Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Полностью цифровая обработка предусматривает предварительное квантование этих весовых коэффициентов. 19.1А. Структурная схема алгоритма. При заданном разбнен~ни диапазона возможных значений наблюдаемой выборки на области Еь, )с=1, М, асиьсптотически оптимальный закон амплитудного квантования описывается формулой (19.10), где величины а"д зависят от раапределения помехи [см. (19.7) 1, а тл(х) — индикатор множества Ед [см. (19.3)1. Асимптотически оптимальный цифровой обнаружитель детерминированного сигнала состоит из трех блоков (рис.
19.1): аналого-цифрового преобразователя наблюдаемых выборок с характеристикой (19.10), дискретного коррелометра К и устройства сравнения с порогом. Если множества Еи стягиваются в точки (гь-и-зь,), которые заполняют всю действительную ось, то из (19.7а) и (19.10) следует, что Я*(х)-4-~(х) и цифровой алгоритм (19.13) совпадает с 543 (19.17а) дискретно-аналоговым (18.2), а структурная схема на рис. 19.1— со структурной схемой на рис. 18.1', 19.1.5. Коэффициент асимптотической относительной эффек- тивности асимптотически оптимального цифрового алгоритма по отношению к асимптотически оптимальному дискретно-аналого- вому алгоритму. Из (19.4) и (19.14) следует, что при обнаруже- нии детерминированного сигнала на фоне аддитивной независи- мой помехи с произвольной плотностью раопределения р =1е*Ль (!9.15) где 1о* и 1! опрецелены согласно (19.8) и (18.20).
Покажем, что в (19.15) р(1, Согласно неравенству Буняков- ского — Шварца при ит (х) ~ О г! 1 г г» '» 1 (х) ш (х) т(х ) ( )' Гг (х) ш (х) дх )' ш (х) бх. 㻠㻠— ! г» Тогда из (19.7а) следует / г» гг, а'„вр„=~ )" 7(х)п!(х)йх) ~ <' тв(х)т(х( )" 7т(х)!п(х)ах. г» гг» г» Таким образом, м м г» )о.= ~, 'фр»( ~, '~ 7в(х)ш(х)дх ра(х)ш(х)дх 1у, » ! ~! г» О т.
е. 1е. ~ (1у. (19.16) Разность 1! — 1о* равна среднему квадрату отклонения 1(х) от Я'(х) при гипотезе Н. Действительно, г м !г лт, ((~ (х) — Я' (х)]Ч Н) = )' ~) (х) — ~ ' а,' Х» (х) ! и! (х) ах = Ю »-!' и '» М '» =1т — 2 ~ а' )" 1(х)и!(х)!1х+ ~', а," ) ш(х)8х= Ь-! г» » ! г» м 1у — 2„'а»з р» = 1у — 1о.. »=! 19.1.6. Квантование на два уровня. Рассмотрим случай, когда амплитуда квантуется на два уровня: М=2, хо= †, х! =О, аз= =со. Из (19.7) получаем о а', = — ш(0) 1 )'ш(х) 4(х, х(0, а' = ш (О) 1' )" ш (х) !тх, х ) О.
(19.176) о ' Исключение составляет случай лаплаеовской помехи, для которой оптимальным является квантование на два уровня (знаковый алгоритм). 544 р=2/а, (19.23) что соответствует (18.46а). Для лапласовской помехи, используя (18.13) и (18.14), р=1, так как при этом цифровой АО алгоритм при М=2 (т, е. знаковый алгоритм) совпадает с дискретно- аналоговым алгоритмом. Для помехи с обобщенным экспоненциальным распределением используем (18,15) и (18.16): р= [Г(1~/с)Г(2 — 1/с)) (19.24) Для помехи с логистическим распределением, используем (18.17) и (18.18), и в результате р=3/4, (19.25) что соответствует (18.46б).
Для помехи с распределением Стьюдента используем (18.21) и (18.23): ° "~ ° ) и ч (ч+ 1) Г2 (т/2) что соответствует (18.46в). 18 — 87 т)2, (19.26) 848 При симметричном распределении центрироганной помех~и а*~ = — а" ~ = 2в (О), (19!18) р~ = р~ = 1/2. (119.19) В этом случае согласно (19.13) цифровой асимптотически оптимальный (АО) алгоритм обнаружения детерминированного сигнала можно представить в виде — 2, з; и (х;) ~ с. (19.20) 1/и 1 1 т~ Этот алгоритм аналогичен знаковому алгоритму обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной стационарной независимой помехи, который при симметричной плотности распределения помехи обладает непараметрическнм свойством (см.
п. 16.1.2). Из (19.8), (19.18) и (19.19) находим информацию по Фишеру 1д*=а,*'р, +а,*'р,=4в'(О) (19.21) и, следовательно, в рассматриваемом случае КАОЭ цифрового АО алгоритма обнаружения сигнала по отношению к дискретно- аналоговому АО алгоритму 1см. (19!15)1 р=4в'(О)/1р (19.22) Для гауссовской помехи, используя (18!11) и (18.12), полу- чаем (19.28) дад дрд рд — -= — в' (гд) — а' —, дгд дгд ' дад+! , , дрд+! рд+! — = в' (гд) — ад, —, дгд + дгд так как дрдя дрд11 — в' (гд) — "=в(гд), — = — в(гд), /(гд)= ( дгд ' дгд в (гд) то система уравнений (19.29) при~водится к виду (а', — а,) (ад+, +а,' — 2/(гд)) =О, й= 1, М вЂ” !.
(19.30) Если плотность в(х) распределения аддитивной помехи унимодальна, то функция /(х) монотонно возрастающая. Тогда из (19.30) следует /'(гд) = (а" д н+ а*д) /2, (~19.31) причем величины а д(гд „гд) определены согласно (19.7). 546 Лля,помехи с обобщенным распределением Стьюдента с аомощью (18.20) и (18.22) полу дим т/2+ 1/с+ 1 Гг (т/2+ 1/с) (19.27) г/2+ 1/с Г(2 — 1/с) Г (г/2+ 2/с) Г (г/2) Г (1/с) 19.1.7.
Оптимальный выбор граничных точек интервалов квантования. Эффективность асимптотически оптимального цифрового алгоритма обнаружения сигнала пропорциональна информации по Фишеру 1а* квантованной ~выборки помехи. Эта величина зависит не только от закона амплитудного квантования, но и от выбора граничных точек гд интервалов квантования наблюдаемых выборок. Возникает задача определения оптимального вектора г* граничных точек ин:= рва., з квантования, для которого при фиксированном числе уровней квантования 1в (и') = шах 1о. (г), Система уравнений — !а*(г) =О, й= 1, М вЂ” 1 (19. 29) дгд определяет экстремальные точки г*ь ..., г"и ~ и тем самым оптимальное разбиение дна|назона возможных значений выборок на интервалы квантования. Подставляя (19.8) в (19.29), получаем ° дад, дрд „дад+! 2а' — р„+ а* — + 2а* дгд " дгд д+' дгд рд+! + + ' Р+' =О, /г=-), М вЂ” 1.
д+! дгд Из (19.7) находим где 'ь Ь' = — [ д (х) и (х) дх, 'ь — ! *ь дь — — )" и (х) !(х. *й — ! Если, плотности и!(х) и и(х) симметричны ля, то (19.33а) (19.336) относительно ну- М 2 аааьчь и и — р ( 6(ч! 6(и!) Х а ч.ХЬ*,', а=! з=! Ясно, что р(6!"!!„, 6„!"!) (1, так как при дь)0 2', а,'Ьдуь ') ( 2', а'д„~ Ь'Ц,. ь=! з=! /г=! Отметим, что знаковый алгоритм (19.20) обладает абсолютной устойчивостью, так как в этом случае И=2, а*!= — а*!= = 2п! (О), Ь*, = — Ь", = 2и (0), д~= цт= 1!'2 и из (19.34) следует Р(бй <си, Ьи!~~) = 1. 18* 647 При квантовании на два уровня а*!+а*,=0 [см. (19.18)1 и тогда нз (19.31) получаем уравнение ! (г!) =0 (19.32) для определения точки г*ь которая оптимально делит область возможных значений выборки на два интервала ( — со, г*!) !и (г*„ оо). Учитывая (19.7б), замечаем, что для симметричных унимодальных плотностей ~распределения (см. п.
18.1.5) корнем уравнения (19.32) является г*,=0. Таким образом, указанная в п. 19.1.6 граничная точка оптимальна по критерию эффективности цифрового алгоритма с квантованием выборочных значений на два уровня. 19.1.8. Устойчивость асимптотически оптимального цифрового алгоритма обнаружения сигнала. Предположим, что алгоритм (19.13) используется для обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддит!ниной независимой помехи с плотностью распределения и(х).
Обозначим этот алгоритм через Ь~~~', а через 6„(ч! — асимптотически оптимальный цифровой алгоритм обнаружения для помехи с плотностью и(х). Определим КАОЭ алгоритма Ь~,"~' по отношению к алгоритму Ь„ш! по формуле (18.41), заменив функцию 1(х) на ()*(х) [см. (19!10)1 и фун!кцию 9(х) на м 6*(х) = 2; Ь~)(ь (х), (19.33) ь=! 19.2. Асимптотические сиоистВА РАИГОВьгх стАтистик (19.37) При а»1:из (19.386) следует )г~(Р, (х~) 1/г!= г) - г/а'.
(19.38в) Согласно неравенству Чебышева !см. (2.29)) при /г!=г Р ( ~ Р, (х,) — — ' ~ ) е ) (— т. е. вероятность того, что случайная величина Р~(х!) существенно отличается от величины )га/(а+1), мала при а»1. Иными словами, имеет место асимптотическая эквивалентность выборки х! и преобразованного по закону Р ()т;/(а+1)1 ранга /!! этой выборки, где Р~-'(г) — функция, обратная функции распределения выборки.
Аналогичные соображения можно высказать н относительно связи !х;~ с положительным рангом. Если плотность вероятности ~выборки симметрична относительно нуля, то распределения случайных величин х; и )х;~ связаны соотношением Р (х) = — + ! Р ()х!). (19.39) 848 19.2.1. Аснмптотика выборочного значения и его ранга. Как известно, случайная величина Р~Д) распределена равномерно на интервале (О, 1), если Р~(г) — функция распределения случай- ной величины к. Рассмотрим однородную независимую, выборку х=(хь ..., х„) и соответствующий ей ранговый вектор К= (Яь „.
..., Я„). Случайная величина и' '1=Р,(х)=Р,(хои1), !'= 1, и (19.35) распределена равномерно на интервале (О, 1), Так как х;=х'ар го условная плотность вероятности гиоч(х)/с!=г) определяе~ся по формуле (13.167а). Тогда, учитывая (19.35), находим плотность вероятности порядковой статистики при равномерном распределении выборочных значений: ге'1(и) =а! ": )и' — '(1 — и)™ — ', О(и(1, г=1, а. (19.36) ~г — 1/ Так как для любых целых положительных чисел т н а 1 )' й (1 — и)" ди = т! а!/(т + а+ 1) 1, о то нз (19.36) находим т,(и!т1)К! =г) =т,(Р,(х))й;= г) =, г=1, а, (!938а) а+1 р, (и!т1 !)(' = г) = рз (Р, (х,) Д, = г) = г(п — г+ 1) г=1, а. (и + !)' (и + 2) (19.386) Тогда из (19.38а, б) и (19.39) получим т, (Р, (х!) ) Н; = г) = — + — т, ~ Р, ((х;1)1)с ! = г ~! = — + 2 2 ( 2 2(л+1) (19.40а) р.,(Р, (х!)1Я! = г) = — р,(Р, ()х!)) /Я+ = г) = (19.40б) Следовательно, имеет место асимптотическая эквивалентность й+1 случайных величин )х,) и г! ' ~ —, — — * ), а 1акже аоииато- 2 е-1-11 !Г1 ! ~С, тическая эквивалентность х; = (х! ( здп х! и Р! ~ — + — —" х 2 2 л+1З Хздп хь 19.2.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
