Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 99
Текст из файла (страница 99)
Структурная схема алгоритма. Асимптотически оптимальный обнаружнтель квазидетерминированного сигнала на фоне многосвязной марковской помехи состоит из тех же блоков, которые изображены на рнс. 18.8. Однако в этом случае более сложным является вычислитель компонент векторной статистики [см. (18.103)1. По входной реализации наблюдаемого процесса формируется векторная выборка х'; м которая используется для получения значений 7;(х'; о), 1=0, й. Эта общая часть вычнслнтеля не отличается от вычислителя на рис. 18.9. При помощи генераторов базисных функций Чч(1), 1=11,п7, формируются векторы чч= [чл(1о-к), ..., В(1~)), которые совместно с компонентами [1 используются в т однотипных коррелометрах для вычисления корреляционных сумм Х1,(х'; д)~р,(1;;).
Вычисления повторяем для у о всех значений индекса 1=1, л, затем суммируем и в результате получаем значения компонент (18.103). 18.3.3. Нормальное распределение случайных параметров сигнала. Предположим, что совместная плотность распределения гв(с) параметров сигнала — нормальная с нулевым средним н корреляционной матрнцей Р. Нетрудно показать (см. [18, с. 1721), что в этом случае усредненное отношение правдоподобия монотонно зависит от статистики ф(у„) =У',В-'у„— У'„(В+у'В'Р 'В) 'у„= у'„бу„, (18,109) где б=в 1 — (В+уов'Р В) 1, (18.109а) 537 Следовательно, асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения квазидетерминированного сигнала в рассматриваемом случае можно записать в виде т~ у„(х" +,) бу„(х" о+с) — - с*, (18.110) причем константы с* и у находятся из системы уравнений Р(у'„бу„)с*[Н) =а, Р[у'„бу„= с*[К~ =1 — 8.
(18.11!а) (18.1116) [б — 11[ =0, (18.112) где ! — единичная матрица. Алгоритм (18.110) преобразуется при этом к виду оо (х) о= с ~ч$ те где з„с, ..., г„— совокупность независимых гауссовских случайных величин с нулевыми средними и единичными дисперсиями. 18.5.4. Асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения модулированного сигнала со случайной фазой.
Рассмотрим задачу обнаружения сигнала Хз(1), где з(1) определяется согласно (18.90), а функции срс(1), сро(1) и компоненты сс„со вектора случайных параметров сигнала — согласно (18.91а — в). Тогда [см. (18.105) 1 г А,'с' = А,'с = 11т — )' а (1+ 1 т) а (1+ / т) с(1 = „гт о = — Вл [(с — 1) т), 1 (18. 114а) 2 Ас[ = А1[ = О, с, / = О, й. сс Элементы матрицы В [см. (18.104)) о Ф 5=В„=В„= — 5'. Р. 1„В [(1 — г)т), (18.115а) со=о Всо=воо=-0 (18.1146) и квадратичная форма с'Во= сосВн+с'овм Ь. 538 (18.116) Как известно (см., например, [58, с. 478))„ существует ортогональное преобразование квадратичной формы у' бу в сумму квадратов с коэффициентами, определяемыми корнями характеристического уравнения статистики у„(х" ОО.1) [см. (18,103)] 1у (»" „+, ) а (11 з) соз [вО 11 з + Компоненты векторной О У„, (х",+,) = — 2,' + ОР (11-~)] л О у„О (х",) — 2„'2', [1 (х",,) а (1; з) з[п [вО 11 ~+ $~Л 111 О (18.
117а) + Р(11 Д. (18. 117б) Усредняя отношение правдоподобия по случайным параметрам, получаем [ом. (18.95)] 1 1 Л [у„(х" +,)] = [' [' 6(с,— $ 1 — с~1) х я У1 — с 1 (18,120) х ехР [ Ус1 У„1 (х" „+1) +Ус,У„, (х",+1) — т ~ бс1да,. (18.118) 2 Используя фильтрующее свойство дельта-функцнн, выполняем интегРиРование по пеРеменной см а затем, заменЯЯ с, =соя ОР, приводим выражение (18.118) к виду Л [у„(х" „+,)] = 1, [у[у„(хО О+1)[] екр ( — у'Ы2). (18.119) Из (18.119) следует, что усредненное отношение правдоподобия является монотонной функцией статистики [у„(х" +,)['= — ~~ 2„'2.
/т (х! „) а ((1 ~) х 11У-О 111ОО х сов [вО1+ф(11 1)]~ + ~ 2, '2, /1(х,1 ) а(11 т) х 1 1=0 11, х 3 [ 1+1(г — ')]1 ) Лсимптотически оптимальный алгоритм обнаружения моду- лированного сигнала со случайной равномерно распределенной фазой на фоне аддитнвной /О-связной марковской помехи имеет вид неравенства (18.121) левая часть которой определена в (18.120). Компоненты векторной статистики у„(хО.ОО.1) асимптотически нормальны, а при гипотезе Н вЂ” независимые, цеитрированные с одинаковыми дисперсиями, равными Ь [см. (18.115а)]. Поэтому при заданной вероятности а ложной тревоги порог с в (18.121) определяется из соотношения [ср.
с (18.99)]: с*=Ь 1п(1/а). (18.122) 539 Глава 19 АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЦИФРОВЫЕ АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ АДДИТИВНЫХ ПОМЕХ 19Л. АСИМПТОГИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЙ ЦИФРОВОЙ АЛГОРИТМ ОБНАРУЖЕНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ НЕЗАВИСИМОЙ ПОМЕХИ 19.1.1.
Оптимальный по критерию Неймана — Пирсона цифровой алгоритм обнаружения сигнала. В отличие от дискретно-аналоговой обработки ~при цифровой обработке наблюдаемый процесс квантуется ие только во времени, но и по амплитуде. Предположим, что значения наблюдаемого процесса квантуются на М уровней,по закону (см. п. 8.3.1 и рис. 8.2) О(х) =ам х~(г~ ь хь) =Ею й=!, М, (19.1) и причем Е;ПЕ,=З, 1Ф1, 1, 1'=1, М, () Еь=Х'. ь=1 Закон амплитудного.квантования Определяется двумя векторами: вектор а= (аь ..., ам) и вектором граничных точек интервалов квантования х= ( — ос=за, гь ..., хм=ос). На выходе аналого-цифрового преобразователя (АЦП) из наблюдаемой независимой выборки х= (хь ..., х„), х;=х(1;), получаем независимую выборку того же размера п дискретных случайных, величин ао~, ..., а(">, со значениями из заданного множества аь ..., ам, т. е.
а(О = Я (х,) = ~, 'аь у, (х ), (19.2) 1=1 где Т (х)=) 10, х;~Е„ — индикатор множества Еь 540 (19.3) При альтернативе К указанные компоненты также асимптотически нормальны, независимы, их средние значения равны ГЬ, а дисперсии равны Ь. Следовательно, при альтернативе статистика К подчиняется нецентральному х'-распределению с двумя степенями свободы и параметром нецентральностн ТЬ. Вероятность правильного обнаружения 1 — Р = Р (1у„(х" +,)~) Ь!п(1/а)(К), откуда получаем (ср. с (18.101)) г, а (2, у Ь) = 1п (1/а).
(18.1236) При гипотезе Н (сигнала нет) Р(а! )= а„(Н) = )' в (х) !(х=ро, й=!,М, (19.4а) причем Х ро= 1 и вероятность ро не зависит от индекса о, так о=! оган при гипотезе Н выборка однородная. При альтернативе К '(сигнал присутствует) го Р (а! !=а„~(К) = )' и!(х — Л„з;) дх=рд! (Л„з,), А= 1,М, о-! !' = 1, и, (19,46) (19. 4в) Х Ры (Л з!) = 1, !' =- 1, и, о=! где з =з(1), Рон(0) — Ро и ш(х), ш(х — Лз) — плотности распределения помехи и смеси сигнала с адднтненой помехой. Оптимальный по критерию Неймана — Пирсона цифровой алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне независи~мой помехи предписывает сравнение с порогом статистики логарифма отношения правдоподобия л и 1п1а(х)= о. 2; 1и ~ "'~" 0 Х (х!). Ро (19.6) Ро (0) = Р, ( 1+ 0 — 1п Ро (0) (о=о + бе 6 (О) ] !! лб (19.6) причем для любого е)0 всегда найдется такое О,, что )6(0) !(е при 10((0о. В (19.6) величина а"о= — !п ро(0) (о=о равна Ю л ~о ао = — — )' и! (х — О) !)хне=о = — — 1" и!(у) !(у ~о=о Ро !ГО Ро ~ о — е ~о — ! *о-! илн а' =( (х,-!) — и!(го)) ~ 1' а!(у) у,й=1, М.
( *о-! (19.7) 541 19.1.2. Асимптотическое разложение логарифма отношения правдоподобия. Как и для дискретно-аналоговых алгоритмов, прн синтезе асимптотичеоки оптимальных цифровых алгоритмов обнаружения сигналов используется асимптотическое разложение логарифма отношения правдоподобия. Предположим, что для всех значений 1=1, М функция рд(д) дифференцируема по парамет- РУ 0 Ро=ро(0))0 и (19.75) (19.8) (!9.12) (19.12а) После элементарных, преобразований а"„= [ 7(х) в(х) бх ] ]' в(х) г(х, й= 1, М, (19.7а) л — 1 г л— где [ср. с (17.19)] 7' (х) =- — —" 1п ы (х). л» Ясно, что [см. (19.7)] а„' р„= 2; (гп (х„,) — ы (гь)) = О.
(19.7в) 4 1 й-1 Предположим, что количество информации по Фишеру для независимых квантованнык выборок помехи м Г л 1в м 1о = Х ~~ — ! рь(0)(е- ~ рл= Х аГр 4-1 ограничено, не равно нулю, выполняются условия (17.52) и (17.57), а также З,„Уп=у„, 0(у„(оо. При указанных предположениях логарифм отношения правдоподобия (19.5) допускает следующее асимптотическое разложение: !и 1о(к) = 1 ~ з;Я*(х,) — т 1о. 27,+т)л(к, У„аД/а), (!9.9) л г=1 где Ж', определено согласно (17.56), а м м !4*(х) ~, '— (прл (б)!е-э Х„(х) = 2; а'„Хл (х), (19.10) ~ ~Ю ь=-1 п.в причем т= 1пп т н 4) — + 0 и при гипотезе Н, н при альтернал-ко и-юэ тине К Статистика (19.9) нсимптотически нормальна с параметрами — (792)1о*И'„7'1о.йу, при гипотезе Н и с параметрами (7'!2) Х Х1ч*1(г"., у'1ч.%7, при альтернативе К. Доказательство приведенных утверждений аналогично доказательству теоремы 1 в п.
17.4.1. Статистика [первый член разложения (19.9)] л рл (к) = — 2; з, 4)л (х,) (19. 11) э~л асимптотическн нормальна с параметрами О, 1о*((Г, при гипотезе Н и т1о (р„1о*)!г, при альтернативе К. Из (19.5), (19.8) и (!9.10) следует т1 Я* (х) 1Н) = О, !а~ Я* (х) ! Н) = 1о*, так как т1(ть(х) !Н) =т,(114(х) (Н) =Р(х~енЕь) = рл. 542 Заметим, что статистика (19Л1) сг получается из (! 7.59) заменой функции !(х) на !1*(х), а параметры предельного распределения статистики (19.1!) — из параметров предельного распределения статистики (17.59) заменой 1у и 1о*.
ио 19.1.3. Асимптотически оптималь- Рис. Укд Схема асимитотнчссин иый цифровой алгоритм обнаруже- оптимального нифроваго обнаРуиия детерминированного сигнала. жителЯ иегсРмиииРованного сигИз (19.11) непосредственно следует, что цифровой асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне адднтивной независимой стационарной помехи и Ч, у„(х) = — У и'; Я*(х;) =-с, и г=1 т. (19.13) где функция Я" (х) определена согласно (19.10).
Учитывая асимптотическую нормальность статистики у„(х) и значения параметров предельного распределения, нетрудно определить порог (19.13а) с = ха [1я* В а) и предельную рабочую характеристику обнаружения (19. 14) х„— х1 в = у [! о. )и",) ыв . Заметим, что алгоритм (!9.13) — цифровой, так как наблюдаемая реализация случайного процесса подвергается временной дискретизации н квантованию по уровню (см. п. 12.2.4), Однако при формировании корреляционной суммы в (19.13) используются неквантованные весовые коэффициенты зь 1= 1, и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
