Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 111
Текст из файла (страница 111)
лх( но) У5 + М + УМ (1+ 1ФТ )73 + у — )ГМ 1ФТ) откуда следует, что оа ( Р ло+ й'а + Ч~Д'е ) (1+ пвТ) Подставляя (21.!19) и (21.117) в (21.113), находим передаточную функцию оптимального фильтра (фильтра Винера) оо йо йч (1со)— — , (2!.120) ЯЗ, + И, + ~/М, ) Ял, + И, + 1ФТ М)у,) (1+1ФТ.) ' где Ъз Т зо = о = уха+ ! (1+ )7~а+ 1) а = -)7 ~ + ~, (21.120а) аз=5,1!Уз — отношение энергии сигнала к спектральной плотности белого шума. Из (21,120) следует, что в рассматриваемом случае оптимальный фильтр представляет последовательное соединение усилителя с коэффициентам усиленна де* и интегрирующей цепи с постоянной времени Т, (см.
п. 7.2.6). Из (21.120) обратным преобразованием Фурье находим импульсную характеристику оптимального фильтра йо l т й* (1) = — ехр ( — — ), 1~ >О, Т (, Т и минимальную дисперсию ошибки [см. (21.107а)] (2! . 12!) о,'. = Д* (0) Л'а = — = з*о й'э оо)Т Т, ~/1+ Ха+1 (2.122) 21.3.7. Другой подход к решению задачи синтеза оптимального фильтра. Если спектр сигнала представляет рациональную функцию переменной шз, то можно использовать другой подход к решению задачи синтеза алгоритма фильтрации, оптимального по критерию минимума среднего квадрата ошибки, предложенный в [65~. Проиллюстрируем этот подход на примере, рассмотренном в п.
21.3.б. Сигнал й(!) со спектром (21.115) получаем на выходе формирующего фильтра, структура которого определяется дифференциальным уравнением первого порядка (см. и. 7.2.4 и рис. 7.2) "— '"'+ — '$(!)= (!), (21.123) ос Т где т(1) — белый шум со спектральной интенсивностью 5с. Предположим, что помеха т)(1) также представляет белый шум с интенсивностью й ь причем т)(!) и п(1) некоррелированы, 606 (2! .
1256) Используем линейную оценку сигнала (21.102). Импульсная характеристика оптимального фильтра удовлетворяет уравнению (21.103). Тогда из (21.102) находим (21. 124) Далее из (21.103) следует ан!0, т) ' за*(! „1 ( ' «1 В«(т, и) ди + Й* ((, 1) В (1, 1). (21 125а) Но, учитывая (21.123) и (21.!03), получаем д8!(ц ) (ат(!) ) — „Б()~ = — —, В~(1, )= = — — [' Й' (1, и) В, (и, т) ди. о Кроме того, при т(1 В (1, т) =В! ((, г) = [' й*((, и) В (и, т) !(и.
о Из (21.125а — в) следует + Й* (1, !) Й' (1, и) + — Й' (1, и) В (и, т) !(и = О, о (21.125 в) или д †' (!) = — 1 $ (1) + й (1) [х (1) — $ (1)[, (21.128) и! Т- где й(г) =Й'(г, !). (21.! 29) Выражение (21.128) представляет оптимальный по критерию минимума дисперсии ошибки алгоритм фильтрации сигнала со ьот (21.126) Для того чтобы интеграл (21.126) был равен нулю при произвольной функции В„(и, т), выражение в квадратных скобках должно быть равно нулю, т. е. айв (! «) = — — Й«(1, и) — Й* (1, !) Й* (1, и).
(21.127) д! Т Подставляя (21.127) в (21.124), получаем д й (!) ! — = — — ~ Й* (1, т) х (т) !(т— Д! Т вЂ” Й* ((, 1) [" Й" ((, т) х (т) дт + Й~ ((, 1) х (1) о Рис. 2ЬЛ Схема фильтра Калмаиа спектром (21.123) на фоне аддитивного белого шума. Соответствующая этому алгоритму структурная схема оптимального фильтра (фильтра Калмана) изображена на рис. 21.1, где, кроме того, показана структурная схема формирующего фильтра, на выходе которого получаем сигнал со спектром (21.115). Заметим, однако, что алгоритм (21.128) полностью еше не определен, так как осталась неизвестной функция ««(1) [см.
(21.129)), которую называют коэффициентом усиления. Но из (21.106) следует ь(«) = та («)«у (21. 130) т. е, коэффициент усиления полностью определяется минимальным значением дисперсии ошибки прн линейной фильтрации сигнала. 21.3.8. Дифференциальное уравнение, определяющее минимальную дисперсию ошибки. Используя (2!.128), запишем сначала дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет ошибка е (1) =$(1) — $(1) при оценивании сигнала й(!): = — е' (1) ~ — + А (1) 1 + А (1) т! (!) -- и (1), «и ,'Т (21.131) Обозначив р (1) = о.'. (!) = ° (( * (1))') (21.132) получим с учетом (21.131) л 01 «л«01 — = 2 ит (е* (1)— Ж и« = — 2 [ — +й(1) 1 р(!)+2 и(1) т,(е*(1) т)(1)) — 2 та (а*(1) ч(!)) .
Т и так как т«(з*(!)т1(г)) =м(1)Ма/2, т«(еа(!)м(1))= — Ба/(2Тх), то получаем следующее нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка (уравнение Риккати) для дисперсии ошибки = — — р (!) — — р (1)+ — . (21.133) «и т «ч„ Т' При ! — ~-ео дисперс я ошибки р(1) и, следовательно, коэффициент усиления й(!) стремятся к постоянному значению, опреде- 608 ляемому из условия 11т йр(1)/И=О. В результате решения квадт-ь ьь ратного уравнения с учетом р)0 имеем р=р( )=Р),(т(У1+З,(й(,— 1)=и,й( ). (21.134) Используя обозначение У=5о/Ус, принятое в (21.122), можно переписать (21.134) в виде оа ()г'1 + ) в 1) оа/Т (21 134а) тха Чl~+ Л +1 откуда видно, что предельное значение дисперсии ошибки для алгоритма Калмана оценивания сигнала совпадает с дисперсией ошибки, соответствующей фильтру Винера.
При начальном условии р(0) =0 общим решением уравнения Риккати является (см., например, [66]) р(1) = — а [ рг1+),в1)т ( + 1+аг((т ] — 1 (21 135) ~/~+ха 7' По изложенной методике можно синтезировать алгоритмы фильтрации, использующие более общую модель формирующего фильтра, определяемого системой дифференциальных уравнений относительно переменных состояния [см. (6.46), (6.47) ]. Такие алгоритмы, как аналоговые, так и дискретно-аналоговые, представленные в матричной форме, приведены, например, в [66] (см. также [16], табл. 7.1).
21.4. НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАНИЯ $(1) лет (й (1)]с (т)] =: )" иЖ' [а,(!х(т)] г(и, (21.136) ' Этот же функцконал представлвет оптимальную оценку и по критерию минимума среднего риска при квадратичной функции потерь, а также длв любой четной функции потерь, если только апостерворнав плотность процесса уипмодальна и симметрична относительно моды.
20 — З7 609 21.4.1. Постановка задачи. В В 21.3 рассматривались оценки сигнала нн фоне помехи, получаемые линейной фильтрацией наблюдаемой реализации, и определялись характеристики линейных фильтров, оптимальных по критерию минимума среднего квадрата ошибки. Если отказаться от условия линейности алгоритма обработки наблюдаемой реализации, то в более широком классе допускаемых оценок можно, вообще говоря, получить оценки, которые по заданному критерию минимума среднего квадрата ошибки будут лучше линейных оценок. Из результатов, приведенных в и.
14.6.3, следует, что в общем случае оптимальной по критерию минимума среднего квадрата ошибки оценкой сигнала й(1) по наблюдаемой реализации х(т) аддитивной смеси сигнала с помехой 71(1) является условное среднее' где Чт[и, 1«х(т)) — апостериорная плотность сигнала ~(1) после наблюдения на интервале (О, 1) реализации х(т) случайно~о процесса $(1) +г1(1). За исключением гауссовских процессов ~(1) и г!(1) вычисление нелинейного функционала (21.136) встречает значительные трудности, связанные прежде всего с определением апостериорной плотности вероятности. Один из подходов к решению задачи оптимальной нелинейной фильтрации состоит в ограничении класса исследуемых процессов марковскими или их компонентами.
Прн таком ограничении удается преодолеть трудности, связанные с вычислением апостериорной плотности оцениваемого процесса. После этого можно получить оценку по критерию минимума среднего квадрата ошибки. Вопросу нелинейной фильтрации марковских случайных процессов посвящена основополагающая работа [67) (см. также [68)), Рассмотрим другой подход, основанный на аппроксимации нелинейного функционала ~(!) =К[х(т), О~т~(] рядом Вольтерра [см. (6.9)1. 2!.4.2.
Представление оценки сигнала рядом Вольтерра. При линейной фильтрации связь между оценкой сигнала ЦГ) и наблюдаемой реализацией х(т) описывается достаточно простым интегральным соотношением (21.80). Когда для оценки используется нелинейная инерционная система, то связь уже не столь проста. Можно, однако, и при нелинейной фильтрации установить явную связь процессов Ц1) и х(т), если воспользоваться представлением нелинейного функционала от реализации х(т) рядом Вольтерра «см.
(6.9)1 $ (1) = г [х (т)) = К (и„..., и,„) х(1 — и,) ... х (1 — и,„) г(иг ... г(и ггг 1 — о — ав 0(т(1. (2! . 137) Если К 0 для всех т)1, то получаем линейный функционал и Кг(и) можно трактовать как импульсную характеристику линейного фильтра. Добавление членов ряда (21.!37) при т) 1 означает введение нелинейности. Совокупность функций К„,(ин... „., и ), т= 1, и, характеризует нелинейный фильтр гг-го порядка, Ограничение суммы (21.137) первыми и членами позволяет аппроксимировать функционал г[х(т)] процессом на выходе фильтра и-го порядка прн входном воздействии х(т). 21.4.3. Оптимальная нелинейная коррекция второго порядка. Пусть х(т) — реализация суммы центрированных сигнала и по- 610 мехи, определенная для всех действительных значений т.
Примем в качестве оценки' е (!) = (' К) (и)) х (! — и,) т(и) + (21:138) + ( [ К,(иы и) х(1 — и ) х(! — и) т(и)ди„ вЂ” Ю оз (1) и (($ (!) 1 (!))а) (21. 138а) был минимальным. Обозначим через е((!) ошибку, которая получается, если для оценки в(() используется оптимальный линейный фильтр, т. е. е, (!) = $ (!) — )' )т* (и)) х (! — и,) т(и. чч (21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
