Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 93
Текст из файла (страница 93)
17.3.3. Распределение статистик при альтернативе. Для коктигуальных последовательностей распределений имеет место следующее утверждение (см. (53; следствие теоремы 7.11): Лемма 2. Если распределение статистики логарифма отношения правдоподобия при гипотезе Н сходится к нормальному с параметрами — ог/2, о', то при альтернативе К распределение этой статистики также сходится к нормальному с параметрами ог72 ог Пусть у„(х) — векторная статистика размером т, которая при гипотезе Н асимптотически нормальна с параметрами О, В, где  — невырожденная ковариационная матрица размером пгХт.
Пусть г„(х~ Н) и Г„(х) К) — последовательности распределений выборки х при гипотезе Н и альтернативе К, причем распределение Г„(к~ К) зависит от лг-мерного векторного параметра Ю. Предположим, что распределение логарифма отношения правдоподобия 1п1„(х) при гипотезе Н сходится (и-л-со) к ноомальному с параметрами — д'ВО!2, д'ВЮ. Тогда последовательности распределений г„(х(Н), г"„(х(К) контигуальны. Если, кроме того, при гипотезе Н 1п1„(х) — О' у„(х) — '- — — О' В О, л-кл 2 (17.53) так как рг ~=У(хг)~ = — 1г. 17 аг 1 т~~~ ) )/л 1 п. п.в Из (17.53) и (17.23) следует, что при гипотезе Н т1 <о — ~- О. л лл Так как прн О(х(1 1п(1+х) л х — х/2+скг, (с)(3, то, учитывая (17.52), представим (17.51) в виде л г 1п1(х~О) =- 1< Е з,~(х,) — —" Х зг~г(х,)+ ~lл ~=г 2л +г)~гг(х, т" )+т)~п(х, (17.54) где л г)(г1 (х тл ~1 с уз и 3/г ~~~ зз 43 (х ) (1?.54а) Согласно закону больших чисел (см.
п. 3.4.3) при гипотезе Н второй член в правой части (17.54) сходится по вероятности к постоянной величине, равной г л 1ппт ~ — —" Х зг~г(хг) 1 = — — "1гЯ7„ л- ~ 2л 2 (17.55) . где л %', = 11т — ~ зг, Яг,('оо, л+< П 11т у„= Цт Хл )/ и = 7, 7 ( оо.
(17.56) (17.56а) л л л+с Используя оценку 1)„")(х, т" ) (Сул игах =~з;~(х)~ — ~„'зг)з(х), ~lл у 1<г<л ~lи л .004 .и функция 1(х) определена согласно (17.19). Введем условие шах !з,) (С, (17.52) ~<ил которое практически всегда выполняется. Докажем сначала, что при гипотезяе Н последовательность случайных величин г)„<о сходится по вероятности к нулю.
Из условия (17.52) и ограниченности информации по Фишеру (17.21) следует, что при гипотезе Н вЂ” '"" Р(хг)-"' О, можно доказать, что при гипотезе Н случайная величина п„ыг сходится по вероятности к нулю. Теперь рассмотрим первый член разложения (17.54). Потребуем, чтобы выполнялось условие г ч 11ш шах зз» / 2; з1= О, л-кю 1<ь<а которое является достаточным для применимости центральной предельной теоремы 1см. (3.111)1. Тогда сумма ~" Х з /(х~) Мл,, асимптотически нормальная с нулевым средним и дисперсией у'1~%"„где Ж", и Т определены согласно (17.56), (17.56а).
Итак, первый член разложения (17.54) асимптотически нор- мальный с параметрами О, ТЧг)Р„второй сходится к константе — (у'/2)1г(Р„а последние два члена сходятся к нулю. Распреде- ление статистики 1п/(х~д) при гипотезе Н также асимптотическн нормальное с параметрами — (у'/2) 1~)Р„у'1гйг,. На основании леммы 1 (см. п. 17.3.1) отсюда следует, что последовательности распределений логарифма отношения правдоподобия при гипоте- зе и при альтернативе контигуальны.
Поэтому свойства асимпто- тического разложения (17.54), доказанные при гипотезе Н, сохра- няются и при альтернативе К, причем согласно лемме 2 (см. п. 17.3.2) распределение статистики 1и/(х~д) и при альтернати- ве К асимптотически нормальное с параметрами (у'/2) 1~1(У„ у'1! )Р,. Таким образом, получаем следующую теорему: Теорема 1. Прн выполнении условий (17.4), (17.52) н (17.57) имеет место следующее разложение логарифма отношения прав- подобия при гипотезе Н и при альтернативе К; !и/(х~д) =Ту (х) — (ТЧ2) !гав',+т1„(х, у/)/ п), (17.58) (17.577 где ч д„(х) = — 2; з,/(х,), (17.59) Ул с-~ (17.59а) Распределение логарифма отношения правдоподобия при и- оо асимптотнческп нормальное и при гипотезе, н при альтернативе.
Параметры предельного распределения при гипотезе Н равны та т2 — — /~37„у'1~(Р„а при альтернативе К равны — 1~)Р,„ 2 2 17.4.2. Независимая последовательность векторных выборок. Результаты п.17.4.! обобщаются на независимую последовательность г-мерных векторных выборок х„..., х„(см. п. 17.2.2). Пусть г-мериая плотность вероятности каждой векторной выборки удо- 505. влетворяет условиям (17.24) — (17.28). Введем матрицу Я разме- ром гХг с элементами '1см. (17.38)) л Юм=11ш — 2,' зги зхг 1 1ол 1 г, л-йю Л (17.60) и предположим, что эта матрица положительно определенная.
Обозначим (17.61в) где и — о 0 и х"1= (хь ..., х„). Компоненты вектора у„(хгл) в л-о разложении (17.62) л улт(хл)= —;~ зм/г(х1), /оо1, г, (17.63) где (;(х) — компоненты вектора 1(х), определенные согласно (17.25), а  — матрица размером гХг с элементами ВО=9610 [см. (17.27) ). Используя (17.26) и многомерный вариант центральной предельной теоремы (см. п. 3.4.6), можно при сформулированных условиях доказать, что первый член разложения у'у„(х) при гипотезе Н слабо сходится к гауссовской случайной величине с нулевым средним и дисперсией 7'В7.
Распределение статистики 1п!(х~д) при гипотезе Н также асимптотически нормальное с параметрами — 7'Ву/2, у'Ву. На основании леммы 1 (см. п. 17.3.1) отсюда следует, что последовательность функций распределения указанной статистики при гипотезе Н и при альтернативе К контигуальны. Поэтому асимптотическое разложение (17.62) сохраняется и при альтернативе, причем согласно лемме 2 (см. и.
17.3.2) статистика 1п1(х16) при альтернативе асимптотически нормальна, а параметры предельного распределения равны 7'Ву/2, 7'Ву. Таким образом, получаем следующую теорему: 606 Л„,У'в=у„,, О.Су„,< (17.61а) 1(т ул = у, О <. у; ( оо, (17.61б) л-оо причем у=(уь ..., у,). (Если 1.„;=Х„, /оо1, г, то т=уе, где е— единичный вектор и у= Вгп Х )г и.) о+со Предположим, что для всех /=1, г шах 153Л ( С, 1еи<л Вгп гпах зз / 2' ,ззп= О. (17.61г) л 'оо !<ьял / Тогда при гипотезе Н имеет место следующее асимптотическое разложение логарифма отношения правдоподобия !п1(хл(6) =7'у„(хл) — — 7'Ву+т)„( х",, =1, (17.62) ~~'л Творима 2.
При выполнении условий (17.24) — (17.28), (17.61) имеет место разложение (17.62) логарифма отношения цравдоподобия и при гипотезе Н, и при альтернативе К. Распределение логарифма отношения правдоподобия асимптотически нормальное и при гипотезе, н при альтернативе, а параметры предельного распределения равны соответственно — т'Ву/2, т'Ву и у'Ву/2, у'Ву. 17.4.3. Многосвязная марковская последовательность. Используя (17.33), можно получить следующее асимптотическое разложение логарифма отношения правдоподобия для эргодическоВ Й-связной марковской последовательности при гипотезе Н: л 1п1(х" ь+~]тг)= т ~ Г(х', ) з,' „— а с=~ — 1г [О 1~] + т)„( х" ь+ы 7„/)~ и), 2 (17.64~ где 1(а) — вектор компоненты которого согласно (17.30) д ( та~ ь~т [ с /г(х,' „)= 1пш~х,]х,'-„'„=]~,(,, )=1, Й, 1у — информационная матрица Фишера [см.
(17.32)1, 1:1 — положительно определенная матрица размером ЙХЙ с элементами л (), ° =!]ш — г ад зг — г+а = Яг-ь (17.66). л.+со а (17.69г б07 Заметим, что компоненты векторов 1(г;) и 1(х;) попарно некоррелированы, если х;~хь т. е. т~(/ (х'; ь)/ч(х~; ь) ]Н) =1мбц, (17.67)' где 1м — — т~ф(х'; ь)/ч(х*'ь-а) ] Н) — элементы информационной.
матрицы Фишера !ь Эргодическая конечносвязная марковская последовательность удовлетворяет условию сильного перемешивания (см. например„ [221, с. 181 и 1141, с. 233), при котором применима центральная предельная теорема (см. и. 5.2.7). Тогда, учитывая (17.31) и (17.67), можно доказать, что первый член разложения (17.64) и л ь у„(х) = — 2,1'(х,' ) з,' = — ~ ~,'/~(х! ) з, 1 (17.68) в ~~ а гу! при гипотезе Н слабо сходится при и-~-оо к гауссовской случайной величине с нулевым средним и дисперсией 1[411]-Х Х]„Е„, а„~ .
г=!ч ! а' т«(!п!(х[К)) — и, (1и 1(х[Н)) (17.70) — 1пп «-»» [)«з (1п 1[х[Н, К))!1IЗ Из полученных результатов следует, что расстояние между предельными распределениями статистик логарифма отношения правдоподобия равно: в случае независимой выборки [см, теорему 1) '1= 7[1! йг»! (17.70а) в случае независимой последовательности векторных выборок (см. теорему 2) д = [7'ву! ч«, [17.70б) в случае многосвязной марковской последовательности [см. теорему 3) и=7[1««[Ц чз. (17.70в) 508 При доказательстве предполагается выполнение следующих ус- ловий [54]: 1г [([1 «] ) О, и« ~ ( [!' (х) е] " ] Н 7 ( оо, .где е — (1+1)-мерный единичный вектор.
Распределение статистики 1п1(х[д) прн гипотезе Н асимптоу' "тически нормальное с параметрами — — 1г[1[11 ], уз[г[01«]. На 2 основании леммы 1 (см. п, 17.3.1) отсюда следует, что последова- тельности распредез)ений указанной статистики при гипотезе Н и при альтернативе К контигуальны. Поэтому асимптотическое разложение (17.64) оохраняется и при альтернативе, причем соглас- но лемме 2 (см. п. 17.3.2) статистика 1п[(х[б) также асимптоти- чески нормальна, а параметры предельного распределения равны ,(у'/2)1г [[41«], у'1г [([1 ].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
