Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 97
Текст из файла (страница 97)
59а) (18.596) При гипотезе Н среднее значение статистики (18.59) равно нулю, а дисперсия л л рз (рн (х)1Н) = ~ Х (згзглгг (гз(хг 1) )з (хг 1))Н) + г=~ г=~ +а~ з1 зпг((з(х~,)(г(х,' 1)1Н)+згзг глг, ((г(х,' 1) )з(х,г,))Н)+ +., з,,глг()з(х!,)(г(хгг 1)(НИ. Но в соответствии с (17.б7) гн~()г(хгг — р)1«(хй ц) ! Н) =гл~((г(х~» з )1«(хй-~) !Н)бд. 1) накопление й выборок х' ьы и й+ 1 значений сигнальной функции з' ьец 2) наблюдение в момент времени (=(~ выборки х,=х(1~); 3) вычисление компонент вектора ((х'-им); 4) вычисление корреляционной суммы Г(х' ь+,) з' ьчч, б) наблюдение в момент времени г=г, выборки х,=х(1,); 6) повторение операций 3 и 4 при х' ьез, з' — ьоз( 7) повторение операций 3 и 4 после наблюдения хз, ..., х„; 8) суммирование и корреляционных сумм; 9) сравнение результата суммирования с порогом; 10) принятие решения, Обнаружитель сигнала состоит из четырех блоков: инерционного нелинейного преобразователя наблюдаемых выборок, состоящего из линии задержки ЛЗ («память») и й-канальиого спецвычислителя компонент вектора 1; коррелометра К, в котором выполняются операции перемножения выходных значениЯ спецвычислителя со значениями сигнальной функции з и суммирования полученных произведений; накопителя корреляционных сумм и сумматора накопленных значений в конце наблюдения; устройства сравнения с порогом.
От вида распределения помехи зависят только характеристика инерционного нелинейного преобразователя и величина порога. Повтому (18.60) (18.61) где Обозначая (18.62) перепишем (18.6!) в виде !г(01г! =Пг.(!о+2г,1ог+!г). (18.63) (18.58) ! (18.64) где ео = Иш в' К-аа/л (18.64) л-оо и К вЂ” корреляционная матрица марковской помехи размером лмл. 18.3.5.
Асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне Т-зависимой помехи. Предположим, что наблюдаемая реализация х(1) представляет либо Т-зависимую помеху (гипотеза Н), либо аддитивную смесь этой помехи с детерминированным сигналом (гипотеза К). Если реализация х(/) подвергается временной дискретизации через интервал Т/ит, то нз т/1/ зависимых скалярных выборок можно сформировать М=гиУ/(ит+л — 1) независимых и-мерных векторных 528 и )ов(ул (х)!Н) ~ ( — Х ага) гпг(/о (х~г !)!Н1+ л и +2 ~ — 2, 'аоз! т) тг (/а(хг !)/, (хг,)!Н)+ л + ~ Х аг — !) шз(/1(хг !)1Н). Г ! При л- оо 1пп Ма(ро(х)!Н)=1г(411!) =Яо!о+2Яг!о~-~Оо1н л и ого = %' ° = Игп х ат, чт =11ш хо згз ! — г, лооо л Г ! л о л 1д !о= шт ~ ~ — 1пш (кг!ха т)~а !Н)! дха Г д д 1м —— шд ~ — 1п ш (хо!х! т) 1п оз (х! (х;,) ! Н ) дх! д,, 1,=глт (~ — 1пш(хг!х! т)1 !Н/ [ дкг, В рассматриваемом случае односвязяой марковской помехи (см.
КАОЭ алгоритма (18.47) по отношению к линейному (18.62) и = (Ь+ 2г,)о1+11) йуо/ез, (!8.6!а) (18.616) (18.61в) (18.61г) (18.65а) 'выборок хь ..., хм, где х;=(хо, ...,хь), 1=1, М, хог х(10), й 1= Ч=1, и, и моменты 10 определяются согласно (16.82). Из теоремы 2 (см. п. 1?.4.2) непосредственно следует, что в рассматриваемом случае асимптотически достаточной является векторная статистика ум(хм,) с компонентами умз(хм) =- — 2;зч);(х;), 1= 1, и, ( 18.65) М г где зн=з(йн), 1г(х;) = — — 1пв(хм,..., х,„), д дгы га(зь ..., з„) — многомерная плотность распределения помехи.
Предельное при М вЂ” ю распределение статистики ум(хм~) нормальное с параметрами О, В при гипотезе Н и у В, В при аль- тернативе К (см. п. 17.4.2). Рассмотрим статистику м у(хм) =с'ум(х",') =- ~с;дм;(хм). (18.66) /=1 которая представляет скалярное произведение вектора с'= (сь ... ..., см) постоянных весовых коэффициентов и векторной статис- тики ум(хм,), Статистика (18.66) асимптотически нормальна с нулевым средним и дисперсией 1г(6) 1 ) при гипотезе Н и с пара- метрами 71г((1*1~), 1г[Я*1~ ) при альтернативе К, где 6)* — мат- рица с элементами Я*чг=с сЯ ° д, /=1, М (18.67а) причем величины Яч, определяются согласно (17.60), а 1~ — мат- рица с элементами !зч=т,( — !пга(г,,..., з„) — 1пю(з„..., з,)), г, и=1, М.
д д дгг дгд (18.676) Аснмптотнчески оптимальный алгоритм обнаружения детерми- нированного сигнала на фоне адднтивной Т-зависимой помехи запишем в виде у(хм) ~с, (18.68) где порог с определяется по формуле (18.49), а рабочая характеристика алгоритма — по формуле (18.50), если в этих формулах матрицу Ц заменить матрицей О* 1см. (18.67а)1, а элементы информационной матрицы вычислять согласно (18.67б). Коэффициент асимптотической оптимальной эффективности алгоритма (18.68) по отношению к линейному (18.52) определяется по формуле (18.58) с указанной очевидной заменой матриц 523 С! и 1О Так как вектор весовых коэффициентов с не ограничивался никакими условиями, то можно найти оптимальный вектор см для которого КАОЭ максимален.
Другой подход к редукции векторной статистики для синтеза асимптотически оптимального алгоритма обнаружения сигнала на фоне Т-зависимой помехи, который состоит в формировании скалярной статистики из каждой векторной выборки хь 1= 1, М (см. и. 16.3.2), приведен в [57). 18ии АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ОБНАРУЖЕНИЯ КВАЗИДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ НЕЗАВИСИМОЙ ПОМЕХИ (18.69а) 18.4.1. Синтез алгоритма.
Рассмотрим задачу обнаружения на фоне адднтнвной независимой помехи с плотностью распределе- ния ю(х) квазидетерминированного сигнала лз(!), где т 5(г) = с ф (г) =. ~ свифт(!), (18.69) / 1 с — вектор, вообще говоря, зависимых случайных мешающих па- раметров, ф(!) — заданная вектор-функция. Задача состоит в проверке гипотезы Н: Л=О (сигнала нет), против альтернативы 7;; Л)0 (сигнал присутствует). Амплитуда сигнала Л является, таким образом, информативным параметром. После временной дискретизации наблюдаемой реализации в моменты !ь 1= 1, и, получаем независимую выборку х= (хь ...
..., х„), причем значения сигнальной функции 5(1)=5;=с'ф(1)=- ~с;фз(!), 1=1, и, у'=! Если выполнены условия теоремы ! (см. п. 17.4.1), то можно записать асимптотическое разложение логарифма отношения правдоподобия при фиксированном векторе с и при у= !пп Л,,'Г' и, л-~ » Т ( сО; 1и ! (х ! с) = ~ ~ ф< О 7 (х )— 'к' л — (75!2) 1,с'Ас+т)„(х, ус/ф'и), (18.70) где фн!=(ф,(1;), ..., ф (1;)1, а функция !(х) и информация по Фишеру 1~ определяются согласно (17.19), (17.22). Элементы матрицы А размером тХт л ! Т ад = !1т — '~ ф„(1;) ф (1,) =!1гп — )' ф„(!) фз (1) Ж.
(18.71) а,, Г- Та Как и в (17.58), остаточный член т1„(х, ус/)Гп) сходится по веро- 830 (18.73) где порог с* определяется из уравнения Р(Л[у„(х), 71))с*/Н) =а (18.76) при заданной вероятности а ложной тревоги. Вероятность пропуска сигнала ~=Р(Л[у„(х), у) (с'[К), (18.77) При заданных величинах а и [1 уравнения (18.76) и (18.77) представляют систему уравнений относительно неизвестных констант с* и 7. 18 4.2. Структурная схема алгоритма. Обнаружитель, функционирующий согласно алгоритму (18.75), состоит из трех блоков (рис.
18.8). Первый блок представляет многоканальное устройство для вычисления компонент векторной статистики (18.73) у„ь(х) = — ~„'~рь(1;)~(хД, А= 1, гп. (18.78) )/а 531 ятности при и — сс к нулю и при гипотезе Н, и при альтернатн«е А". Распределение статистики (18.70) при условии / л Ит шахр~Я [ ~, 'щ'(1~)=0, й=), т, (18.72) а-мю !с<и<а - у асимптотически нормальное, причем параметры предельного распределения равны — (7/2) !~с'Ас, у'1~с'Ас прн гипотезе Н н — 1~с Ас, уЧ~с Ас при альтернативе К. Я / 2 Векторная т-мерная статистика п у„(х) = — 2; ~р">1(х~) 'г' а с-~ также асимптотическн нормальна и при гипотезе, и при альтернативе с параметрами О, 1гА и 71гА, 1гА соответственно.
Пусть гв(с) — совместная гп-мерная плотность вероятности случайных параметров квазидетерминированного сигнала. Опуская в (18.70) остаточный член и усредняя отношение правдоподобия по векторному параметру с, получаем Л [у„(х), у) = ['в (с) ехр [7 с' у„(х) — (7'!2) с'Ас) г[с, (18.74) с где векторная статистика у„(х) определяется согласно (18.73). Распределение статистики усредненного отношения правдоподобия уже не является асимптотически нормальным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
