Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 86
Текст из файла (страница 86)
е. т т Лд )' 1' Во(1, и) ~Рд(1)~Р,„(и) Ййи = бд„,. о а Тогда т т и т (хд х,„[ Но) = )т'Лд Лт )' [ Во (1, и) (рд (1) ~рт (и) й ди = бд~, о о (15. 193а) т~(хдх [Н,) =Лдбд, (15.'1935)' т~(хо[Но, НД=О. (15.193в) 15.6.2. Оптимальный дискретно-аналоговый алгоритм обнаружения. Используя (15.193а — в), нетрудно записать логарифм отношения правдоподобия для Н наблюдаемых независимых коорлинат хм 1=1, Л', реализации гауссовского случайного процесса: (Лд — 1) хд 1и 1(х) = — Х вЂ” — Х 1и Лд. (15.194) 2 д=1 Лд 2 ддм Из (15.194) следует, что оптимальный дискретно-аналоговый алгоритм обнаружения гауссовского сигнала на фоне аддитивной гауссовской помехи (Лд — 1) хд~ та у,„(х)= Х >с, (15.195) Лд т.
где х» определяются согласно (15.190), а ь» и ~»(1) — собственные числа и собственные функции уравнения (15.192). Нетрудно найти характеристическую функцию статистики уя(х). Так как х» — гауссовская ' лучайная величина, то характеристические функции л-го слагаемого суммы при гипотезах Н» и Н~ соответственно: 6(о]Н») =(1 — 1о(Х» — 1))й») 9(и] Н~) =11 — 1о(Х» — 1)) и». Учитывая независимость случайных величин х», находим одномерные характеристические функции статистики уи(х) как произведения характеристических функций слагаемых суммы (15.195): (15.196а) (15.196б) ~р (1)=(И 7»)» щД) (15.199) Из (15.194) находим дисперсии логарифма отношения правдопо- добия (15.
200а) (15.200б) р,(1п1(х)]Н ) ~', ( — ") . »» р (1п1( НН) = Е(й~ — 1)'. » ! где э»=(Х» — 1) '. (15.196в) Обратным преобразованием Фурье можно нз (15.196а и б) найти плотности вероятности статистики уи(х). 15.6.3. Оптимальный аналоговый алгоритм обнаружения гауссовского сигнала на фоне белого шума. Рассмотрим задачу синтеза оптимального аналогового алгоритма обнаружения гауссовского сигнала для случая, когда аддитивная гауссовская поме»а — белый шум, т. е. когда В,(т) =Н»Ь(т). В этом случае в формуле (15.194) собственные числа Л»= 1+1/(йг»р»), (15.197) где 1»» — собственные числа линейного однородного интегрального уравнения т р(1)=рУВ,(1, д)~(у)бд, (15.198) о причем собственные функции ~р»(1) исходного уравнения (15.192) связаны с собственными функциями уравнения (15.198) соотно- шением Так как в рассматриваемом случае аддитивного белого шума (см. (4.61)) 1 т т ~' (),л — 1)*= ~, '— г)')" В,'(и, 1)дий(оо, л 1 л=~'(Уорл)' "о о о то существует функционал отношения правдоподобия (регулярный случай) — предел при У-+-со выражения (15.194).
Рассмотрим предел при М- оо статистики (15.195). Подставляя в (15.195) выражение для координат хл из (15.190) и учитывая (15.198), (15.199), получаем г т т р г 1' )"х(и) х(о) ~ 2„<рл (и) тл (о) г(шЬ. л-~ Хл л'о о о . !'..' 1+Уорг (15.201) Функция двух переменных й (и р) ч тл (~) тл (~) (15.202) 1+ ио 1лл удовлетворяет интегральному уравнению т 1' В,(1, и) Й(и, о) ди+М,Ь(1, р) = о = В,(1, о), 0(1 'Т, О(о(Т. (15.203) Действительно, подставляя в левую часть (15.203) выражение Ь(и, р) из (15.202), изменяя порядок суммирования и интегрирования и учитывая (15.198), получаем )" В (1, и) й (и, о) о(и = 2; -'~ — '-(1'~л ('1 — Лл + лил Первая сумма представляет ортогональное разложение корреляционной функции сигнала В (1, ~)= Ч Чл("тл'-1, — ил а вторая сумма в соответствии с (15.202) равна йтой(Г, р), Отсюда следует (15.203).
Используя (15.201) и (15.202), представим оптимальный аналоговый алгоритм обнаружения гауссовского сигнала на фоне аддитивного гауссовского белого шума в виде т т у (х(1)) = — 1' 1" й(и, о)х(и)х(о)о(исЬ с, (15.204) 1тоо о У. где й(и, о) — решение интегрального уравнения (15.203) и х(1)— реализация наблюдаемого на интервале (О, Т) случайного процесса. Характеристические функции статистики ут(х(1)1 [см. (15.204)] при гипотезе и альтернативе получаются предельным переходом 466 при Л! — оо из (15.196а), (15.1966). Заметим, что распределение статистики ут[х(1)] не подчиняется нормальному закону, хотя эта статистика представляет бесконечную сумму независимых случайных величин [см.
(15.201)]. Это происходит потому, что в рассматриваемом случае условие применимости центральной предельной теоремы не выполняется [см. (3.109)]. 15.6.4. Пример сингулярного алгоритма обнаружения. Предположим, что нормированные корреляционные функции независимых гауссовских сигнала и помехи одинаковы, а дисперсии различны и равны а', — для сигнала и о'о — для помехи. Тогда В4 (т) =о!о)т (т), В! (т) = о'Я (т), где от! = оР,+о'о.
Обозначим о!/о0=р и пусть рМ1. Тогда из (15.192) находим т (р' — Х) [ )г (! — и) !р (и) !1и = О, а откуда следует, что собственные числа интегрального уравнения постоянны и равны )ь=р'. Логарифм отношения правдоподобия в соответствии с (15.194) преобразуется к виду 1п1(х) = — ! 1 — — ) ~ х~~ — — 1п р' 2 !, р! „, 2 и, следовательно, ! !!! — ! . 1 1!ш 1п 1 (х) =- 1ап — 2 хз — — 1и р = и 2р' и !т „., (р' — 1)/(2р') — 1пр(0, если верна гипотеза Н„ (! 5.205) (р' — 1)/2 — 1пр)0, если верна гипотеза Н„ л так как последовательность случайных величин — 2; х'~ сходитм А=! ся по вероятности к единице, если верна гипотеза Н, н к р', если верна гипотеза Нь Из (15.205) следует, что 1пп 1п1(х) = — со, если верна гипотеза Н,, Л! + 1пп 1п1(х) =ос, если верна гипотеза Н!.
Л!-кю Таким образом, рассматриваемый случай сингулярный и по- этому возможно при любом (произвольно малом) времени наблю- дения выбрать правило проверки гипотезы с вероятностью едини- ца. Такое правило непосредственно следует из (15.205), если вме- сто координат хд подставить их выражения через наблюдаемую реализацию. Если для наблюдаемой на интервале (О, Т) реали- зации х(1) (15.206) 466 то принимается гипотеза На (дисперсия процесса равна о'о), а если предел в (15.206) равен р', то принимается гипотеза Н, (дисперсия процесса равна оз~), Очевидно, что в рассматриваемом слу- Ю чае Х (Хь — 1)'= о, так как ла=ра, т.
е. условие регулярности ь=1 нарушено. 15.6.5. Общее условие сингулярности. Для случая, когда спектр стационарного гауссовского процесса представляет дробно-рациональную функцию частоты, сформулировано необходимое и достаточное условие сингулярности при проверке гипотезы Но о том, что наблюдаемая реализация принадлежит процессу со спектром 5а(от), против альтернативы Н» что она принадлежит процессу, спектр которого равен 5~(от). Это условие состоит в том, чтобы Нш [5, (от)/5в (от)1 Ф 1.
(15.207) Указанное выше [см. (15.206)1 сингулярное правило' соответствует частному случаю (15.207), когда 5~(от)/5о(от) =рзФ!. Если при от-ьсо предел отношения дробно-рациональных спектров равен единице, то всегда будет иметь место регулярный случай, которому соответствуют отличные от нуля вероятности ошибочных решений. Достаточным условием сингулярности является также существование конечного интервала частот, на котором один из энергетических спектров 51(ат) или 5с(го) тождественно равен нулю, а другой не равен нулю. Поэтому использование математической модели случайного процесса с ограниченным спектром приводит к сингулярности.
Наконец, укажем, что регулярный случай будет иметь место всегда, если при каждой из двух гипотез гауссовский процесс содержит аддитивную компоненту в виде белого шума одинаковой интенсивности, так как условие (15.207) безошибочной проверки гипотез основывается на использовании различия высокочастотной части энергетического спектра. Так как белый шум (представляющий, например, тепловые шумы) всегда присутствует в любых реальных устройствах, то добавление его устраняет парадокс сингулярности и приближает математическую модель к изучаемому физическому процессу. хйзп зддлчи 1ЗЛ. а) Показать, что согласованным фильтром для постоянного сигнала з(Г)=а является идеальный интегратор с импульсной характеристикой йр) =аи(0, (1) где и(0 — единичный скачок; ' Заметим, однако, что сингулярное правило (!5.206) имеет место не только для дробно-рационального, но и для произвольного спектра, 457 б) показать, что для импульсного синусоидального сигнала (2) з(!) =лаби ызт, 0(1(Т, исТ=(2а+1)п, л=О, 1, 2, ...
импульсная характеристика согласованного фильтра равна й(1) =аз1п мог, !)О. 15.2. Показатгь что плотность вероятности суммы квадратов й! независнмых случайных величин, каждая из которых распределена по обобщенному рзлеевскому закону ш(г) =г ехр [ — (та+аз)!2) 1з(ш), гъО. подчиняется нецентральному ймраспределению с параметром нецентральности а; 1 ! у 1!и — !!!з у+аз ! йг (у) = — ~ — ) ехр [ — ( 1м ! (а [l у ), и ) О.
(4 ~") 2 Получить из (4) частный случай при а=О распределения суммы квадратов й! независимых рзлеевских случайных величин (т'-распределение с 2М степенями свободы) 27(р)= и рм ге Шз, у>0. 1 2 (М вЂ” 1)1 15.3. Используя результаты задачи (15.2), найти вероятности ложной тре. ваги а н пропуска сигнала (» при обнаружении по алгоритму (15.!64) синусоидеального сигнала (отношение амплитуды сигнала с среднеквадратичному значению шума мало).
Показать, что при произвольном Ф а=! — Г(№ 2с(аз)(Г(Ф), (5» гас Г(№ и) — неполная гамма-функция, I х ги — ! I ха+а'! х~ — ) ехр [ — ) 1г! ! (ах) ах= в та/ 2 ) Я Ус!а ! з+ ат, Г !аз х ехр ~ — ~ !з (ах) ах+ ехр ~ — ( — + е 2 2 (5а) причем последний интеграл представляет табулированное интегральное обобщенное распределение Рэлея [4). 15.4. Определить оптимальный по критерию Неймана — Пирсона аналогавый алгоритм обнаружения квазидетерминированного сигнала и(!) =а соз(ем!+ +~р) на фоне аддитивного гауссовского белого шума со спектральной плотностью № при условии, что амплитуда а распределена по рэлеевскому закон!.
с параметром а„ а фаза равномерна на интервале ~(0, 2а), причем амплитуда н фаза независимы, если наблюдаетси реализация х(!) на интервале (О, Т) и вероятность ложной тревоги должна быть не больше, чем а. Показать, 468 что согласно этому алгоритму прннимяется решение, что сигнал присутствует, если ! 2 т юг= ~ — )г х(1) созмюЫ1) + [ — )г х(1) ип ыюгВ~ .лс, (6) т ( Т о (1, а) = Х аь рь(1) =а' р (1), з 1 где юр(1) = (фю(1)) — заданная система линейно-независимых детерминированных функций, а'= (аь ..., ам) — вектор случзйных параметров с заданным распределением ш (а). Гипотеза Ню состоит в том, что наблюдаемая выбор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
