Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Оптимальные амплитудные и оптимальные фазовые ал'горитмы различения квазидетерминированных сигналов могуг .быть получены обобщением алгоритмов обнаружения, рассмот.ренных в з 15.5. Для синтеза последекторных алгоритмов используем понятие комплексной огибающей (см. п.
15.4.2). Узкополосные сигналы (20.57) и гауссовская помеха $(1) зз(1) =Ке20(1)ехр(1~ро)ехр(1 аа1), 1=О, т, (20. 88) ~(1) = Ее 21 (Г) ехр(1ыс1), (20.89) где 2„(1)ехр(!~рю) и 21(Г) — комплексные огибающие сигнала з,(1) и помехи, причем Я,, (1) =а,(1)ехр[ — 1ф,(1)). (20.90) Введем также комплексную огибающую Л(1) наблюдаемой реализации х (1) = К с 2 (1) ех р (1 в а( ) . При гипотезе Нн 1'=О, пм 2(1) =х,(1) — 1х,(1) =Я., (1) ехр((~рв) +Яг (1).
(20.92) 20.3.7. Дискретно-аналоговый амплитудно-фазовый оптимальный алгоритм различения квазидетерминированных сигналов. Рассмотрим координаты комплексных огибающих Л(7) наблюдаемой реализации смеси сигнала и аддитивной гауссовской помехи и 2,. (1) сигнала з;(() т г, = кд + 1уд — — 3/)~, )' Я (1) ~рь (1) Й, А = 1, М, о т з,т=аьг+ба~= )/А„( 2,,(1)~ь (1)Ш, й=!,Л1, (20.94) о 19 — ат 577 где Хд)0 и фд(Д вЂ” собственные числа и собственные комплексного интегрального уравнения [ср. с (5.115)1 г ф (1) = )о Г В, (1 — и) ф (и) ди, 0(1(Т, о функции (20.95) так как т,(гд!Н )=ад, ехр (1фо), й=1, Ь7, 1=0, т. (20.96в) Как и при выводе формулы (15.122), находим следующие выражения усредненных по равномерно распределенной фазе отношений правдоподобия: 1 -) 1о(грц) Л~ (г„..., ги ) = ехр à — — (оР.— ~Р )) — ', 1= 1,т, (20.97) где г„'.= ~ г;зот~ = 2, [(ацх;+Ьггу)о+ 1=! 1 + (а„у, — Ь„.
х,)', 1' = О,т, (20.98) М и о(о.= х' ,[зы[о= ~ (ао +Ьо.) 1=0,т. о=~ о=~ (20.99) Из (20.97) получаем следующий дискретно-аналоговый, амплитудно-фазовый оптимальный алгоритм различения квазидетерминированных узкополосных сигналов: принимается решение, что передан сигнал зд(1), если 1п1 (гид) — сд = шах [1п1, (ги1) — с,], (20.100) о<1<а где с; = гРн,(2 — [п рь 1' = О, т. (20.101) Заметим, что алгоритм (20.100) проще алгоритма (20.65), хотя оба они обладают одинаковой эффективностью.
При равновероятных сигналах и при пи!=с(и из (20.100), учитывая монотонность модифицированной функции Бесселя при я78 В, (т) — корреляционная функция комплексной огибающей стационарной гауссовской помехи. Компоненты хь уп ..., хи, уи координат комплексной огибающей 2(г) представляют совокупность независимых гауссовских случайных величин с дисперсиями, равными единице при любой гипотезе, и со средними значениями [ср. с (15.!19)] т, (хд [Н) = ад; соз фо — Ьд, з[п фо, (20.96а) т, (уд [Н ) =ад; з[п фо+Ьд; соз фо, (20.966) Гн1)0, получим более простой алгоритм: принимается решение, что передан сигнал зо(Е), если (20, 102) Г,= гпахт, 2 2 0<1<а 20.3.8.
Аналоговый амплитудно-фазовый оптимальный алгоритм различения квазидетерминированных сигналов. Для перехода к пределу при АЕ-~ос в (20.97) используем тот же подход, что и в и. 15.4.4 для комплексных огибающих У(Е) наблюдаемой реализации и У.. (Е) сигнала 21(Е), Е=О, л2. В результате получим 1 следующее выражение усредненного по фазе функционала отношения правдоподобия [ср. с (15.134) н (20.97) [: (20.
103)' где т .„- [1, 01 г 01 ж /, 1- о, о 0[2,. = )' ие (Е) г,, (Е) ЕЕ, Е = 0,1п, о а функция и1(Е) — решение неоднородного линейного комплексного интегрального уравнения т В, (Š— у) ие (у) 1(у= 2,, (Е), 0(Е<Т, Е =О,т, о (20.!06) где В, (т) — корреляционная функция комплексной огибающей стационарной гауссовской помехи. Из (20.103) получаем следующий аналоговый амплитуднофазовый оптимальный алгоритм различения квазидетерминированных узкополосных сигналов: принимается решение, что передан сигнал зо(Е), если (20.107) где с,=г(2т,~2 — 1п р„Е=О, п2. (20.108) Заметим, что алгоритм (20.107) проще алгоритма (20.69), хотя оба они обладают одинаковой эффективностью.
При равновероятных сигналах и прн 1(т;=1Ет из (20.107) получим более простой алгоритм: принимается решение, что передан сигнал зо(Е), если (20.109) 019 Гть = П1ах ГГ1. 0<1<а 19* "! 10(тт;) Л,[2(Е)) = — (Е .—,Е2 )~ — ', 1=1, т1 то [п!, (Гто) — со= гпах [1п1, (Гт1) — с1), 0<!<а (20.104) (20.105) 204С АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ РАЗЛИЧЕНИЯ СИГНАЛОВ (20.113) 20.4.1. Основные положения. Асимптотический принцип синтеза алгоритмов, рассмотренный в гл. 17 и 18 применительно к задачам обнаружения сигнала, можно использовать и для синтеза асимптотически оптимальных дискретно-аналоговых алгоритмов различения сигналов на фоне помех с произвольным распределением вероятностей.
Предположим, что в результате временной дискретизации наблюдаемой реализации случайного процесса на входе приемника получена выборка размером и х= (хь ..., х ), х~=хЯ), /~я= (О, Т), 1=1, и. (20.110) Выборку значений /-го сигнала в моменты времени /ь ..., /„запишем в виде Л„з,= (Л,з1ь ..., Л„з~), зп=з,(/*), /=О, т, (20.111) причем (ср. (17.1)! ЛД/и=у„, 0(у„(оо. (20.112) Для состоятельного алгоритма б„различения сигналов вероятность правильного решения р,р(6, Л„) — ~-1 при и -, если Л„-Ю)0 (см., например, (20.34) при й -+.оо), Ограничение (20.!12), при котором Л -+-О, когда и- оо, позволяет, как и в задачах обнаружения сигнала, синтезировать алгоритмы различения, асимптотически несингулярные.
Назовем последовательность алгоритмов 6„" различения сигналов асимптотнчески оптимальной, если для любой другой последовательности 6о !!ш [рор (6", Л„) — р„(6„, Л„)[ ~ О. л-Фао Для асимптотически оптимального алгоритма различения сигналов при условии (20.1!2) существует отличный от единицы и нуля предел Вгп р,р (6'„' у,/Уи) = Рор (6 у) (20.1 13а) о-+со Синтез асимптотически оптимальных алгоритмов различения сигналов на фоне помех основан на исследовании асимптотических свойств логарифмов отношений правдоподобия (20.12б). Для этого можно непосредственно воспользоваться результатами, приведенными в гл. 17, 18, если представить выражение (20.126) в виде 1п/;(х) = 1и Р*,(х) — 1п !Рр(х), /=1, т, (20.114) где !и/рз(х) = !р(х[Н,)/([р" (х), /=О, т и [р (х) — функция правдоподобия помехи.
580 (20.115) 20.4.2. Асимптотически оптимальный алгоритм различения детерминированных сигналов на фоне адднтивной независимой помехи. Запишем асимптотическое разложение статистики $п/дс(х), определенной согласно (20.115), опустив член, который при и- оо сходится по вероятности к нулю (см. (17.58), (18.3)1: 1и/дс(х) =туи,(х) — уд)с(Р,/2, /=О, т, (20.116) где л у„с (х) = — ~ зы / (хс), и / (х) = — — 1п нс (х), ссх (20.117) (20.
118) %'с = 1ап — 2„зс 1 " д И-+а а н 1с — информация по Фишеру о помехе 1см. (17.22)). Распределение статистики (20.116) при и-~со асимптотически нормальное с параметрами т,(/дс(х) )Нд)=7'1с)Р';д — уд1сЖ';;/2; /', /с=О, т, (20.120а) где л 1(Гсд — — 1нп — ~ зсс зсд, )Усс = Я7с, д-дв а с ! 20.119) (20. 120б) у„д(х) = гпах у„с(х). (20.122) д<с<~д В этом случае структурная схема устройства различения сигналов проста и состоит из безынерционного преобразователя выборочных значений с характеристикой /(х) [см. (20.118)1, дискретных корреляторов К и блока сравнения с выбором максимума (рис. 20.4). 58! Сдд(1';(х) / Ид) =тд1с)усь /, (с=0, т. (20.120в) Из (20.14) н (20.116) следует, что при использовании независимой выборки х асимптотически оптимальный алгоритм различения сигналов на фоне аддитнвной помехи можно представить следующим образом: принимается решение, что передан сигнал зд(/), если уу„д (х) — уд!с)ссд/2+ 1и рд = шах [уу„с(х)— Оку<а — т 1с ЯУс/2+!пРЛ.
(20.121) Для равновероятных сигналов одинаковой нормированной мощности (д'с=97, алгоритм (20.121) существенно упрощается и сводится к сравнению статистик (20.117) с выбором наибольшего значения Рис. 20.4. Схема аеимптотичееии оп. тимального алгоритма различения детерминированных сигналов Для определения вероятности правильного решения можно использовать формулу (20.26), в которой область Х» выборочного пространства определяется соотношением (20.122). При этом следует учесть, что распределение статистики (20.177), как н статистики (20.116), асимптотнчески нормальное, а параметр г(з„ в формулах п.
20.2.3 заменяется величиной 1г]Р',. Таким образом, получаем следующее выражение вероятности правильного решения: р„р — — — ехр( — г * ]т,(ехр[гпаху„~(х)]), (20.123) лг + ! ~ 2 ( е<Г<лг где у„,(х) определяется согласно (20.117) и усреднение происходит по распределению помехи. Если х — выборка независимой помехи, то случайные величины (20. 124) Учи!=У„з(х)/(!гК,)п', /=О, и, подчиняются асимптотически нормальному распределению с нулевыми средними и ковариациями л н лат(У„' У„',] = 2; 2;зг4з„,т,(/(х,)/(х„)) = 1у ига и л и л Х ХзгзямАбгг= — Х 1гагл; г~, и, Яг, или при п)>1 и,(у*„;у*„Д = Юя/][7=Ага (20.125) Тогда вероятность правильного решения можно вычислить по формуле (20.33), в которой элементы матрицы Л определяются согласно (20.125), а параметр г(а = 1г[г',.
Если различаемые сигналы ортогональны, то ]мат/][У=бя и матрица Л становится единичной. В этом случае вероятность правильного решения 1см. (20.34)1 р„= )" Р" [х+ (1, Чг",)пз ] ехр ( — — ) Нх, (20.126) где Р(х) — интеграл Лапласа. 20.4.3. Асимптотически оптимальный алгоритм различения модулированных гармонических сигналов со случайными фазами на фоне аддитивной независимой помехи.
Предположим, что разли- 582 (20.128) где » У!'.>(х) = — 2,)(х) ацсоз(ва!1, — ф~), (20.129) л с-! !» у!з! (х) = — 2; ) (х;) ац з[п (вы!! — $ц), а ац=ат(1!), ф!!=!рт(1!), С!!:=(О,Т), 1=1,п,)'=О,гп, (20.131) функция )(х) определена согласно (20.118). Используя результаты, приведенные в п. 18.4.4, при выполне- нии условия (20.112) и по аналогии с (20.122) получаем следую- щий асимптотически оптимальный алгоритм различения квази- детерминированных сигналов (20.127) на фоне аддитивной неза- висимой помехи: принимается решение, что передан сигнал зд(1), если [у„„(х)[з= шах [у„„(х)['.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
