Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 104
Текст из файла (страница 104)
~ ши" (го "., гт) дго ..с(гт (20. 31) СО где ш„.(гм ..., г ) — многомерная плотность нормального распределенйя вероягностей с нулевым вектором средних и корреляционной матрицей Л=(Х~!). Из (20.31) следует ,1гэ э ц,т (У) )' ) (2 и) — <и+! >/г (де(Л) — !/з Х У ! х ехр ( — — г' Л-' г ) дг ...
!(г,„~, где г'= (гм ..., г,„). Используя (20.28), (20.29) и (20.32), находим р, — ехр ~ — — "у! л!, (ехр (и'„У)) = т+! 2 ! / лт'! = — ехр ~ — — ") (2н) — <'"+!!!'(бе1Л) — !!' х я+! 2 о и Г У У / х ) — ~ ) )' ехр ~ — — г' Л-' г ~ йг1 ехр (Н„у) пу. аи -О - — О 60 (20.33) Когда Л=1, т. е. Хц=бсл в (20.33) интегрирование по переменным г,, ..., г разделяется и тогда вероятность правильного решения / у2 р,р-— — ехр 1 — — ") — )" Р"'(у) ехр ( — — ) Х В х~ ~ х ехр (д„у) г(у= — )" Р" (х+ д„) ехр ~ — — ) !(х, (20.34) где г" (г) — интеграл Лапласа. В этом случае вероятность правильного решения, как и рабочая характеристика обнаружения сигнала (см. п.
15.1.8), полностью определяется единственным параметром а! . 20.2.4. Синтез оптимального дискретно-аналогового алгоритма различения сигналов при фильтровом способе дискретизации. В п. 20.2.1, при синтезе оптимального алгоритма использовалась мгновенная дискретизация реализации х(/) в фиксированные моменты времени. Как отмечалось в п. 15.1.7, можно использовать другой — фильтровой — способ дискретизации, при котором элементы выборки (координаты) оказываются некоррелированными, а для гауссовской помехи — независимыми.
566 Оставим обозначение х=(хь ..., хн) для векторной выборки, когда ее компоненты, полученные фильтровым способом, пред- ставляют совокупность независимых гауссовских случайных ве- личин, причем г хь У)ч ~ х(()!рь(0 !(1, о (20.35) (20.38) где с;= ~з,)!12 — !и рь 1'=О, гп. При равновероятных сигналах и при (з~('= ~ зи=!(!ч, 1'= О,т, 3 2 (20.40) (20.40а) оптимальный алгоритм различения (20.39) состоит в определе- нии максимума (по индексу 1) величины М нч!(х)=з'.х= 2„зых!,1 О,и. !-! (20.41) Структурная схема алгоритма (20.30) не отличается от изо- браженной на рис.
20.2, но при иной интерпретации обозначений: зат г !и! (хь НД = зьз ф Х~~ ) з!' (Е) (рь (1) (Ц (20.36) о !и! ((х„— з„~) (х, — з~) 1Н ) = б„и й, 1 = 1,1Ч1 = 0 !и, (20.37) Хь)0 — собственные числа, (грь(Г)) — ортонормированная совокупность собственных функций интегрального уравнения (15.38). Функция !рь(1) определяет импульсную характеристику линейного фильтра, на выходе которого в конце интервала наблюдения выделяется координата хь реализации х(1) (см.
(15.39) и рис. 15.6) . Из (20.35) — (20.37) находим функцию правдоподобия выборки независимых координат при гипотезе Н;: Я!" (х~Н~) =(2п) — !чlзехр ~ — — (х — зт)' (х — а!)~ 2 ! и = (2 и) — и/з ехр — — ~, '(х, — з!~)з ю=! Используя (20.38) и повторяя рассуждения в той же последовательности, что н в п. 20.2.1, получаем следующее оптимальное по критерию максимальной апостернорной вероятности правило различения детерминированных сигналов на фоне аддитивной гауссовской помехи: принимается решение, что передан сигнал зьь1), если з' х — сь = тпах (з,'.
х — с!), (20.39) О<!и!!! х — выборка размером У, полученная фильтровым способом (см. рис. !5.6); йш — линейный цифроной фильтр, импульсная харак. теристика которого определяется «сигнальными» координатами (20.36). по формуле, аналогичной (20.25); с, — константы, вычисляемые по (20.40). Вероятность правильного решения при использовании алгоритма (20.39) для равновероятных сигналов и фиксированного значения Ы'л определяется по формуле (20.34) с подстановкой г(л вместо параметра д„[см. (20.40а) ~. Как уже отмечалось в п. 15.1.8, не следует отождествлять алгоритм для мгновенной дискретизации при независимой выборке с алгоритмом для фильтровой дискретизации при коррелированной выборке. Независимая выборка при мгновенной дискретизации отличается от выборки независимых координат, а детерминированные величины зх; в (20.36) отличаются от сигнальных значений, определяемых согласно (20.4а), так как «сигнальная» координата зги зависит не только от сигнала з;(1), но и от корреляционной функции помехи, которая служит ядром интегрального уравнения (15.38).
Соображения, приведенные в и. 15.1.9 при сопоставлении дискретно-аналоговых алгоритмов обнаружения сигналов, использующих различные способы дискретизации наблюдаемой реализации х(1), можно отнести и к рассмотренным дискретно-аналоговым алгоритмам различения сигналов. 20.2.5. Оптимальный аналоговый алгоритм различения сигналов.
Как указано в п. 20.1.4, оптимальный по критерию максимума апостериорной вероятности аналоговый алгоритм различения сигналов формируется из (20.14) подставкой вместо логарифмов отношений правдоподобия логарифмов функционалов отношения правдоподобия. Полученное в п. 15.2.2 выражение для логарифма функционала отношения правдоподобия для случая различения двух детермированных сигналов на фоне аддитивной гауссовской помехи очевидным образом обобщается на случай произвольного числа сигналов. Для сигнала з;(4) логарифм функционала отношения правдоподобия 1п1т(х(1)1= (' ~х(1) «у(0+«~(0 (20.42) где Р,(1) — решение неоднородного интегрального уравнения (20.43) В1 (1, у) 1~т (у) Ну = зз (1), 0 < 1( Т, 1' =- О, т.
о Статистика (20.42) представляет линейный функционал гауссов- 568 ского случайного процесса — случайную величину, распределенную по нормальному закону с параметрами (1п 1т (х (()1 1Нз) 1~ (1п (з 1х (()(Нз) т = — 1 Ь(1) — з,(1)1(Ут(1) — Р,О))б(,1=1, о Регулярный случай имеет место, если величины, определяемые формулой (20.44), ограничены. Используя (20.2), получаем следующий оптимальный аналоговый алгоритм различения детерминированных сигналов на фоне аддитивной гауссовской помехи: принимается решение о том, что передан сигнал зь(1), если (20.44) т г т (' х (() У„(() с(1 — сь =- шах ~ )' к (() $;.
(() й( — с;, (20.45) о 0</ми 0 (20.47) где с;=й'т;!2 — 1п ри (20 46) т г(т~ з зз (~) Рз (1) ~~~ о т т = ( 1' В~((,д)Ут(1)У,(9) б(бд. а а Структура аналогового алгоритма (20.45) аналогична структурам дискретно-аналоговых алгоритмов (20.18) и (20.39). Весовые коэффициенты и, и а; при линейной обработке выборки заменяются весовой функцией $'„(1) при линейной обработке непрерывной резлизации, причем эти весовые функции, как и указанные весовые коэффициенты, зависят от вида сигналов и от корреляционной функции помехи.
Указанная аналогия распространяется и на структурную схему аналогового алгоритма (20.45), которая получается из структурной схемы, изображенной на рис. 20.2, иной интерпретацией элементов этой схемы. Блок 6<и, на входы которых поступает наблюдаемая реализация х(1), представляет аналоговгяе линейные фильтры с импульсными характеристиками (20.48) 10, т(0, т>Т, 1= 0,т. Константы с; вычисляются по формуле (20.46).
Если сигналы равновероятны, а величины й'т;=й'т одинаковы для всех сигналов, то из (20.45) следует т г к (1) Рд (1) Ю = шах )' х (1) Р~ (() Ш, (20.49) а 0<)<гл а т. е. блоки вычитания констант с; в схеме на рис. 20.2 отсутствуют. Вероятность правильного решения в этом случае определяется звз по формуле (20.33), в которой параметр гР„заменяется величиной д'т, а элементы матрицы Л определяются по формуле г т Хц = — 1' )' Ва (и, о) 1~, (и) %'г (о) г(игЬ. о о (20.50) (20.53) т. е, равен отношению энергии Е> сигнала з,(1) на интервале наблюдения к спектральной плотности белого шума. Для равновероятных сигналов одинаковой энергии Е,=Е соотношение (20.52)перепишется в виде т т )' з„(1) х (1) г(1 = шах )' з, (1) к (1) аг. (20,54) о 0<1<гл а т Корреляционный интеграл ) з,(Г)х(1)г(( определяется на вью ходе согласованного с сигналом з;(1) аналогового фильтра (см.
п. 15.3.4), поэтому блоки й<н на структурной схеме алгоритма (рис. 20.2) представляют согласованные фильтры. При использовании алгоритма (20.54) вероятность правильного решения вычисляется по формуле (20.33), где параметр д'„ заменяется величиной Рт=Е~Мм а элементы матрицы Л г Хчз - — — )' з; (1) зг (1) г(1, 1, / = О, т. о (20.55) Для ортогональных сигналов Хм=50 и тогда (см. (20.34)1 20.2.6. Различение детерминированных сигналов на фоне белого гауссовского шума. Корреляционная функция белого шума со спектральной плотностью М, равна Ва (1 — у)=йГаб(1 — у) [см. (4.116)1.
В этом случае использование фильтрующего свойства дельта-функции позволяет очень просто найти решение интегрального уравнения (20.43): р,(1)=з,-(1)/М„О- Г(Т, 1'=О, т. (20.51) Подставляя (20.5!) в (20.45), получаем оптимальный аналоговый алгоритм различения сигналов на фоне аддитивного белого гауссовского шума: принимается решение о том, что передан сигнал зь(1), если г Г 1 — )' зд (1) х (г) г(1 — с„= шах ~ — )' з; (г) х (1) Ж вЂ” ст, (20.52) чо о ок!и.
Л~о а где с, определяется по формуле (20.46), в которой параметр т Д2 = — )' зз(г) Д( =Е (й(, че о (20.56) 570 — 1 г (,». 1/ — ) „( — — ") а . Если 4,=1(1, то р, = — )' )с"'(х+ у ~ ехр ~ — — бх, (20.56а) Можно доказать (см., например, [441), что временной коэффициент Х взаимной корреляции сигналов не может быть меньше — 1/рп и, следовательно, максимальная вероятность правильного решения (р„), ~ 1 р („, 1/ рр.~.>! )) ( *')р (20.566) При различении двух сигналов з0(1) и з, (1) одинаковой энергии Е минимальное значение Х= — 1 соответствует противоположным сигналам з,(() = — з0(1), а в соответствии с (20.56б) при т= 1 вероятность правильного различения таких сигналов на фоне белого гауссовского шума (20.56в) 20.3. РАЗЛИЧЕНИЕ КВАЗИДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ УЗКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ АДДИТИВНОЙ ГАУССОВСКОЙ ПОМЕХИ 20.ЗЛ. Постановка задачи.
Предположим теперь, что каждый из т+1 передаваемых сигналов представляет узкополосный радиосигнал (ср. с. п. 15.4.1) з,(4) =а,(1)соз (Ф01 — ф,(1)+рр01, 01(Т, 1=0, а, (2057) где а;(1), ф;(1) — детерминированные процессы (определяющие амплитудную и фазовую модуляции сигнала), которые медленно меняются за один период Та=2п/ао, а ро — случайная фаза, распределенная равномерно на интервале (О, 2п). Как и в З 20.2, предполагается, что в канале связи сигнал (20.57) искажается адднтивной гауссовской центрированной стационарной помехой с известной корреляционной функцией В1 (т).
Известны также априорные вероятности р, передачи каждого из сигналов. Наблюдаемая на входе приемника реализация х(1) случайного процесса является аддитнвной смесью неизвестного сигнала н помехи. Задачи различения квазидетерминированных сигналов (20.57) состоит в синтезе оптимального алгоритма, позволяющего по наблюдаемой реализации х(1) принять решение с том, какой из т+1 возможных сигналов содержит эта реализапия. Под оптимальным критерием будем понимать максимальную апостериорную вероятность гипотезы о переданном сигнале (см. п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
