Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 107
Текст из файла (страница 107)
(20.132) 0<!<» Компоненты уп);(х) и ув!»;(х) асимптотически нормальны, независимы, а их дисперсии одинаковы н равны мощности сиг- нала: (20.130) г [[~,= [Р! 1пп )' аз(!) Я, (20,133) т»о Результаты, приведенные в $17.4, 18.3 и 18.5, можно использовать и для синтеза асимптотически оптимальных алгоритмов различения сигналов на фоне коррелированных помех, которые здесь не рассматриваются. чаемые нормированные сигналы представляют модулированные колебанпя вида зг(!) =а;(!)соз[вш( — фг(!)+<ро!1, 1'=О, т, (20.127) где а;(1), ф!(Х) — заданные медленно изменяющиеся по сравнению с сов в~! ф~ункцин времени, вец — фиксированные частоты и !р~ь !=О, т — совокупность независимых начальных фаз, каждая из ' которых распределена равномерно на интервале (0,2п). Допустим также, что априорные вероятности появления сигналов и их мощности одинаковы.
Пусть х — независимая выборка заданного размера и, полученная путем временной дискретизации наблюдаемой реализации аддитивной смеси сигнала и помехи, а Х„з! †векторн выборка значений 1-го сигнала [см. (20.110), (20.111)1. На основе этих выборок определим следующие статистики: [у„!(х)[з= [у!11(х)]'+ [у~'.)(х)[', /=О, т, ззз Глава 21 ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ПОМЕХ 21.1. ОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЪ| ОЦЕНИВАНИИ ПАРАМЕТРОВ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ АДДИТИВНОИ ГАУССОВСКОЙ ПОМЕХИ (21.2) 21.1.1.
Постановка задачи в априорные данные. Обозначим через х(1) реализацию случайного процесса Х(1), наблюдаемую на интервале (О, Т). Априори предполагается, что процесс Х(1) представляет аддитивную смесь детерминированного сигнала з(1; О) и случайной помехи 5(1) Х(1) =з(1; б)+$(1), (21.1) где О= (Оь ..., О ), О~Е, — вектор неизвестных параметров сигнала. Необходимо на основании определенного правила (алгоритма), оптимального по некоторому критерию, сформировать вектор оценок О неизвестных параметров сигнала как векторный функционал от наблюдаемой реализации: Ю=Ю[х(1)), (е=(0, Т), (21.3) причем Ос=9, так как обычно пространство оценок совпадает с пространством оцениваемых параметров. Задача оценивания неизвестных параметров сигнала на фоне помехи в отличие от задач обнаружения и различения сигналов представляет вторую разновидность задач твори~и статистических решений (см.
п. 12Л.2). Для ее решения необходимы дополнительные априорные данные. Будем предполагать, что аддитивная помеха $(1) — центриророванный гауссовский случайный процесс с известной корреляционной функцией В(1, у). Сначала рассмотрим аналоговый алгоритм оценивания, оптимальный по критерию максимального правдоподобия (см. п. 14.6.3). Для указанных априорных данных логарифм функционала отношения правдоподобия [ср. с (15.56)1 г г 1 1п1(хЯ(О) = [ У(1; О) ~х(1) — — з(й б)~ г(1, (21.4) о 2 где У(1; б) — решение неоднородного линейного интегрального уравнения г ,) В(1, «)У(п; 4)) „ (21.5) 684 21.1.2. Оценки максимального провдоподобия. Аналоговые оценки максимального правдоподобия получаются решением системы уравнений максимального правдоподобия [см. (14.136]).
Для этого определим, прежде всего, частные производственные по параметрам от логарифма функционала отношения правдоподобия (21.4): д г д г ! — 1п1[х(1)[б] = 1" — 1)(1„6) ~ х(1) — — з(й ())|й— до( о 2 — — 1']((1; ()) — з(1; (г)((1; (=-1, т. (21.6) 2 о д("( Но из (21.6) следует ]' У(1; ()) — з(1; 4))((1=]' 1/(1„6)~]' В(Е, и) — ]'(и; ()) ((и Й дд( ', " ~о ' дд( г д Гг =)" — У(и; б) ~~ В(1, и)',]((1; б)((1 ([и= а д)( о т = ]' — 'г'(и; Э) з(и; 4))((и. о д()! Подставляя (21.7) в (21.6), получаем [п1[х(1)]Щ] = де( — 'г'(и; (т) [х(1) — з(1; Ю)] Й, 1= 1, т. (21.8) о де( Из (21.8) непосредственно следует система уравнений максимального правдоподобия — ])(и; ())[х(1) — з(1; 4))]й=О, (=1, т.
(21.9) д д( Решая систему уравнений (21.9) относительно неизвестных параметров 6(,..., б, находим оценку максимального правдоподобия векторного параметра 4) сигнала ад (()(() б(о~)) (21. 10) при дополнительном условии, что информационная матрица Фишера с элементами 1((л) (4)) = т,] — 1п1[х(1)[()] — 1п1[х(1)]()] ) = ( дд; д~Ь т т д д = [ [' — Ъ'(и; (1) — Ъ'(и; 4))В(и, у)([и([у, (, 1=-1, т, о дд( дат (21.11) (21.7) при б=(), положительно определенная (см. и. 14.2.7). 53э (21.13) (21.16) (21.18) (21.2 1а) (21.216) оаб Если а(1) представляет белый гауссовский шум со спектраль- ной плотностью Уо, то из (21.5) следует т (1; тг) с а(1; Е)(уо (21.
12) и система (21.9) значительно упрощается: т — з(1; 9)(х(1) — з(1; 6))о(1=0, 1=1, т. о х(ля белого шума элементы информационной матрицы Фишера [см. (21.11)) 1ы М(4))= — ~ — з(у; 6) — з(у; 9)о(у, 1, 1=1, ш. (21.14) ~Чо о д д~ дду 21.!.3. Линейная модель сигнала. Рассмотрим линейную отно- сительно неизвестных параметров модель сигнала з(1' б) = Х бззт(1) (21.15) у=! где з;(1), 1=1, т — известные функции. Найдем совместные оценки максимального правдоподобия па- раметров бь ..., б . Подставляя (21.15) в правую часть (21.5), за- меняем интегральное уравнение (21.5) системой уравнений т )" В(1, и) т';(и)ахи=э;(1), 0~1(Т, 1=1,т. о Функция )т(1; б), от которой зависит логарифм функционала отношения правдоподобия, (т(1' б) = Х бт)тт(1). (21.17) г=! Из (21.17) находим — 'т'(1; б) = т'; (1).
де~ Подставляя (21.18) в (21.9), получаем систему уравнений мак- симального правдоподобия т г пв 1')т (1)~х(1) — ~,'б;з;(1)~М О, 1=1, т, (21.19) о у=1 или ~т т 2; б~ )' 1'; (1) ~; (1) Ш = )'У, (1) (1) ~И, 1 = 1, гп . У=~ о о Обозначим т от и = )' *т'; (1) з; (1) о(1, о т х т~ = )' )т; (1) х (1) й. о (21.24) Тогда система линейных уравнений (21.19) запишется в виде Я Х зги 67= хто! ! = 1 !и (21,22) /=1 или в матричной форме зтб=хг, (21.23) ГдЕ Зт — МатрИца раЗМЕрОМ тХги, ЭЛЕМЕНТЫ КОтОрОй раВНЫ Згьн а 6 и хт — векторы-столбцы, элементы которых д; и хт! соответственно, Полагая, что для всех 1 т ) Ф.
(1) и( ( оо о и что В(1, и) — положительно определенная функция, приходим' к заключению, что существует матрица зт ', обратная матрице зт. Тогда решение уравнения (21.23) приводит к следующим оценкам максимального правдоподобия неизвестных параметров: (21.25) Используя левую часть (21.19), найдем элементы информационной матрицы Фишера (см. (21.11)1: 1'г' н =!и! ~ (' Г; (и) ~х(и) — 2„бозд(и) о(их 'о 4=! т г !!! х )' Г7(о) ~х(о) — Х 6, з„(о) сЬ =- о !! ! т т =) ) В(и, о) Г;(и) Г,(о)!(и!(и= о о г = ( 1/о(и) о7(и)йи, !, ) =1, и. в Из (21.26) следует, что информационная матрица Фишера положительно определенная вследствие положительной определенности корреляционной функции помехи, причем элементы этой матрицы не зависят от параметров дь ..., д .
Таким образом, решение (21.25) действительно представляет оценку максимального правдоподобия векторного параметра 6. Заметим, что правые части формул (21.21а) и (21.26) совпадают, т. е. информационная матрица Фишера 1т совпадает с матрицей зт. Тогда формулу (21.25) можно переписать в виде (21.27) Для белого гауссовского шума с интенсивностью Уо из (21.16) следует, что Г! Я=а (4/№, (=1, !и, (21.28а) 887 и элементы матрицы зт и вектора хт преобразуются к виду [см. (21.21а) и (21.216)1 згп = — [ з.
(!) зт (1) г(1 =1т ', !, ! = 1, гл. Л!о о т хг,.=- — [ з; (~)х(1) !11, ! = 1, и. (21.28в) а о 21.1.4. Анализ оценки максимального правдоподобия. Докажем, что векторная оценка (21.25) несмещенная. Из (21.25) на- ходим (21.28б) т, (Ф„) = зг' т! (хг). (21.29) Но т Т лг,(х !)= Х0,[ !(1) г';(1)б(= Хб з„, !=! о / ! и, следовательно, л!! (хт) = зтО. Подставляя (21.30) в (21.29), получаем (21.30) !и. Ф~.) = 0 (21.31) что и доказывает утверждение о несмещенности оценки (21.25) максимального правдоподобия векторного параметра линейной модели сигнала. Найдем корреляционную матрицу М рассматриваемых оценок максимального правдоподобия г т !и! (х т! хг!) = [ [ В (и, о) 1 ! (и) 1"~ (о) !(и!(о + о о т УП + ХОьзг!ь ХЬ згг„ ь=! л 1 и, следовательно [см.
(21.16)1, т!(хткт) =ат+зтЬОз,. Подставляя (21.34) в (21.33), находим М=з 'т=1-'т. 588 (21.34) (21.3511 М = т! ((Ф„„— Ф) (Ф„, — Ф)'). (21.32) После несложных преобразований и подстановки вместо Ф, ее выражения из (21.25) имеем с учетом симметричности матрицы зт М = т, ( з —,.' хт и',. ( з г!)') — ФФ' = (21.
33) Но Из (21.35) следует, что рассматриваемые оценки максимального правдоподобия параметров линейной модели сигнала совместно эффективные. 21.1.5. Оценк5 амплитуды детерминированного сигнала. Рассмотрим оценку максимального правдоподобия неизвестной амплитуды а детерминирот(анного сигнала аз(1) на фоне адднтивной гауссовской помехи. Эта оценка является частным случаем рассмотренной в п. 21.1.3 оценки при по=1 и б,=а. Из (21.25) для рассматриваемого скалярного случая следует т г т и =1 У(Г)хят(1~ 1 У(Г)з(1)й=хт(зт о о (21.36) где т хт = )' 1' (1) х (1) сУ, о т зт= 1' У(1) з(1) Ж, о (21,37а) (21.376) У(Е) — решение линейного интегрального уравнения [см.
(21.16)1 т )' В (1, и) У (и) г)и = х (1) О (1 < Т, (21.38) о Из общих результатов анализа оценки максимального правдоподобия векторного параметра линейной модели сигнала, приведенных в п. 21.1.4, следует, что оценка (21.36) амплитуды сигнала несмещенная ~и эффективная, т. е. т1(б„„) =а, (21.39а) тт х — ! р, (а ) = о-' = 1-,.' = ~ 1" У (1) з (1) о(1~ о (21.39б) Оценка (21.36) является линейным функционалом гауссовского случайного процесса.
Поэтому она представляет гауссовскую случайную величину со средним а и дисперсией з-'т. Это позволяет довольно просто получить интервальную оценку амплитуды сигнала (см. п. 14.5.3). Так как Р(а(1 — е) (аио(а(1+ е)) = 2г (ае)т'зт) — 1.= у, где Р(з) — интеграл Лапласа, то доверительный интервал для неизвестной амплитуды сигнала может быть представлен неравенствами г йио — Хи — тпгГУ Зт (и < ии о+ "и — тиг7У Зт (21.40) где хи тмг — процентная точка нормального распределения, опре деляемая по заданному коэффициенту доверия у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
