Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Асимптотическая эквивалентность раиговых н неран- говых статистик. В п. 13.8.4 отмечалось, что синтез оптимальных ранговых алгоритмов проверки гипотез при конечном размере вы- борки практически нереализуем. Поэтому особое значение приоб- ретает асимптотичеокий подход. Как уже указывалось в п.!7.1.б, асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения сигнала на фоне помех не определяется однозначно.
Мажет существовать широкий класс алгоритмов, в котором любой алгоритм при боль- ших размерах выборок будет оптимальным при обнаружен~ви сла- бого сигнала. При определенных условиях,в этом классе содер- жатся также и непараметрические ранговые алгоритмы обнару- жения сигналов на фоне:помех, эквивалентные по характеристи- кам обнаружения неранговым асимптотически оптимальным ал- горитмам. На первый взгляд приведенное утверждение кажется недоста- точно обоснованным, поскольку при ранжировании выборки часть полезной информации теряется. Однако, как было показано в и. 19.2.1, прн достаточно большом размере л однородной незави- симой выборки функция Р~(х;) выборочного значения, где Р~(з)— функция распределения хь незначительно отклоняется по веро- ятности от величины Яг7(п+ 1), где Я; — ранг элемента х; в вы- борке х= (х„ ..., х ).
Поэтому заменой значения х; величиной †! 1 Й! Р~ ~ — ) в неранговом асимптотически оптимальном алгоритме (,и+1/ можно получить асимптотичесюи оптимальный ранговый алгоритм обнаружения сигнала. 19.2.3. Выборка из равномерного распределения, Сформулиру- ем сначала условия, при которых имеет место асимптотическая эквивалентность ранговых и неранговых статистик, в предполо- жении, что исходная выборка принадлежит равномерному рас- 549 Определим ступенчатую функцию Л„(и) = Л„( — ), 1(л(п, а л+1 и потребуем, чтобы 1 1пп )" [Л, (и) — Л (и))' ди = О. л со о (19.42) (19.43) Если иь ..., и„— независимая, выборка из равномерного распределения .на интервале (О, 1) ~и Яо — радциг иь то условие (19.43) означает сходимость в среднеквадратическом последовательности случайных величин Л„()с;/(и+1)1 к случайной величине Л(и;).
Рассмотрим теперь две статистики л у„(и„..., и„) = — ~в, Л(и;), л 1=~ Ят - )7~)=: Х в1Л ~ ' ). л 1~ "+1 (19,44) (19.45) Предположим, что последовательность чисел в„ ..., в„ удовлетво- ряет условиям л — ~',в, (с, (/л л 1(гп гпахво 2; в4= 0. --== !,=, (19.46а) (19.466) Тогда можно доказать (см. (42),,п. 6.2.4), что У„(иь ..., и„) =гл(Яь ..., В,)+1(л, (19.47) где 11 сходится по вероятности к нулю при и- .
Учитывая, кроме того, условие (19.43), можно в (19.47) функцию Л„в (19.46) заменить функцией Л. 19.2.4. Произвольное распределение независимой выборки. Определим введенную в и. 19.2.3 функцию Л(и) следующим образом: Л(и) =ЦЕ~ '(и)], 0<и<1, (19.48) где 7'(х) определяется согласно (17.19) и Р (и) — функция, обратная функции распределения помехи. Функция (19.48) удов- 550 пределению на интервале (О, 1). Пусть функция Л(и), 0<и<1, удовлетворяет условиям ! 1 )"Д(и)1(и=О, )'Ло(и)ди(со. (19.41) о о летворяет условиям (19.41), так как при,подстановке (19.48) в (19.41) и замене переменной х=Е, '(и) получаем [см. (17.20), (17.22) ) 1 Ю [ 7 [Р~ 1 (и)] ии = ]"[(х) ги (х) г[х = О, (19.49а) ! ОР [~'[Р, '(и)]г[и = [7'(х)ю(х)дх=1 (оо. (19.49б) При выборе функции Л(и) согласно (19.48) статистика (19.44) преобразуется к виду л у„(и„, и„) = — х' з; Ь (и;) = л г=1 л = — 2„з,г(х;) = у„(х,, ..., х„) г=~ (19.
50) (19.51) Аналогично для выборки помехи с симметричной плотностью распределения устанавливается аснмптотическая эквивалентность неранговой статистики (19.50) и знаково-ранговой статистики л Г г у+ г~ (0+1,..., Р+)=-= Хз,зйпх;[~Р, ' ~ ' + — ~ . (19.52) Tл г=1 ' ' 2л+2 2 / При этом снимается ограничение (19.46а) об отсутствии у сигнала постоянной составляющей. До сих пор асимптотическая эквивалентность неранговых и ранговых статистик устанавливалась при условии, что выборка однородная и независимая, что соответствует предположению о стационарностн независимой помехи (гипотеза Н).
Используя понятие контигуальности (см. $ 17.3), можно доказать (см. [42), гл, 6), что указанная эквивалентность сохраняется н при наличии с игнала (альтернатива К),,когда выборка неоднородная, так как при этом плотность вероятности ге(х;[у„з;/~/ и) выборочного значения х; зависит от зо причем т =Х ]/ и, 1[гп т„=т(оо. 551 и, следовательно, совпадает с достаточной статистикой, используемой в аснмптотически оптимальном алгоритме обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой помехи с произвольным распределением [см. (18.2)1.
Из ('19.47) следует асимптотическая эквивалентность (при и-~-оо) неранговой статистики у (хь ..., х ) [см. (19.50)1 и ранговой статистики 19.3. АСИМПТОГИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ РАНГОВЫЕ АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ НЕЗАВИСИМОЙ ПОМЕХИ 19.3.1. Синтез асимптотически оптимального рангового алгоритма. Из результатов, приведенных в п. 19.2.4, следует, что асимптотически оптимальный ранговый алгоритм обнаружения детерминированного сигнала ).3(!) на фоне аддитивной стационарной помехи имеет вид (19.53) где зг=з(гг), Кг — ранг выборки хо гг(х) — функция,распределенир помехи и Л(и) =!(г1 — '(и)1= — ш''(г,-'(и)ци(р (и)) (19. 53а) 1см. (18.3)).
Порог в правой части (19.53) зависит только от заданной вероятности а ложной тревоги, а не от распределения га(х) помехи. Иными словами, алгоритм обнаружения (19.53), асимптотически оптимальный для помехи с функцией распределения Р,(х), является также непараметрическим. При условиях (19.46а, б) статистика га(К) в (19.53) асимптотически нормальна и при гипотезе Н (сигнала нет), и при альтернативе К (сигнал присутствует) с,параметрами О, 1!%; и Т1гВ'., 1!'йр, соответственно (см. п. 18.1.1).
Ясно, что КАОЭ рангового алгоритма (19.53) по отношению к неранговому алгоритму (18.2) обнаружения сигнала при той же помехе равен единице. Схема рангового алгоритма (19.53) (рис. 19.2) отличается от структурной схемы на (рис. 18.1) дополнительным устройством ранжирования выборки на входе обнаружителя сигнала и нелинейным преобразователем рангов, характеристика ,которого (19.54) зависит от распределения помехи. Заметим, что непараметрическмй алгоритм (19.53) можно использовать для обнаружения сигнала как с нулевой, так и с ненулевой постоянной составляющей.
Однако в первом случае алгоритм эффективнее, чем во втором. 3'1 Рис. !9.2. Схема асимптотически оптимального рангового обнаружителя детерминированного сигнала 19.3.2. Синтез асимптотическн оптимального знакового-рангового алгоритма. Из результатов, приведенных в п.
19.2.4, следует, что аснмптотически оптимальный знаково-ранговый непараметрнческий алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне адднтивной стационарной независимой помехи с симметричной плотностью распределения, имеет следующий вид: гв()хч-) = Х з; и(х,)1~Р, ' ~ ' + — ) ~ .— с. (19.55) )/и;=~ 2л+ 2 2 Как и ранговая статистика в (19.53), знаково-ранговая статистика гв(мь) в (19.55) асимптотнчески нормальна и ~при гипотезе Н, и при альтернативе К, причем параметры предельных распределений те же, что и у ранговой статистики, а КАОЭ алгоритма (19.55) по отношению к соответствующему неранговому алгоритму (18.2) равен единице.
Заметим, что непараметрический алгоритм (19.55) целесообразно использовать лишь для обнаружения сигнала, постоянная составляющая которого не равна нулю. Схема асимптотически оптимального знаково-рангового алгоритма (19.55) представлена на рис. 19.3. 19.3.3. Примеры асимптотически оптимальных ранговых алгоритмов. Расс лотрим несколько конкретных распределений помехи при фиксированной дисперсии аз и нулевом среднем значении. Для гауссовской помехи (см. (.18.24)1 Ь(и) =Р-'(и)/аа, (19.56) где Š— '(и) — функция, обратная интегралу Лапласа. Из (19.53) и (19.56) следует, что асимптотичеоки оптимальный ранговый алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой гауссовской помехи (19.57) )/н г=~ (в+ 1) т совпадает с ранговым алгоритмом Ван дер Вардена (см.
(16.35)). Таким образом установлено, что ранговый алгоритм Ван дер Вардена — асимптотичеоки оптимальный при обнаружении сигнала на фоне адднтивной гауссовской помехи. Рис. 19.З. Схема асимптотически оптимального знаково-рангового обиаружителн детерминированного сигнала Для лапласовской помехи [см. (18.13)] Р,(х) =(2о') — па [ехр~ — ~ — ~ [х]]йх= о» вЂ” — (1 — ехр ~ — ( — ) [х[1~, где знак «минус» соответствует х<О, а знак «плюс» х)0. Из (19.58) находим 1п [1 -1- (2и — 1)], 0 < и < 1/2, х < О, $ — 1п [1 — (2и — 1)], 1/2 < и < 1, х) О, знпх=здп(2и — 1), 0<и<1, Но так как для лапласовской помехи ~[ем. (18.25)1 /(х) = = (2/о') о' здп х, то Л (и) = (2/о') о' зпи (2и — 1).
(19.59) Из (19.53) и (19.59) следует, что асимптотически оптимальный ранговый алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой лапласовской помехи — ~„'з; зйп ~/с, — — ) — с, (19.60) -[;,=, т. е. совпадает с медианным ранговым алгоритмом [см. (16.33)1. Таким образом, установлено, что медианный ранговый алгоритм— асимптотичвски оптимальный при обнаружении сигнала на фоне аддитивной лапласовской помехи. Для логистической помехи [см. (18.17)1 Р, (х) = [1+ехр( — пх/(о УЗ))1-'=и, а так как для этой помехи [см. (18,18Ц / (х) = [л/(о ]/3 ) Ц 1 — ехр ( — и х/(о к' 3 ) ) ] Р, (х) = = и (2и — 1)/о''у' 3, (19.58) то Л (и) = / [Р, ' (и)] =, О < и < 1. (19.61) о $/3 Из (19.53) и (19.61) следует, что аснмптотически оптимальный ранговый алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой логистической помехи (19.62) рл ~~ т совпадает с ранговым алгоритмом Виллоксона [см.
(18.35)1. Таким образом, установлено, что ранговый алгоритм Вилкоксона— асимптотичеоки оптимальный при обнаружении сигнала на фоне аддитивной логистической помехи. 554 дитивной смеси детерминированного сигнала с указанной помехой. При гипотезе Н* и при условии (19.4б) статистики г г и з„а асимптотически нормальны. При гипотезе Н* (см. и. 17.5.2) среднее значение и дисперсия статистики (19.67) ~~~1(зпа[Н*) =О, [ц2(лиа[Н ) =[гав, (19.70) где 1» — информация по Фишеру помехи, 1Р', — мощность сигнала. Из (19.66) при и-+.со находим среднее значение статистики г г при гипотезе Н* гп, (з„, [ Н) = — ' Х з; т, ~ ~Р~ ' ( — ' ~ ) ~ Н*) - О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
