Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 102
Текст из файла (страница 102)
(19.71) Кроме того, '[х1(ям [Н*) Р2 (зм [ Нг = 1/йгв. При этом ковариация статистик г„г и г„а (19.72) л л гп1 (з~~гздх[Н ) = — ~ ~, бышг (~ ~Рь ~ — )~ Х (19.73) где (19.74) ! тга —— )"1'[Р~ ' (и)) а[(7~ '(и)[Йи. о Для вектора (г„ь г„а) выполняются условия центральной предельной теоремы. Поэтому при гипотезе Н* предельное распределение этого вектора нормальное с нулевым вектором средних и с ковариационной матрицей ~м 8 (19.75) ~ ~га 1[' 1 18 [" а Тогда согласно п. 17.5.2 статистика г г и при альтернативе К* асимптотически нормальна с параметрами тгпга[[У„1гМУ,. 19.4.2.
Устойчивость асимптотнчески оптимального рангового алгоритма. Устойчивость асимптотически оптимального (АО) рангового алгоритма обнаружения сигнала, как и нерангового алгоритма, будем характеризовать з~начением КАОЭ рангового алгоритма, используемого в неоптимальных условиях, по отношению к АО ранговому алгоритму. Предположим, что ранговый алгоритм АО относительно аддитивной ~независимой помехи с плотностью распределения ю(х), используется в неоптимальных условиях, т. е.
для обнаружения сигнала на фоне аддит~ивной независимой помехи с ~плотностью распределения и(х). Обозначим этот алгоритм через б„~, а через (ю Ь нч — ранговый алгоритм, асимптотически оптимальный относительно помехи с плотностью распределения и(х). Используя ре- 666 (19.77) (19.78а) (19.786) зультаты, приведеныне в п. 17.1.5 и и. 19.4.1, не трудно определить КАОЭ алгоритма б'„о!~ по отношению к алгоритму б„<о!. Этот КАОЭ и характеризует устойчивость асимптотически оптимально- го рангового алгоритма б„<о!.
В обозначениях, принятых в п. 17.1.5, имеем а, = т!,ЧР„оо! = 1г]5'„а = 1« У7„а'= 1«]5!,. (19.76) Подставляя (19.76) в (18.39), получаем р ( би!ои! бо!о!) — ш!,~(1! 1«)— / 1 Ъ» ! = ~]" 1[Р, '(и)]а[У~ '(и)]г(и) ] (1!1,). о Так,как 1г —— ]'7»(х)в(х) о[х= ]' )'[Р! '(и)]!(и, ОЭ о 1« — — ]' до (х) и (х) дх = ]'ф [(/! (и)] !!и, то формулу 19.77) можно переписать в виде ! ! !2г! ! ! -! р= ~~1[Р! '(и)]у[У~ '(и)]!(и~ []'7[Р! '(и)]!]и)'у[У! '(и)]ди) о о о (19.79) Выражение (19.79) представляет квадрат коэффициента корреляции между двумя функциями от равномерно распределенной случайной, величины.
Поэтому р 1, как и должно быть. Формулы (19.77) и (19.79) симметричны относительно функций в(х) и и(х). Это означает, что устойчивость рангового алгоритма, АО по отношению к помехе с плотностью распределения в(х) при использовании его при «чужой» помехе с плотностью и(х), та же, что и устойчивость рангового алгоритма, АО по отношению к помехе с плотностью и(х), при использовании его при «чужой» помехе с плотностью в(х).
Например, из (19.77) следует, что устойчивость медианного алгоритма (19.60) при обнаружении детерми|нированного сигнала .на фане гауссовской аддитивной помехи характеризуется КАОЭ оо /! 1 — ! ]/2 '!» р = — ! )" — Р (и) — здп (2и — 1) йи) 2 !о оо о 2 ]"гехр — ~ — )![г) = —. (19.80) !! оо 3/2п о '!2оо) ) я Такой же величиной будет определяться устойчивость рангового алгоритма Ван дер Вардена (19.57) при обнаружении сигнала на фоне лапласовской аддитивной помехи.
557 Устойчивость рангового алгоритма Вилкоксона (19.62) при обнаружении детерминированного сигнала ~на фоне гауссовской аддитивной помехи характеризуется КАОЭ ! — ~ и ~3 р=йп~!я'[]' — Р ' (и) (2и — 1)Ни~ = ч и' а~/3 — у'2 ]'гехр~ — — ]Р(г)йг~] = —. (19.81) / л Такой же,величиной будет определяться устойчивость рангового алгоритма Ван дер Вардена при обнаружении сигнала на фоне лапласовской аддитивной помехи. Заметим, что формула (19.77):и ее частные случаи (19.80) и (19.81) остаются справедливыми и для знаково-ранговых алгоритмов. 19.4.3. Сравнение устойчивости рангового и нерангового асимптотически оптимальных алгоритмов. Из (18.41) и (19.77) находим КАОЭ рангового алгоритма обнаружения детерминированногосигнала по отношению к нерапговому при условя~и, что эти алгоритмы, асимптотически оптимальные при помехе с плотностью расределения в(х), используются для обнаружения сигнала на фоне помехи с плотностью и(х): г! 2 ш рч =- ~ ]'7 [Р~ ~ (и)] д [(7~ ~ (и)] г]и) ] Д' (х) и (х) дхх а х [ т, [ ! р (*> д < > (*> а ~ ) (19.82) ! — со Формула (19.82) представляет отношение правых частей формул (19.77) и (18.41).
Из (18.46а) и (19.80) следует, что значение р* для медианного и знакового алгоритмов, используемых для обнаружения сигнала на фоне аддитивной гауссовской помехи, равна единице. Однако для алгоритма Ван дер Вардена и линейного не- рангового алгоритма, используемых для обнаружения сигнала на фоне аддитивной лапласовской помехи, как следует из (18.44а) и (19.80), р*=4/я=1,27, Для тех же алгоритмов обнаружения сигнала на фоне аддитивной логистической помехи, как следует из из (18.44б) и (!9.81), р*=31(0,9я) 1,06.
Приведенные примеры свидетельствуют о том, что устойчивость асимптотически оптимального рангового алгоритма при гауссовской помехе выше устойчивости линейного нерангового алгоритма обнаружения детерминированного сигнала. В [59] высказано предположение, что указанное свойство ранговых алгоритмов имеет место при любом распределении аддитивной помехи. 558 Глава 20 РАЗЛИЧЕНИЕ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ПОМЕХ 20дх. ОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ РАЗЛИЧЕНИЯ СИГНАЛОВ 20.1.1. Общая постановка задачи различения сигналов.
Рассмотрим наиболее общую структурную схему системы передачи информации (рис. 20.1). Предположим, что источник информации передает т+1 сообщений, которым соответствуют сигналы зо(1), ..., з (1). На входе приемника наблюдается смесь одного из переданных сигналов со случайной помехой, искажающей сигнал при его прохождении через канал связи '. Задача различения сигналов на фоне помех состоит в том, чтобы используя заранее выработанное правило, вынести решение о том, какой из т+1 возможных сигналов содержит наблюдаемый процесс. Обозначим через х(!) реализацию случайного процесса Х(1), наблюдаемую на интервале 0(1~Т на входе приемника.
Предположения о том, что был передан тот или иной сигнал, формализуются в виде статистических гипотез Но, ..., Н, где Н;— гипотеза о том, что был передан сигнал зт(1). Если верна гипотеза Н,, то случайный процесс Х(1) =з,(1)Зч(1), 1=0, и, (20.1) где $(() — случайная помеха, а символ З характеризует взаимодействие сигнала ьч(1) с помехой $(1). Задача различения сигналов зо(1), ..., з (1) на фоне помехи представляет многоальтернативный вариант задачи проверки статистических гипотез Н,, ..., Н (см.
п. 13.3.1). Решением Та в этом случае является принятие гипотезы Нв и отклонение остальных гипотез Нь (Ф(г. Обнаружение сигнала на фоне помехи, которому была посвящена гл. 16, является частным случаем бинарной задачи различения двух сигналов при за(1)= — О. Заме- Пан няотое Гооощение сигнал сигнал на елогте соаащение Рпс. 20Л. Структурная схема системы передачи информации ' Собственные шумы передатчика и приемника включены в укааанпую по. меху.
559 является элементом векторного выборочного пространства, на котором задана система функций правдоподобия Ю'(х(Н;), /=О, т. Если аддитивная помеха — гауссовская, то (ср. (15.4)1 И' (х) Н,) = (2 и) — "и (бе! К) — ' и и 1 х ехр ~ — — (х — з;)' К вЂ” ' (х — з;) ~ (20.4) где з,= (зя, ..., э,„), эн=э;(Н), /=О, т, !=1, и, (20.4а) К вЂ” корреляционная матрица размером пхп, элементы Кн которой определяются корреляционной функцией помехи: Ки = В»(1; — /), г',1= 1, и (20.4б) Элемент П»; матрицы потерь является платой, соответствующей событию»/»()Н„т.
е. совмещению решения о передаче сигнала з», когда истинной была гипотеза Н; о передаче сигнала з,. Если П»;=1 — бкп где 6», — символ Кронекера, то матрицу потерь называют простой. В этом случае платы за правильные решения равны нулю, а за ошибочные — одинаковые. В задачах различения сигналов в системах связи чаще всего используется простая функция потерь. 560 тим, что из общей формулировки многоальтернативной задачи различения (т)1) при э»(/) = — 0 следует задача совместного об-, наружения и различения сигналов. 20.1.2. Априорные данные.
Общая формулировка задачи раз личения сигналов, приведенная в п. 20.1.1, должна быть допол. непа априорными данными. Сведения о том, как часто передают- ся те или иные сигналы, можно использовать для задания ап- риорного распределения вероятностей гипотез рр=Р(Н,), /=О, т. (20.2) Когда передача любого сигнала равновероятна, р»=р~= ... =р =1/(т+1). (20.2а) Помеха в(1) предполагается аддитивной и, следовательно, сим- вол З в (20.1) означает суммирование.
Кроме того, в большей части этой главы, за исключением $20.4, аддитивная помеха— стационарный центрированный гауссовский случайный процесс с известной корреляционной функцией. Проводится синтез как аналоговых, так и одношаговых дис- кретно-аналоговых алгоритмов различения сигналов. В послед- нем случае, как и в задаче обнаружения сигнала, непрерывная реализация х(!) подвергается временной дискретизации, и на- блюдение представляется неоднородной выборкой заданного раз- мера п.
Каждая выборка х=(нь ..., х„), н,=х(1»), хе=Х", /,е=(0, Т), 1=1, и (203) 20.1.3. Синтез оптимальных алгоритмов различения сигналов. Е и имеется полный комплект априорных данных, то можно сн тезировать оптимальный байесовский алгоритм различения 'си !алов по критерию минимума среднего риска [см. (13.50)) = Х Х Пд! р«Р(у«1Нт). (20.5) ! од о Байесовским алгоритмом различения сигналов является также алгоритм, оптимальный по критерию минимума апостериорного риска (см. п. 12.4.2): Пд! Р (НЯх), !=о (20. 6) Ограничимся байесовскими алгоритмами различения сигналов при простой функции потерь. Теперь из (20.5) следует )~= ~ ~ р,р(уд)Н,). з=о «=о где Р(у«~Н!) при 1~1' представляет вероятность перепутывания сигналов зд и з„:.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
