Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Для проверки гипотезы Н— сигнала нет (выборки х и у независимы) — против альтернативы К вЂ” сигнал присутствует в обоих каналах (выборкн х и у зависимы) — можно использовать следующее правило: принимается альтернатива К, если 5„(х, у) =- 2; 44! 4,!! ) с, (16.80) 4=! и она отклоняется, если выполняется неравенство, обратное (16.80) . Статистика 5„в (16.80) называется коэффициентом ранговой корреляции Спнрмена. Среднее и дисперсия этой статистики при гипотезе Н сп4(5 (х, у) )Н) =и(п+1)'/4, (16.80а) 144(5„(х, у) !Н) =пз(п+1)'(п — 1)/144.
(16.806) Так как статистика 5„асимптотнчески нормальна, то при и»1 в (16.80) порог с = (х„+ 3 ) ! и ) из '712, где а — заданная вероятность ложных тревог и х — процентная точка нормального распределения. Эквивалентным по эффективности алгоритму (16.80) является алгоритм, использующий статистику Кендалла: л — 1 л 5„(х, у) = ~ ~ здп(х! — х!)здп(у! — у!). (16.81) 4=! / 4+! Схема обнаружнтеля стохастического сигнала, функционирующего согласно алгоритму (16.80), изображена на рис.
16.6. Можно показать, что при гауссовских помехах КАОЭ рангового алгоритма (16.80) обнаружения стохастического сигнала по отношению к алгоритму (16.53), оптимальному при гауссовских 488 Рис. МХ Схема рангового обнаружителя стохастичесиого сигнала помехах, равен 9/(2пт)ж0,45, по отношению к алгоритму (16.58) (коррелятор) 9/па=0,91 и по отношению к алгоритму (16.69) (коррелятор совпадения полярностей) 2,25.
16.3. НЕПАРАМЕТРНЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ПОМЕХ ПО НЕЗАВИСИМЫМ ГРУППАМ КОРРЕЛИРОВАННЫХ ВЫБОРОК 16.3.1. Постановка задачи и априорные данные. Пусть на интервале (О, Тн) наблюдается реализация х(1) случайного процесса Х(/), который может представлять помеху 9(1) (гипотеза Н) нлн аддитивную смесь помеха н детерминированного сигнала Аз(1), ),)О, )з(/) ) (1 (альтернатива К).
Предположим, что помеха 9(г) — стационарный в узком смысле центрированный случайный процесс, удовлетворяющий условию равномерно сильного перемешивания (см. (4.44аЦ. Тогда можно указать такой интервал времени Т, что при т)Т коэффициент перемешивания»р(т) ( (н, где а — малая положительная константа. Поэтому для принятой вероятностной модели наблюдаемого процесса существует такая частота дискретизации гс = 1/Т реализации этого процесса, на которой при всех г(го выборки х(и) и х(о) при )и — и(')Т можно считать практически независимыми, В частном случае Т- зависимой помехи (см.
п. 4.2.7) указанные выборки будут строго независимы. Для указанной модели аддитивных помехи можно, как будет показано далее, использовать модификацию знаковых и ранговых алгоритмов обнаружения детерминированного сигнала, которая позволяет синтезировать непараметрические алгоритмы обнаружения по независимым группам коррелированных выборок. Рассмотрим два этапа преобразования наблюдаемого процесса.
На первом осуществляется временная дискретизация реализации х(/) в моменты времени (рис. 16.7) (ы = (1 — 1) (Т, + Т) + (Т/пг, 1 = 1, М, / = 1, п, 1ы ~ (О, Т„), где Т»= — Т» М = = » Тн=/УТ (16 826) гн Ге+ Т и»+ н — 1 причем пт, и, Н и М вЂ” целые числа. В результате указанной дискретизации получаем М групп выборок, каждая нз которых содержит п выборочных значений на интервале длительностью Т;.
х;=(хп,,.., х,„), хы=х(1„), 1=1, М, 1'=1, и, 489 Рис. 1676 Независимые группы коррелироваииых выборок где индекс 1 — номер группы, а индекс 1 — номер выборочного значения в данной группе. Векторные выборки хь хы ..., хм представляют совокупность независимых (практически) п-мерных случайных величин, а компоненты каждого вектора хо 1=1,М, коррелированы. Независимость случайных векторов следует из того, что интервал между моментом выбора последнего элемента выборки х; и первым элементом выборки хеы 1'(Т„+ Т) + — — (1 — 1) (Т, + Т) — — = Те+ Т вЂ” — Т = Т. Второй этап преобразования состоит в редукции данных, при которой устанавливается соответствие между случайным вектором х; н скалярной случайной величиной У;=у(х;), 1= 1,М, и, следовательно, между совокупностью векторных выборок х;, 1= 1, М, и М-мерным случайным вектором У= ( Уь ..., Уы) с независимыми компонентами, которые при гипотезе Н подчиняются одному и тому же распределению стационарной помехи.
Поэтому векторная статистика 1( может быть использована для синтеза непараметрических (знаковых, ранговых) алгоритмов обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной стационарной коррелированной помехи. 16.3.2. Использование линейных статистик. Пусть сь 1=1,ив заданные константы. Образуем скалярные случайные величины У;= ~;~у~м, 1=1, М. (16.83) /=1 Каждая из случайных величин У; представляет линейную комбинацию выборок рй группы, .причем весовые коэффициенты с,, 1= =1,п, зависят от номера выборочного элемента группы, а не от номера группы. При гипотезе Н (сигнала нет) случайные величины У,,..., Ум независимы, распределены одинаково с плотностью вероятности гв„(у), определяемой распределением помехи, причем среднее значение каждой из этих величин равно нулю, а дисперсия в и Т ог=р (УЛН)=о,'Х Х с с Нь[(1' — й) — „1 (16.84) 7 1а-~ 490 где озз и яй(т) — дисперсия и нормированная корреляционная функция помехи.
Вводя корреляционную матрицу размером пХп помехи К1=(озз Й1((/ — й)Т/т)), /, й=1, и, можно (1684) переписать в виде а4г= с'К1с, (16.84а) где с — вектор весовых коэффициентов. При альтернативе К (сигнал присутствует) плотность вероятности случайной величины У~ равна иг(у — Лй;), где л Лй;=т,(У,/К)=Л ~с~ам, зы-— з((ы), 1=1, М.
(16.85) 1 16.3.3. Знаковые и ранговые алгоритмы обнаружения детерминированных сигналов на фоне аддитивных коррелированных помех. Из (16.83) и (16.85) следует, что для обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной коррелированной помехи, удовлетворяющей условию равномерно сильного перемешивания, с симметричной плотностью распределения можно использовать знаковый алгоритм (16.3) или более эффективный знаково-ранговый алгоритм (16.19), если в указанных алгоритмах независимые выборки х= (х„..., х„) заменить вектором статистик у=(уь, Ум), а вектор сигнальных значений з=(зь, з„) — вектором п=(й„..., йм), При аналогичной замене можно использовать ранговые алгоритмы (16.32), при этом отпадает условие симметрии плотности вероятности помехи.
Заметим, что за общее время наблюдения Т„=ИТ при указанном в начале п. 16.3.1 соотношении между периодом дискретизации Т и коэффициентом перемешивания ~р(т) можно получить У независимых выборок. В рассматриваемых алгоритмах используется пМ=птН/(и+т — 1) коррелированных выборок (т. е. в тл/(и+т — 1) раз больше, чем при независимых выборхгах) и М=гп/у/(и+т — 1) независимых групп коррелированных выборок. Отсюда следует, что на формирование одной независимой выборки затрачивается время Т, а на формирование независимых групп коррелированных выборок — время Т,+ Т (см.
(16.82а)), т. е. в (т+и — 1)/лт раз больше, чем для независимых выборок. Это следует учитывать при сравнении непараметрических алгоритмов обнаружения сигналов на фоне независимых и коррелированных помех. Эффективность непараметрического алгоритма Ь„обнаружения сигнала на фоне аддитивной коррелированной помехи относительно аналогичного алгоритма Ь„, использующего независимые выборки помехи, характеризуется так называемым асимптотическим относительным временем обработки (АОВО), определяемым из соотношения таово=р(бк, бн)Т/(Т~+Т) = р(бю Ьа)гп/(лт+и — 1), (1686) где р(6„, 6„) — КАОЭ алгоритма 6, по отношению к алгоритму Ь.
491 16.3.4. Знаковый алгоритм обнаружения постоянного сигнала на фоне коррелированной помехи. Для обнаружения постоянногО сигнала на фоне аддитивной коррелированной помехи, удовлетворяющей указанным в п. 16.3.3 условиям, в (51) предложен и исследован следующий знаковый алгоритм: принимается решение, что сигнал присутствует, если м — ~', здпу!~с, (16.87у ! ! где У! Определяются согласно (16.83), если все константы с; положить равными единице. Для сравнения алгоритма (16.87) со знаковым алгоритмом обнаружения постоянного сигнала при независимых выборках используется величина т.„, [см.
(16.86)1. Показано, что вв (О) лат (16.88Т аово= тв(0) т+л — ! где и!т(у) — плотность вероятности случайных величин ус, =1,М, а и!(Х) — симметричная плотность вероятности помехи. Если т-~со, л7л1-о-оо, то Г2 г 7 — ! таово ~",) )71(т) ~~т (16.88ау где Р1(т) — нормированная корреляционная функция помехи. Во мнОГих случаях таово) 1 ° Заметим, что даже при обнаружении постоянного сигнала для повышения эффективности алгоритма обнаружения целесообразно использовать статистики у! с переменными весовыми коэффициентами, согласованными с корреляционной функцией помехи. Глава П СИНТЕЗ АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ) 17.1. АСИМПТОТИЧВСКАЯ ОПТИМАЛЬНОСТЬ 17.1.1.
Асимптотический принцип синтеза алгоритмов обнаружения сигналов. Задачи синтеза алгоритмов обнаружении сигналов, рассмотренные в гл. 12 — 16, решались с использованием выборок конечных размеров. Однако во многих случаях анализ рабочих характеристик алгоритмов удается провести только при неограниченном увеличении размеров выборок, например на основе коэффициента асимптотической относительной эффективности (КАОЭ). Асимптотический принцип можно использовать и,при 492 синтезе алгоритма обнаружения сигнала, применив затем такой алгоритм в допредельной ситуации, т. е.
при конечном размере выборки. Предположим, что одновременно амплитуда сигнала Л„- 0 и размер выборки и — «оо. Тогда прн заданной вероятности а ложной тревоги существует предельное значение (отличающееся от 0 и 1) вероятности 6 пропуска сигнала, если только Лн ]Г п=уп, 0('Уп<ос. (17.1) Ясно, что для любого состоятельного алгоритма Ь„вероятность пропуска сигнала (!(Ьго Л„)- 0 при и- оо, если Л„-«Л:«О. Условие (17.1) допускает простое объяснение: значение Лз„п, пропорциональное отношению мощности сигнала к мощности помехи после обработки, н, следовательно, это условие ограничивает указанное отношение при предельном переходе (см., например, п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
