Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 105
Текст из файла (страница 105)
20.1.3). Отличие рассматриваемой задачи от задачи синтеза алгоритмов различения детерминированных сигналов состоит в том, что 57! ядт=т,[хд!Нт)=яд;сояф,— яд~в)пф,,й=1,М,1=0,т, (20.58) где Т я'„,. = $/ х„[ а7 (() сов (а,( — фт (1)] фд (1) й, о т я* = ')7 ),д [ а; (1) в(п (мо( — фт (г)) фд (1) й. о (20.59) (20.60) Формулу (20.58) можно записать в виде ям=Зисов (фо — фд;), (20.611 где яд. [ (вс„) д+ (язд.) 21!/2 фд,=агс1ц(я ц!я'д ). (20.61а) (20.61б) Так как координаты хм а=1, М представляют совокупность независимых гауссовских случайных величин с дисперсиями, равными единице, и со средними значениями прн гипотезе Н„равными яд; [см.
(20.61)) то, прн фиксированной фазе фд функция правдоподобия векторной выборки этих координат и я ( (и,, ~) =(2,~- ц р ( — — з ь,— Я„.„ь,— унд') . С=1 (20.62) Из (20.62) получаем выражение логарифмов усредненных по начальной фазе ф, отношений правдоподобия Гял ! 2д )п Л, (х) = )п 1 [ йу (х) Н,, фд) 3 р, ( [ )Р' (х) Н,, р ) И р, о О = Ят (х) — Я,(х),1= 1,т, (20.63) 572 в ее постановке содержится параметрическая априорная неопределенность, связанная со случайностью начальной фазы фд сигнала (некогерентный прием). В этом случае оптимальные алгоритмы различения в качестве достаточных статистик используют усредненные по случайной фазе отношения правдоподобия (при синтезе дискретно-аналогового алгоритма) нли функционалы отношения правдоподобия (при синтезе аналогового алгоритма).
20.3.2. Оптимальный дискретно-аналоговый алгоритм различения узкополосных сигналов. Для синтеза оптимального дискретно-аналогового алгорнтма различения сигналов (20.57) на фоне адднтивной гауссовской помехи используем фильтровой способ дискРетизации, в результате которой получаем независимую выборлу си огдиназ х= 1хь , хь), !де хд, Й вЂ ' 1, У, определяется п~ формуле (20.35).
«Сигнальные» координаты [см. (20.36)1 ~2л ~ М ч()-д[~'р]з*д ь,— ~>)х О С=! х ехр — — 2; В,',. созе (ф, — фы) йр, , / = О,ги . (20.64) 2 Используя (20.63), получаем оптимальный дискретно-аналоговый алгоритм различения сигналов: принимается решение уд [присутствует сигнал зд(1)], если Яд (х)+1прд= шах [Щ (х)+1прз]. 0 < у <пВ 20.3.3. Оптимальный аналоговый алгоритм различения узкополосных сигналов. Из (20.42) следует, что логарифм усредненных по начальной фазе ф, функционалов отношения правдоподобия !пЛ,[х(1)1=Щх(Г)1 — Яд[х(Г),1 1=1, т, (20.66) где (20.65) дя <г Я~ [х(г)]=1п ~ — ) ехр [~ [х(1) — а,(1) сов [в 1— !.
— % (г)+фд]/2]1"~ (1) й дфо (20.67) а функции У;(1) представляют решение интегрального уравнения ~ем. (20.43)] ]' Ве (1, у) Уз (у) бу = ат (1) соз [ыд) — ф~ (1) + о + фр]1 0 ~( Ф ~ ~7 / 0~ п$, (20.68) Используя (20.66), получаем оптимальный аналоговый алгоритм различения сигналов: принимается решение тд, присутствует сигнал зд(1), если Яд [х(1)]+1прд = шах Ц; [х(1)]+1прз]. Ом/ми Алгоритм (20.69), как и алгоритм (20.65), достаточно сложный.
Его можно значительно упростить тогда, когда аддитивная помеха представляет гауссовский белый шум. 20.3.4. Оптимальный аналоговый алгоритм различения узкополосных сигналов на фоне белого шума. Для белого шума находим следующее решение интегрального уравнения (20.68) 1см. (20.51)1: Уг (1) = — ат (1) соз [ад 1 — фз (1) + ф,], 1 = О, т. (20.70) 0 Теперь результат усреднения функционала отношения правдопо- зтз добия по случайной начальной фазе можно представить в замкнутом виде.
Для этого заметим сначала, что для узкополосных сигналов (20.57) при оо Т))1 Е;=- ]' а', (() созт [ьз,1 — фз (1)+<р,] а( ж — ]' ат (Г) с[г, (20.71) о о Подставляя (20.70) в (20.67) и учитывая (20.71), получаем 2л ~ ~ т Ят [х (()] = 1и ~ — ]' ехр ~ — ]' х (1) а7 (() соз [ге,( — ~рт (1) + о чо а т + .1~] ~е.~ —,1 Г 'еа./=О. ьуо о (20,72) Обозначив т х,7 = — ]" х (() а, (г) соз [а à — фт (1)] й, 'уа о т х,т = — [ х (7) а, (1) з[п [оэ, С вЂ” фз Щ сУ, '1о о г т;= х сл+х „, 2 . 2 . 2 фт; = агс1д (х„/х„) . (20.72а) (20.726) (20.73) (20.73а) Запишем (20.72) в виде тч ф [х (1)] =!п ~ — ]" ехр [гт~ сов (<р + т + Фт;)) г[ ~р — — ] а~ (1) Ж,! = О, и.
4Л'о о (20.?4) Интеграл в первом слагаемом выражения (20.74) представляет модифицированную функцию Бесселя нулевого порядка: 2л 1о (гт; ) =- — )" ехр [гт; соз (<р, + ф г,)) Йр,. (20.74а) 2л о Подставляя (20.74а) в (20.74) и обозначая т с$,.= — ] а'. (1) Й 2'чо о (20 746) получаем Я;[х(1)1=!п1о(гт;) — от;[2, 1=0, т. (20.75) В соответствии с общим алгоритмом (20.69) оптимальный аналоговый алгоритм различения узкополосных сигналов на фоне аддитивного гауссовского белого шума состоит в определении мак- 574 (20.78) (20.80) еимума (20.78): принимается решение, что передан сигнал )т ((), если 1п 1, (тть) — гл = гпах [(п 1а (ттт) — су], (20.76) 0</ма яде с;=г(зт,|2 — )и рь (20.77) Если сигналы равновероятны и энергии Е; сигналов на интерВвле наблюдения одинаковы, т. е. г(зт,=г(зт=Е(Р7с, то, учитывая :'(йЬнотонность функции 1о(х) Бесселя при х)0, приходим к более угростому алгоритму: принимается решение, что передан сигнал ф„((), если тпах тат., та тт ' 0<а<а вахе тзт; определяется по формуле (20.73).
Структурная схема алгоритма (20.78) изображена на рис. 20.3. 20.3.3. Вероятность правильного решения. Определим вероятность рар правильного решения при использовании оптимального илгоритиа (20.78) и дополнительном условии ортогональных сигваалов т зу (() зз (() с(1=)Чаг(зтбы. в Указанную вероятность можно записать в виде рвр ]з (тта шах тт() о<)<м так как равенство, заключенное в фигурных скобках (20.80), и равенство (20.78) — эквивалентные события. Случайные величины х„и х„, (=О, и [см. (20.72а и б)], как Линейные функционалы гауссовского случайного процесса, пред- азис. 20.8.
Схема алгоритма различении ивазидетерминированных сигналов на фоне белого шума: Фз и Фаз — линейные фильтры, согласованные с сигналами аз(бсоз[ыы — ф;(0] а аз(0з(н[ыа( — фз0)] соответственно [см. (20.72а и б)] 575 г ~л к! )' к,. ') Чг" (х„..., хд „хд+„..., х ) =- П вЂ” ехр — — ', х; ) О, дя» то в соответствии с (20.80) вероятность правильного к х Рпр ! )у гг» (х) ( ...,) )(' (хо " ~ дд — ы хд+д о о о ..., х ) д(хо ... дхд, дхдч« ...
о(х йх, (20.86) где 1Р'„т» и й7 определяются согласно (20.84), (20.85). После подстановки указанных функций плотности в (20.86) и ряда преобразований с использованием табличного интеграла получаем окончательно 1 ( "г +!, (е+1') "г г ! г рор — — — ехр — — ~ ~', ( — 1)' ( ) ~ — ~ (20.87) (см. например, [60), п. 5.7.9). 20.3.6. Последетекторная обработка наблюдаемой реализации случайного процесса. «!асто целесообразно оптимальную обработку наблюдаемой реализации узкополосного случайного процесса осуществить после ее амплитудного и (или) фазового детектирования, т. е.
используя медленно изменяющиеся огибающую г(1) 676 (2 0.85) решения ставляют гауссовские случайные величины. Принимая во внимание соотношение (20.71), которое характеризует узкополосность рассматриваемых сигналов, нетрудно определить средние значения и ковариации случайных величин х„и х,!. т~ (х„.
~ Нд) = !(гтбд, соз ~Ро, (20.81) т, (хм(Н») = с)гг бд! 61п сро, (20. 82) тз(хо!хд!(Нд) =Й'тбдя )г, 1=0, т. (20. 83) Из (20.73), а также (20.83), следует, что случайные величины гтн 1'=О, т, представляют модули случайных векторов на плоскости, компоненты х„и х„которых независимы, распределены по нормальному закону с постоянной для всех векторов дисперсией, равной Йгт, т. е. отношению знергии сигнала к спектральной плотности белого шума.
При )Ф)о средние значения компонент х„и х«п равны нулю (см. (20.81), (20.82)! и, следовательно, распределение случайных величин гт; подчиняется закон~у Рвлея с параметром д(гт 1см. (3.51)]. При 1'=и случайная величина гтд подчиняется обобщенному распределению Рэлея 1см. (3.50)) с плотностью х) — ехр ~ ~ 1»~ — ),х)0.
(20.84) 1 (" +~т) к ,!г 2 кг Так как при !ФА совместная плотность распределения случайных величин гт»,1=0, т, (20.91) н фазу ~р(1) узкополосного процесса (или квадратурные составляющие х,(1) н х.(1) наблюдаемой реализации х(1)). Поскольку немодулированное колебание соз(ыоГ+~ра) не содержит инфораяации о передаваемых сигналах и служит лишь переносчиком втой информации, то оптимальные последетекторные алгоритмы различения сигналов, использующие огибающую и фазу, столь же эффективны, как и оптимальные додетекторные алгоритмы. Та.кие последетекторные алгоритмы назовем амплитудно-фазовыми.
'Однако могут быть синтезированы оптимальные алгоритмы, ос,нованные на обработке только огибающей или только фазы наблюдаемого процесса. Далее будут рассмотрены лишь амплитудно-фазовые оптимальные алгоритмы различения квазндетерминированных сигналов на фоне аддитивной гауссовской помехи. Для этого используем тот же подход, что и в $ 15.4 для синтеза амплитудно-фазовых оптимальных алгоритмов обнаружения квазидетерминированных сигналов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
