Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Поэтому формула (20.7) определяет вероятность р, ошибочного решения. Эту формулу можно также переписать в виде (20.7) 1 — 0=1 — ро = р„= Х р«Р(уд)Н«), (20.8) которая определяет вероятность правильного решения. Таким образом, при простой функции потерь байесовский алгоритм оптимален по критерию максимума вероятности правильного различения сигналов. При этом нз (20.6) следует У«=1 — Р(Н«[х), (20.9) т. е. байесовский критерий оптимальности совпадает с критерием максимума апостериорной вероятности гипотезы (см. п. 13.3.4). Оптимальный дискретно-аналоговый алгоритм различения сигналов (оптимальное правило выбора решения) формулируется в рассматриваемом случае следующим образом [см.
(13.56)1: принимается решение уд о том, что передан сигнал зд(1), если рд ))т (х) Нд) = гпах р; ))У (х [Н!), й = О, т, (20. 10) «<!<а Так как логарифм — — монотонная функция, то оптимальное правило (20.10) можно переписать в виде 1п )Р' (х [Нд) + 1п Рд = гпах (1п Я7 (х) Н!) +! и Р;), й = О, гп. (20.11) о</<и 20.1.4.
Достаточные статистики. Минимальной достаточной статистикой в рассматриваемой задаче синтеза оптимального албб! горитма различения сигналов является т скалярных функцнй векторной выборки х — отношений правдоподобия 1г(х) =!Р'(х!Нг)/!(У(х!Н,), г=1, т, (20.! 2а) или логарифмов отношений правдоподобия 1п!г(х) =1п[Я7(х[Нг)/)Р(х)Н,)], г=1, т. (20.125) В регулярном случае (см. п. 13.9.2) существует предельная достаточная статистика — т функционалов отношения правдоподо- бия 1, [х (Щ = 1!гп !, (х), г' = 1, т, (20.13а) Л-Мо или т логарифмов функционалов отношения правдоподобия 1п 1, [х(!)) = 1!гп 1п1; (х), г = 1, т.
(20,13б) и+ о Используя достаточную статистику (20.12б), можно оптимальный по критерию максимума апостериорной вероятности дискретно-аналоговый алгоритм (20.41) различения сигналов представить в следующем виде !см (13.57)]: принимается решение о том, что передан сигнал зд(!), если 1п! (х)+!п р„= шах [1п1; (х)+!пр), й= 1,т, 0<гмбх !,(х) р,/р,)1, /=1, т, (20.14 а) и решение о том, что передан сигнал за(4), если 1, (х) р,/ра(1, ! 1,т. (20.14б) Если в соотношениях (20.14), (20.14а,б) отношения правдоподобия заменить функционалами отношения правдоподобия (20.13а), то получим оптимальные по указанному выше критернго аналоговые алгоритмы различения сигналов. (20.14) 20.2. РАЗЛИЧЕНИЕ ДЕТЕРМИИВ1'ОВАИИЫХ СИГНАЛОВ ИА ФОНЕ АДДИТИВИОЙ ГАУССОВСКОИ ПОМЕХИ 20.2.1.
Оптимальный дискретно-аналоговый алгоритм различения. Предположим, что передаваемые сигналы зю(!), ...„з„(!) детерминированы, а помеха в канале связи — аддитивная центрированная гауссовская помеха с известной корреляционной функцией. Наблюдаемая на входе приемника на интервале (О, Т) реализация х(!) смеси сигнала с помехой подвергается временной дискретизации, в результате которой получаем векторную выборку х заданного размера п [см. (20.3)].
Эта выборка представляет векторную гауссовскую случайную величину с вектором средних з, (см. 20.4а)], если верна гипотеза Н; (передан сигнал з;(!)), и с одинаковой для всех гипотез корреляционной матрицей К [см. (20.4б)]. 662 з (20.11), учитывая (20.4), находим оптимальный по критемаксим~ума апостериорной вероятности дискретно-аналого- алгоритм различения детерминированных сигналов на фоне тивной гауссовской помехи.
Принимается решение о том, что дан сигнал зо(!), если 1 К вЂ” ' х — — з' К вЂ” ' з„+ 1п р„= 2 1 шах з'.К вЂ” ' х — — з'.К вЂ” ~ з1+!пр ), о<1<а ~ 2 ! ! 7 (20.15) Обозначим величины, зависящие только от априорных данных, аналогично тому, как это сделано в п.
15.5.1: и'=з'К ', 3 1 с;=Ю„з/2 — !п рь оР„;=з';К-'зь (20.16) (20. 17) и перепишем (20.15) более компактно: и' х — с„= гпах (и' х — ст). о<1<а Для равновероятных сигналов р,=1/(ги+1) и одинаковых для всех сигналов величин Н„,=о(„оптимальный алгоритм различения сводится к определению максимального скалярного произведе- ния (20. 18) л у,т (х) = ~ ип х, = п1 х, / = О, т. 1=! (20.19) Итак, рассмотренное оптимальное правило различения сигналов основано на формировании из векторной выборки х и вектора строки (матрицы размером пХ1) и'= (и'о, ..., и' ) векторной достаточной статистики (20.21) 563 у„(х) =и'х (20.20) с последующим сравнением компонент у„о(х), /=О, т этой статистики (или разностей у„,(х) — с,) для определения максимальной.
Если'х — выборка помехи, то статистика (20.20) — векторнач гауссовская случайная величина с нулевым вектором средних значений и ковариационной матрицей размером (пг+1) Х(гп+!), элементы которой равны з';К 'з;; !, /=О, гп, Если после временной дискретизации наблюдаемой реализации получена независимая выборка, то корреляционная матрица К=по!, где о' — дисперсия помехи, ! — единичная (диагональная) матрица. В этом случае из (20.16) следует а',=з'11/о' и из (20.19), (20.20), опуская постоянный множитель 1/а', получаем векторную досгаточную статистику у„(х) =з'х, где з'= (зе, ..., з ). Компоненты такой статистики представляют скалярные произведения сигнальных и выборочных векторов уи> (х) = з' х = Х зл хо 1 = О, гп. (20.22) г=! Из (20.17) находим, что в рассматриваемом случае и.я> ! и лг > л> оз оз г > (20.23) Рис.
2Ц2. Схема алгоритма различения сигналов 664 Заметим, что каждая из статистик (20.19) аналогична достаточной статистике (15.25) при обнаружении детерминированного сигнала на фане аддитивной коррелированной гауссовской помехи, а каждая из статистик (20.20) аналогична достаточной статистике (15.10) при обнаружении на фоне независимой гауссовской помехи. При этом параметры г(з„, совпадают (при фиксированном сигнале) с соответствующими параметрами рабочей характеристики обнаружения [см. (15.31) и (15.20)1.
20.2.2. Структурная схема оптимального дискретно-аналогового алгоритма различения. Учитывая отмеченную аналогию достаточных статистик в задачах обнаружения и различения сигналов на фоне адднтивной гауссовской помехи, нетрудно представить структурную схему оптимального алгоритма (20.18) (см. п. 15.1.5 и рис. 15.4). Как показано на рис. 20.2, устройство, реализующее алгоритм (20.!8) состоит из набора пт+1 цифровых фильтров Ьп> с испульсными характеристиками [ср. с (15.33)1 йп>„,=и„, 1'=О, лт, 1=1, п. (20.24) Когда на входы фильтров поступают выборочные значения, на нх выходах в конце наблюдения формируются статистики (20.19). После вычитания констант с; [см. (20.17)] все статистики у„,(х) — с, поступают в устройство сравнения (компаратор), выбирающее максимальное значение, которое и определяет принятие решения ул в соответствии с алгоритмом (20.18).
Если с,=с, то операция вычитания в схеме (20.2) опускается и значения статистик с выходов фильтров непосредственно поступает в блок сравнения. (20.27) 565 При независимой выборке х импульсная харатеристика 1-го ф льтра [ср. с. (15.23)! ! ! 01я-!=а!О, 1=0, т, 1= 1, (20.25) т.
е. согласованный [с сигналом з!(1)1 цифровой фильтр. 20.2.3. Вероятность правильного решения. Примем за рабочую характеристику оптимального алгоритма различения сигналов (20.18) зависимость вероятности р„правильного решения от ап- риорных данных. Ограничимся анализом этой характеристики для равновероятных сигналов н одинакового для всех сигналов па- раметра оа„[см. (20.17)1. Из (20.8), (20.4) находим Ш вЂ” 2) т+1 =О т ! 1 — (2 и) — "10 (а(е! К) — 1/О,[ ехр ~ — — (х — ад)' К-' (х— т+1 =0 х„2 — з„)) ах, (20.26) где Ха — область выборочного пространства Х", определяемая соотношением [см. (20.18)) пах=- гпах и'.х. ! 0<гмт После несложных преобразований находим из (20.26) р„= — ехр ~ — — ") 2,' (2 и) — та (йе1 К) — ы' х т+1 2 ьо 1 Х [ ехр(пах) ехр 1à — — х'К вЂ” 'х)дк= = — ехр ( — — ") т, (ехр ( шах и'х)), (20.28) т+ 1 2 а<1<т причем усреднение происходит по распределению гауссовской по- мехи.
Используя (20.19), введем нормированные случайные величи- ны у*;=у„;(х)/О1„, 1=0, т. (20.29) Если выборка х принадлежит гауссовской помехе, то случайные величины (20.29) подчиняются нормальному распределению с нулевыми средними значениями и ковариациями т,(у"Оу':!) =з'ОК-'з;/ОР =Лап 1, 1'=О, т, (20.30) которые представляют нормированные билинейные формы сиг- нальных значений а л Х!т= — 2' ,~', К„,!знои (20,30а) ~~л с коэффициентами, являющимися элементами обратной корреляционной матрицы помехи. Функция распределения случайной величины У= !пах у*; О < у<гп (20.32) Ру(у=-) ) ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
