Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Далее л в л в Ул(хИН') = — Х Х Х Х т,()с(х, в) Х "с сс сс св х ),(хс в)!Нв)зс, з, Обозначая элементы матриц 1ссл>з„и 11< ос: св = т,(сс(хс в) 1л(хс в ))Нв), (тс Р»; =11ш — ~, 'зс сзс-,—, а л (17. 105а) (17.1056) получаем при л- оо л — 1 т,(у„'(х)~Нв) = !пп 2; 1г(!сс„'Я'"') = л +л' т — л+С =- 1г (1' " (1' ") + 2 Иш' У 1г (!)„' 11' '). (17.106) л-ью где у(х) — вектор с компонентами Ус (х~с «) — ! и и (хс ! хюс в, 7 зс Я и )1 с, / = 1, й, двс с (17.100) 1з=тс(д(х)д'(х)~Н ) (17.101) — информационная матрица Фишера, Я вЂ” положительно определенная матрица с элементами, определенными в (17.66), и л.в г1л -» О.
Статистика Ковариация статистик у* '(х) и у„о'(х) прн гипотезе Н* (прн л- оо) т, (у„' (х) у„„(х) [Н'» = [пп т, ~ — х ! л- о л л « х 2' Х у!(х! «)з! ! 2; 2, '!о(х!~ «)о, [Н»= ! ! / ! ! !о ! л †! = Ищ ~; [г [1<!л! (1">[- 1г [1(о,„'(1'о'[ -[- л ало л + 2 Ип! ~ 1г [1' !„! 11'"![, (17.107) л ол где 1! >о!„— матрица размером я Хй с элементами 1!оц !=т«(йг(х!' «) [(хЕ, „)[Н*», (17,107а) Если существуют конечные пределы л — 1 [пп ~; 1г [1!,„! (1!"![ = Н,„, (17.108а) ' т=-л+! л — ! [пп ~ 1г[1'ф(1' '[= Н,„, (17.1086~ л оо л л+! Ны 7Н«ы [,н„о'~ !аа! )' Можно доказать (см.
[42», с. 263), что статистика у-о(х) и при альтернативе К' асимптотически нормальна с параметрами тН«!и, Ноги ° то для векторной статистики с компонентамн [уло(х), 1п 1'(х[б)» выполняются условия двумерной центральной предельной теоремы. Поэтому при гипотезе Н' предельное распределение этого вектора нормальное с параметрамн: средние значения компонент О, ( — то/2)1г[а)1«», ковариациониая матрица Глава 18 АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ ДИСКРЕТНО-АНАЛОГОВЫЕ АЛГОРИТМЫ ОВНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ АДДИТИВНЫХ ПОМЕХ 18.1. АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ОБНАРУЖЕНИЯ ДЕТЕГМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ НЕЗАВИСИМОЙ ПОМЕХИ 18.1.1. Синтез алгоритма. Рассмотрим задачу обнаружения детерминированного сигнала Лз(1), Л)0 на фоне аддитивной независимой помехи $(1) с плотностью распределения ш(х), органичиваясь классом дискретно-аналоговых алгоритмов.
После временной дискретизации наблюдаемой реализации х(1) в моменты времени 1„..., 1„получаем выборку х=(х„..., х„) размером и, х~=х(1~), (=1, и, и тогда задача обнаружения сигнала состоит в проверке гипотезы Н (сигнала нет): х~-Ь, Ь=Ь(1г), 1=1. и, (18.1а) против альтернативы К (сигнал присутствует): х;=$~+Азь з~=з(1;), (=1, п. (18.1б) Если выполнены условия теоремы 1 (см. п. 17.4.1), то асимптотически оптимальный дискретно-аналоговый алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне адднтивной независимой помехи имеет следующий вид: л т р~ (л) = = Е зю Р (х~) ~~ с, (18.2) ~/и г=~ то где 7 (х) = — — = — — !п в (х), (18. 3) м (х) Нх Лх Предельное (при и-~-со, Х Уи=у(оо) распределение статистики (18.2) нормальное с параметрами О, 1~27, при гипотезе Н и с параметрами 71г!Р„1уй7, при альтернативе К.
Величина йг, определяется согласно (17.56), 1г — информация по Фишеру для помехи 1см. (17.22)), Заметим, что статистика у„(х) при гипотезе Н всегда центрироваиа, даже если распределение помехи несимметрично. 18.1.2. Анализ алгоритма. Предельная рабочая характеристика алгоритма (18.2) х„хг В= ( 7(1,ЦЧП2, (18.4) где э„, х~ а — процентные точки стандартного нормального рас- Д16 (18.9) пределения для заданных вероятностей а ложной тревоги и 1 — р правильного обнаружения сигнала. При этом в (18.2) порог С=Х (!1%" ) гг~. (18.5) Отметим, что при фиксированных значениях а, р, 11, !(Р, фор- мула (18.4) определяет минимально необходимую (пороговую) амплитуду сигнала )с„= ТДI и =- (х„— х рип1 Яр„]'1з (18.6) Определим КАОЭ асимптотически оптимального алгоритма (18.2) по отношению к линейному алгоритму (а) 1 а т1 д„' (х) = — 2; з,х; ~ са, )ггп ~=~ т оптимальному при любом размере выборки, если помеха гауссов- ская.
Так как рабочая характеристика алгоритма (18.7) обнару- жения сигнала Аз(1) на фоне аддитивной центрированной гауссов- ской помехи с дисперсией аз (см. (15.20)1 Ха = Хх — а = уа 1 К1О 'уа = Х )г (18.8) го, используя формулу (17.11), находим из (18.4) и (18.8) иско- мый КАОЭ р= па!1, где [см. (17.22)) г и ча 11 )' ~ — 1и гс(х) ~ гп(х) с(х. (18.10) бх !8.!.3. Структурная схема алгоритма. Алгоритм обнаружения сигнала (18.2) допускает простую интерпретацию (рис. 18.1).
Об- наружитель сигнала состоит из трех блоков: безынерционного не- линейного преобразователя наблюдаемых выборок, дискретного коррелометра, устройства сравнения с порогом выхода корреломет- ра. Характеристика !" (х) нелинейного преобразователя зависит только от распределения помехи. Размер порога определяется ве- роятностью а ложной тревоги, мощностью 17г, сигнала и информа- цией по Фишеру 11 о помехе: 18.1.4. Информация по Фишеру для некоторых типов помех.
Найдем информацию по Фишеру 11 для помех с фиксированной дисперсией о' и часто используемыми распределениями вероятно- стей. Рпс. 1В.1. Схема асимптотически оптимального обнаружители детерминированного сигнала на фоне независимой помехи б!7 (18.11) (18.13) (18.15) (18.17) (18.20) 818 Для центрированной гауссовской помехи с плотностью 1 / х~ в(х) = ехр ~ — — ) а)/2я ~ 2Ф ) из (18.10) получим 1/= 1/о'. (18.12) Для лаплассовского распределения с плотностью в (х) = —.
ехр.[ — ~/ — (х( 1/Ы (, оа из (18.10) получим 1/= 2/о'. (18.14) Рассмотрим обобщенное экспоненциальное распределение с плотностью где А, (с) =о(Г(1/с)/Г(3/с))'/з, с>1/2. (18.15а) Функция (18.15) (рис. 18.2) симметрична относительно нуля, унимодальна, а параметр о' представляет дисперсию. Нормальное и лапласовское распределения являются частными случаями (18.15) при с=2 и с=1 соответственно. Информация по Фишеру для помехи с плотностью (18.15) 1 = (с/о)зГ(З/с) Г(2 — 1/с) /Гз(1/с). (18.18) Для логического распределения с плотностью в (х) = ехр ( — ах ) )1 + ехр ~ — ™ )~ из (18.10) после замены переменной интегрирования и = (1+ехр ( — ях/о ) '8) 1 получим 1/=я'/(9о'). (18.18) Заметим, что прн )х)/о»1 плотности лапласовского и логического распределений, как и плотность в (х) =12о с)1 (ях/2о) 1 (18.19) практически совпадают.
Рассмотрим обобщенное распределение Стьюдента с плотностью в(х)=- 1 ( / ' /')) (1+((х(/А (т,с))с) — <~/з+~/о 2А~(т, с) где А,'(ч, с)=о~ ~П, чс) 4, с) О, (18.20а) 1 Г(т/2 — 2/с) Г(3/с) Рис. 18.2. Обобптенное энспоненпн- Рис. (аа Распределение Стьюдента лльное распределение причем бета- и гамма-функции связаны соотношением В (т/2, 1/с) =Г (т/2) Г(1/с)/Г(т/2+1/с). Плотность (18.20) симметрична относительно нуля, унимодальна, параметр а' представляет дисперсию.
При с=2 из (18.20) получаем известное распределение Стьюдента с т — 2 степенями свободы [ср. с (14.111)]: о (/т — 2 1 о'(т — 2) / На рис. 18.3 построена зависимость (18.21) для т=3, штриховой линией показана плотность нормального распределения. Информация по Фишеру для помехи с плотностью (18.20) 1 е Г (3/2) Г (2 — 1/с) Г (т/2 — 2/с) Г (т/2+ 1/с) Г (т/2+ 2/с) 11 = (ст/ + !) от Г' (1/с) Г'(т/2) Г(т/2+ 1/с+ 2) (18.22) При с=2 (распределение Стьюдента) из (18.22) следует 1)= р(т+1)/[пэ(т — 2) (т+3)], т л.2.
(18.23) При т — оо из (18.23) следует 1т-~1/оэ, как и должно быть, потому что при т-э-оо функция (18.21) сходится к плотности нормального распределения (см. п. 14.5.4). Заметим, что во всех рассмотренных случаях 11>1/аэ, причем знак равенства соответствует гауссовской помехе. Можно доказать (см. [7], с. 558), что в классе всех дифференцируемых плотностей тв(х), — оо(хс.оо с заданной дисперсией од значение 11 информации по Фишеру минимально при нормальном распределении. 18.1.5. Характеристики нелинейных преобразователей для некоторых типов помех и соответствующие асимптотическн оптимальные алгоритмы обнаружения.
Для гауссовской помехи с нулевым средним и дисперсией а' из (18.3) и (18.11) получим 1(х) =х/ол, (18.24) т. е. характеристика преобразователя линейная. Асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения в этом случае совпадает с оптимальным по критерию Неймана — Пирсона алгоритмом обнаружения сигнала при любом размере выборки [см. (18.7)]. 519 у7х)/н Для лапласовской помехи с плот- 1 ностью (18.13) 1 (х) = )1'21отзйп х, (18.25) В 1 1 х,сн где зип х — ЗнакоВая фуНКЦИя [СМ. (13.63) ).
Нелинейный преобразователь наблюдаемых выборок представляет в этом случае идеальный ограничитель (рис. 18.4). Подставляя (!8.25) в (18.2) и учитывая (18.5), (18.24), находим асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения детерминированного сигнала иа фоне адднтивной независимой лапласовской помехи Рис. 1Вэп Характеристика нде альпого ограничителя ' и т! — Х з,зйпхс ~~хиР'т!. УП 14И У! Для обобщенного экспоненциального распределения [см. (18.15)1 1(х) =с[А!(с)1- (х( !вднх, с)112. (18.27) (18.26) Для помехи с логическим распределением [см. (18.17)] 1(х) Ф ( ) . (18.28) Нелинейный преобразователь в этом случае представляет сглаженный ограничитель (рис. 18.5).
Аналогичная характеристика преобразователя получается и для помехи с плотностью (18.19). Подставляя (18.28) в (18.2) и учитывая (18.5), (18.18), находим асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой логистнческой помехи (18. 29 ~(х1 н Рис. 1ВД. Характеристика сглаженного ограничителя Рис. 1В.б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
