Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Характаристика нелинейного преобразователя для помехи, распределенной по закону Стьюдента 520 Для помехи с распределением Стьюдента [см. (18.21)) (18.30) Зависимость (18.30) при т=3 представлена на рис. 18.6. Подставляя (18.30) в (18.2) и учитывая (18.5), (18.23), нахо- дим асимптотнчески оптимальный алгоритм обнаружения детер- минированного сигнала на фоне аддитивной независимой помехи, распределенной по закону Стьюдента — ~ з;х; ~1+- ~ ~~х„о[(Р,— ~ . (18.31) '$/л к-ю Уе Для обобщенного распределения Стьюдента [см.
(18.20)] /(х) = (т/2+Цс) [Аз(т, с)1 '(х~'-'(1+ +[(х(/А~(т, с)1') 'зппх, тс)4, с)0, (18.32) 18.!.6. Эффективность асимптотически оптимальных алгорит- мов относительно линейного. Линейный алгоритм (18.7), наибо- лее простой для практической реализации, оптимален только при обнаружении детерминированного сигнала на фоне аддитивной не- зависимой гауссовской помехи. Если линейный алгоритм исполь- зуется для обнаружения сигнала на фоне негауссовской помехи, то его рабочая характеристика ухудшается, иногда весьма сущв- ственно. С другой стороны, при произвольном распределении по- мехи можно использовать асимптотически оптимальный алгоритм (18.2), который хотя и сложнее линейного, но обладает лучшей рабочей характеристикой.
Количественным показателем такого улучшения служит КАОЭ, определяемый по формуле (18.9). Воспользуемся результатами п. 18.1.4 для определения КАОЭ асимптотически оптимальных алгоритмов обнаружения сигнала по отношению к линейному для некоторых типов адднтивных помех. Дисперсия помехи а' во всех рассматриваемых случаях одинако- ва. При обнаружении на фане гауссовской помехи [см. (18,12) 1 как н следует ожидать, р=1.
(18.33) При обнаружении на фоне лапласовской помехи [см. (18.14)) р=2, (18.34) т. е. асимптотическн оптимальный алгоритм эффективнее линей- ного в два раза. При обнаружении на фоне логистнческой помехи [см. (!8.18) ! р = и'/9. (18.36) Прн обнаружении иа фоне помехи, распределенной по закону Стьюдента [см. (18.23)1, р=т(т+1)/[(т — 2) (т+3) ), т)2. (18.36) Из (18.36) следует, что прн увеличении параметра т КАОЭ моно- 521 тонно уменьшается и стремится к единице при т-+-оо.
Если т — це- лое число, то максимальное значение КАОЭ р=2, соответствую- щее т=3. 'в в р(6„1,6и) = —" ~ 1' д(х)1(х) и(х) дх~ х Ввв в, хН1ои) ()в*- Г вв 1в1 1 — ~ »' )' (х) и (х) о(х) ~ »' до (х) и (х) г(х~ — вв вв (18.40) Если плотности ю(х) и и(х) симметричны относительно нуля, вв то»' 1(х)и(х)Ых=О, и нет необходимости центрировать статистн— вв 522 18.2. УСТОЙЧИВОСТЬ АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНОГО АЛГОРИТМА ОБНАРУЖЕНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА 18.2.!. Устойчивость асимптотически оптимальных алгоритмов.
Предположим, что алгоритм обнаружения детерминированного сигнала, асимптотически оптимальный относительно адднтивной независимой помехи с плотностью распределения и(х), используется для обнаружения сигнала на фоне аддитивной независимой помехи с другой плотностью и(х). Обозначим, как и в п.
17.1.5, этот алгоритм через 6„1 а алгоритм обнаружения, асимптотически оптимальный относительно помехи с плотностью распределения и(х), через Ь . Алгоритм Ь ~ использует центрированную статистику у„о(х) (см. (17.81)», а алгоритм ܄— статистику у*и(х) 1см. (17.79)». Согласно и. 17.5.2 эти статистики асимптотическн нормальные с параметрами тв (Уио ~ Н*» 0 тв (Уио ~ К ) ='утзг)рви (18,37а) 1оо(уио ~ Н") = 1оо(уио ~ К*» = 11и 37во, (18.376) т,(У"и)Н"»=О, т~(У*и»К'»=71з)Р„ (18.37в) ио(у"и~ Н'» =1оо(у"и~ К') =1арув, (18.37г) где Ю'в, 1о, йово, 11и, тм определяются согласно (17.56), (17.77), (17.84), (17.83), (17.86) соответственно.
Теперь, используя (17.16), нетрудно найти КАОЗ алгоритма 6 ~ по отношению к алгоритму Ь . Из (18.37а) следует и! — тд1ивво, о 1=11и)(тво, и=1х(вв, о =1о)ив (18.38) Подставляя (18.38) в (17.16), получаем 2 мо1 1Г,в р (Ьи)ии Ьи) = 11и 1О а в или, учитывая (17.77), (17.83), (17.86) „ (18.41) / ю ~2 р(6„~„, 6„) =~ )' хд(х) и(х) Их) х г ч — 1 х ~ )' хан(х)Их )' д'(х)и(х) бх~ ! ~ $ = ~ )' хд(х) и (х) дх ) /(па1з). Далее, учитывая, что д(х) = — /и(х) и Ии (х) Их )" хя (х) и (х) дх = — )" хди (х) = 1, получаем р (6„~ „, 6„) = (о'1з) — '. (18.42) Кроме того, из (18.10) находим р(6„м,б„) = 1/р(6„,6„~„).
(18.43) Тогда из п. 18.1.6. непосредственно следует, что КАОЭ линейного алгоритма, применяемого для обнаружения сигнала на фоне аддитивной независимой помехи по отношению к асимптотически оптимальному алгоритму при той же помехе, 'равен: при лапласовской помехе р (6„1„6„) = 1/2, (18.44а) 523 ку (17.69). В этом случае )Р~а/%'.=1, а выражение (18.40) приобретает более простой вид р(6„~,6„) = )' д(х)/(х)и(х)бх х м Ю з — 1 х ~ )" /а (х) и (х) бх )' йа(х) и (х) бх~ ОФ Формула (18.41) представляет квадрат коэффициента корреляции случайных величин /(х) и л(х), когда плотность распределения случайной величины х равна и(х). Поэтому р(1, причем равенство достигается при /(х) я(х). 18.2.2.
Устойчивость линейного алгоритма. Как уже отмечалось, линейный алгоритм (18.17) оптимален при аддитивной независимой гауссовской помехе. Предположим, что линейный алгоритм используется для обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой негауссовской помехи с дисперсией о' и плотностью распределения и(х). Найдем КАОЭ алгоритма 6„ 1, по отношению к алгоритму 6~, асимптотически оптимальном при помехе с плотностью и(х).
Так как для линейного алгоритма /(х) =х/о', то [см. (18.41)1 при логистнческой р (Ьи ! . Ьы) =- 9/и'. при помехе, распределенной по закону Стьюдента, р(6,(„6„)= ( )( + ), т>2. (18,44в) т(т+ !) 18.2.39. Устойчивость знакового алгоритма. Знаковый алгоритм (18.26) — асимптотически оптимальный при обнаружении детерминированного сигнала на фоне адднтивной независимой лапласовской помехи. Предположим, что знаковый аглоритм 6„(, используется при помехе с плотностью и(х), отличающейся от лапласовской.
Фиксируя дисперсию о' помехи и сохраняя предположение о симметрии функции и(х), а также учитывая (18.35), находим из (18.41) (18.446) р(б,(„6„) = (' зппп(х) и(х)дх х г ! — 1 х ~ (' йа(х) и(х)дх~ Но ОО О )' зппп(х) и(х) дх= — )' зйп хди(х) = Р )' и(х) !(зяпх= 2и(0) 00 (18.46) (18.46а) н, следовательно, р (6„(„, Ь„) = 4и'(О)/1ю Из результатов, приведенных в п. 18.1.4, непосредственно сле- дует, что КАОЭ знакового алгоритма, используемого для обна- ружения сигнала на фоне адднтивной независимой помехи, по от- ношению к алгоритму, асимптотически оптимальному при той же помехе, равен: прн гауссовской помехе р (6„(„, 6„) = 4аз и' (О) =- 2/и, при логистнческой р (6„(„, 6„) = 36оз и'(О)/и' = 3/4, (18.466) при помехе, распределенной по закону Стьюдента, 4(т+ 3) Гз ( — ) р(Ь„(„Ь„) = т) 2.
(18.46в) ит (т+ !) Г'(т/2) Из (18.46в) следует, что при т=3 р=б/и', а при 3(т(оо КАОЭ изменяется в пределах 0,8)р)0,64. 524 18.3. АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫИ АЛГОРИТМ ОБНАРУЖЕНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА НА ФОНЯ КОРРЕЛИРОВАЫНОЙ ПОМЕХИ (18.48) ~Т о 18.3.1. Синтез алгоритма. Рассмотрим задачу обнаружения детерминированного сигнала )!з(») на фоне аддитивнон А-связной !марковской помехи.
Используем исследованные в п. 17.4.3 асимптотические свойства достаточной статистики логарифма отношения правдоподобия. Если выполнены условия теоремы 3, то асимптотически оптимальный дискретно-аналоговый алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне адднтивной л-связной марковской помехи имеет следующий внд [см.
(17.68)]: рл (х) = — 2„1' (х, о) з» л = ! ", !» р'л» л о т1 = — Х Х 7»(х»-о)з(1 — ») ~>с (18.47) р л » ! !=о т где»! — компоненты вектора 1' [см. (17.30)]. Предельное (при и-+-оо, оп=у -оо) распределение статистики у„(х) — нормальное с параметрами О, 1г[»21»] при гипотезе Н (сигнала нет) и с параметрами 71г[»21» ], 1г[ь»1» ] при альтернативе К (сигнал присутствует), где 1г[111»[ = 2; 2' ,11оЯчп /=! о=! 1»о и»,»о» — элементы матриц 1» и»2, определенные в (17.32) и (17.66) .
18.3.2. Анализ алгоритма. Предельное значение порога с в (18.47) с = х )~ 1г [»2 1»), (18.49 а предельная рабочая характеристика алгоритма (18.47) — * -1- р»т»»О ! ! . (18.50) При фиксированных значениях вероятностей а ложной тревоги и 1 — 5 правильного обнаружения, а также величины 1г[Щ минимально необходимая (пороговая) амплитуда сигнала ~,л = у/)» п=(х„— х, з)(п1г [Щ)) — 'и. (18.51) Определим КАОЭ алгоритма (!8.47) по отношению к линейному алгоритму у„»(х) = — ~', и»х» ~~с»л »о! ! (18.52) )/л »=! »л где вектор и= (и», , и„) равен п=з'К ', К вЂ” корреляционная матрица помехи, когда этот линейный алгоритм используется для обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной 525 (18.54) Предельная рабочая характеристика получается из (18.54) заменой параметра г( его предельным значением с(- 11шд„у е.
(18.57) н-вев Из (18.50) и (18.54) с учетом (18.57) находим КАОЭ алгоритма (18.47) по отношению к линейному алгоритму (18.52): р = (уо/р) '-1г [111 г)/ев. (18.58) 18.3.3. Структурная схема алгоритма. Алгоритм (18.47) (рис. 18.7) предписывает следующую последовательность операций: й-связной марковской помехи. Как показано в п. 15.1.5 алгоритм (18.52) обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитнвной коррелированной гауссовской помехи оптимальный по .критерию Неймана — Пирсона для любого размера л выборки. Статистика увв (х) в (18.52) при гауссовской помехе распределена нормально с параметрами О, в'К-'в/и при гипотезе О и ухов'К-'в/и, в'К-'в/л при альтернативе К, где уо=Ц7 и, О<'ус<со.
Величина со определяется по формуле: с, х„(в' К-' в/п)мв. (18 58) Рабочая характеристика алгоритма (18.52) «о «х-В = с(н~ где И =у (в'К-'в/и)мт. (! 8.55) При неограниченном увеличении размера п выборки распределение статистики усе) (х) остается нормальным с ограниченными средними значениями и дисперсиями при гипотезе и альтернативе, если только Вт с(я/ув Цтп в' К-' в/и - е' < оо. (18.56) лью нею Рис. !В.7.
Схема аснмптотнческн оптимального обннружнтеля снгналв на фоне многосвязной марковской помехи 626 18.3.4. Асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитииной односвязной марковской помехи. Рассмотрим частный случай алгоритма (18.47), когда й= 1 и плотность вероятности перехода равна и (х,1х~ ~). В этом случае асимптотическн нормальная статистика ч р„(х) = х,, (зг )з (хг ~) + зг, 1, (хг ~)), )lн (18. 59) где уз (х,) = — — 1и м (г~1хг Д, д дз; д /г (х,) = — )п ю (х;1хг „). дх~ (18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
