ Э4М У 1 Найдем среднее значение зпп(хе — х,) при альтернативе К: гп„(здп (х, — ху) ! К) = 1 — 2Р (х; — х ) ( О! К) = лэ =1 — 2 )"Рт(г — Лз,)га(г — Лз~)с(хОл лй = 1 — 2 ~Р (х+ Л зу — Л з;) го (з) с(г, где та(г), Р1(х) — плотность вероятности (необязательно симмет. ричиая) и функция распределения стационарной аддитнвной по- мехи.
Раскладывая Рг(х+Лз) в ряде по степеням ц, получаем т, (здп (х, — ху) )К) 2Л (з; — зу) )гав (г) с(г+ о (Л). Ол Из (16.40) и (1641) следует, что прн п.в ! и Л)'п=еопз1 ОО л л пг (Т„(х) ! К) = Л )'юэ (г) г(г 2„'2; з, (и, — зз) + ! 14=1 +" лл Лпа(Ц7 оэ ) ( " гл При том же условии (см. (16.37)1 !ав(Т (х) (К)=из(Т (х) ~о) =пЬт,„/12. (16.43) Тогда, с учетом асимптотической нормальности статистики Т„(х) вероятность пропуска сигнала при использовании алгоритма Вил- коксона (16.34): Р ~(с — — '" — Л(%',„— ав„) пах х ) вв(х) бх)~(Ьлл — )~, (16.44) где в соответствии с (16.39) порог с = ха Ьал 'р' пв/12 + пв аал/2.
(16.45) Из (!6.44) и (16.45) находим асимптотическую рабочую ха- рактеристику алгоритма Вилкоксоиа х„— х| а=ЛЬлл712п ~'гав(г)г(х. (16,46) — СО ' Длн этого можно нсноньэовать теорему Чернова — Севнджа (см, (42)), 480 р(рО = Ь'в/ 18'з= 1 — и'в((Рв. (16,47б) Следовательно, эффективность рангового алгоритма (16.34) при обнаружении нецентрированного сигнала по сравнению с эффективностью алгоритма при обнаружении центрированного сигнала уменьшается на значение, равное отношению квадрата постоянной составляющей к мощности сигнала.
Ясно, что а',()Т', (так как Ь',)0), причем Ь,=О при постоянном сигнале з(1) ==а. Наконец, сравним ранговый алгоритм (16.34) со знаково-ранговым (16.19). Из (16.31) и (16.47) следует, что коэффициент асимптотической относительной эффективности рангового алгоритма по отношению к знаково-ранговому равен (16.48) Из (16.48) следует, что р- оо при а,. О, что соответствует уже отмеченной нулевой эффективности знаково-рангового алгоритма при обнаружении сигнала без постоянной составляющей. Напротив, прн а';+-)Г, исчезающе малой становится эффективность рангового алгоритма по отношению к знаково-ранговому.
При граничном значении отношения квадрата постоянной составляющей к мощности сигнала а',/)Р,=062 [см. (1648)], р=1, т. е. эффективность обоих рассматриваемых алгоритмов одинакова. Таким образом, для обнаружения детерминированного сигнала прн а',/Ф',(0,62 более эффективен ранговый алгоритм, а при аз,/1Г,)0,62 более эффективен знаково-ранговый. Однако при использовании алгоритма Вилкоксона относительно центрирован- ного сигнала, т. е. алгоритма 2;(з; — а,„)Й,)с, С-1 16 — 87 (16.49) 48! Теперь, используя (16.46) и (16.16), нетрудно записать выражение для КАОЭ алгоритма обнаружения Вилкоксона (16.34) по отношению к линейному алгоритму (16.13) зз г 3 р = 12оз — '~,» оР(г) Йг~ зге -оо где и' — дисперсия помехи, Ь,= 1нп Ь,„. л+ Если а,=О, то Ь',= И'„и тогда О 42 ро — — - 12оз ~ » ш'(г) 8г) .
(16.47а) О Отношение р/рз коэффициентов асимптотической относительной эффективности алгоритма (16.34) для сигналов с ненулевой постоянной составляющей и узкополосного с нулевой постоянной составляющей КАОЭ такого алгоритма по отношению к знаково-ранговому равен Ф',/аг,)1. Иначе говоря, ранговый алгоритм обнаружения детерминированного сигнала эффективнее знаково-рангового.
16.2. НЕПАРАМЕТРНЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ АДДИТИВНЫХ ПОМЕХ (сг(х(1)) =(сг(у(Г)) =аг, гс „=ос~(х(1)у(())/ог=О, (16.50а) (16.50б) а когда присутствует сигнал (альтернатива К), то рг(х(()) =ргЬ(()) =о'+ог осс (к (С) у (С) ) ог+аг аг+аг (16.51а) (16.51б) Логарифм отношения, правдоподобия для одного наблюдения а, („ущ ог(к+у)г сог(к, у(™1 2 [(аг+ог)г — о~] — — 1п [(1 — гг) (ог + ог)/ог].
Если имеется п независимых наблюдений в каждом из каналов, то о 2, '(хс+ Ус)г— 2 [(ог+ аг) — о~] с=с 1п1(х, у) = о ~ о+а 1 г1 — — 1п (1 — г') — ~. 2 аг (16.52) 482 16.2.1. Оптимальная двухканальная система обнаружения гауссовского сигнала на фоне гауссовской аддитивной помехи. Для обнаружения стохастического сигнала на фоне аддитивной независимой помехи используется иногда двухканальная система '(разнесенный прием). Когда сигнала нет, в каждом из каналов присутствует только помеха и наблюдаемые в них процессы независимы. Когда сигнал появляется в обоих каналах, возникает статистическая связь указанных случайных процессов, Рассмотрим сначала задачу обнаружения гауссовского сигнала на фоне независимой гауссовской помехи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
