Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 110
Текст из файла (страница 110)
(21.86а) Подставляя (21.86) во второе слагаемое (21.84), получаем оз(1) =Вз((, 1) — 2 ]' ]'6(1, т)6*((, у)В (т, у)((т((у+ — ОФ вЂ” М + ] ]'6(1, и)6(1, п)В„(и, п)г[и(]о= — С вЂ” О = В1 (1, 1) — ]' ~6*((, т) Й" (1, у) В (т, у) ((т((у + (21.86) О ОО + ]' ]В„.(и, о) [6(1; и) — Й" (Г, и)]]6((, о) — 6('(1, о)](]и((ш (21.87) Так как только последний член в (21.87) содержит неизвестную функцию 6((, и) и так как он неотрицательный в силу положительной определенности корреляционной функции В„(и, о), то минимальное значение а', будет соответствовать такому фильтру, импульсная характеристика которого обращает его в нуль.
Как нетрудно видеть, это будет иметь место при условии 6((, и) =Ь*(1, и), что и требовалось доказать. Обозначим через е*(1) ошибку оценивания сигнала при оптимальной линейной фильтрации. Тогда, учитывая (21.86), находим ( (')"()))= [*() У~'(), Ф*ь)Ф вЂ” *()(()))- СО ]'6*(г', у) В,(т, у)((у — В1(т, 1) = О, (21.88) т. е. процессы х(т) и е" (г) некоррелированы. Соотношение (21.88) выражает так называемый принцип ортогонального проецирования, который, как показано, является достаточным условием м~ннимума дисперсии ошибок оценивания сигнала.
Можно доказать, что это условие является также необходимым (см., например, 162]). 600 При использовании оптимального линейного фильтра мини- мальное значение дисперсии ошибки о,', (1) = В! (1, 1) — )' ) й" (1, и) й* (1, о) В„. (и, о) г(иг(о или с учетом (21.86), (21.86а) ОО от~, (1) = Ве (1, 1) — ) й~ (1, и) В! (и, 1) !(и = !м (21. 89~ ) й*(1, и) Вч(г, и) сХи. В силу положительной определенности В„(и, о) вычитаемое в (21.89) неотрнцательно н, следовательно, о2,„(0 ( В! (1, 1), (21.90) (21.89а) где Ф(Г, в) — мгновенный спектр, а индекс при символе Ф указывает, какому процессу соответствует спектр.
Для белого шума с интенсивностью йГО имеем Вч (1, и) = =Л!аб(! — и) н из (21.86а) и (21.89а) следует В! (т, 1) = й!, й*(1, т) + )'й* (1, у) ВЕ (т, у) ду, (21.92) (21.93) о2 (1) = !у й* (1, 1). 21.3.3. Фильтрация стационарного сигнала. Если сигнал $(1) и помеха г!(1) стационарны (по крайней мере, в широком смысле), а фильтр представляет линейную систему с постоянными во времени параметрами, то интегральное уравнение (21.86) преобразуется к виду Ю Ве(т) = )' й* (и) В„(т — и) г(и = О й"' (и) (В1 (т — и) + Вч (т — и)) !(и.
(21.94) Из (21.89) и (7.40) следует аз„(г) =Вт(1, 1) — В- (1, Г), (21.91) т. е. минимальная дисперсия ошибки равна разности дисперсий оцениваемого процесса и оценки. Используя (21.91), можно выразить величину а', (1) также через интеграл от разности мгновенных энергетических спектров процесса $(1) и его линейной оценки $(1) (см. п. 4.3.10) ! оз„(Г) = — ~ [Ф! (1, в) — Ф-(Г, ы)) !(е!, (21.91а) 2и Из (21.89а) находим минимальную дисперсию ошибки о~, (1) =-В1(0) — ) Ь* (и) В~ (и) сМи нли о', —.
В1 (0) В. (О), (21.96а) (21.95) (21.96а) т. е. минимальная средняя дисперсия оценки равна разности средних мощностей оцениваемого сигнала и оценки. Выражая средние мощности через спектры процессов [см. (7.50а)), запишем, минимальную дисперсию в виде о,', = — [ [51 (в) — 5„(в))Р (1в))') Йо, (21.96) Л о где 5в (в) = 51 (в) + 5, (в), А*((в) — передаточная функция оптимального фильтра. Так как правая часть уравнения (21.94) представляет свертку функций, преобразования Фурье которых равны соответственно А*()в) и 5,(в), то, совершая преобразование Фурье от обеих частей уравнения (21.94), получаем Й* (1 в) - 51 ( ~)/(51 (в) + 5ч (в)) (21. 97) Формула (21.97) представляет в явном виде решение задачи об определении характеристики оптимального фильтра, если не учитывается физическая реализуемость фильтра [используются не только все прошлые, но и все будущие значения реализации х(т)1.
Фильтр совершает оценку сигнала в заданный момент времени с бесконечным запаздыванием. Так как правая часть в (21.97) действительна, то она представляет частотную характеристику оптимального линейного фильтра (фазовая характеристика в этом случае тождественно равна нулю).
Подставляя (21.97) в (21.96), находим о,'. = — )" " йв. ~1 (в) 8„(в) (2! .98) 2п 81(в)+8ч (в) Из (21.98) следует, что дисперсия ошибки при оптимальной фильтрации равна нулю (сингулярность) тогда, когда спектры сигнала и помехи не перекрываются, т. е. когда 51(в)5ч (в) =0 при всех в. Для того чтобы не было перекрытия, необходимо, очевидно, чтобы спектры 51(в) и 5„(в) на некоторых интервалах оси частот тождественно обращались в нуль.
При фильтрации сигнала на фоне белого шума со спектральной плотностью Уо из (21.98) следует )Ч, " ~1(в) п2 О У 1( (21.99) 2п о 81 (в) + 'уо т. е. наличие аддитивного белого шума исключает сингулярность. 602 (21. 104) Фильтр с передаточной функцией (21.97) можно представить. двумя последовательно соединенными фильтрами с передаточными функциями й,((ьз) и й~(1а), квадраты модулей которых ~й (!ы) Р= [3.(м)! '.
(2!.100а) 1йг (1ю) ! = [5$ (ы) ] /5~(ю), (21.100б) й* (!ОЭ) =й1 (!СО) й2 ((м) . (21. 100в) Ясно, что при воздействии на вход первого фильтра реализацией х(т) получаем на его выходе белый шум единичной интенсивно- сти. Второй фильтр осуществляет оптимальную обработку белого шума для получения оценки 4(() с минимальной дисперсией. Фильтр с передаточной функцией (21.100а) называют обеляющим. 21.3.4. Физически реализуемый оптимальный фильтр. Условие физической реализуемости означает, что для фильтрации исполь- зуется только предыстория реализации х(т) до момента времени, когда производится оценка.
Оценка сигнала при помощи физиче- ски реализуемого линейного фильтра имеет вид с $ (1) = [ й (1, т) х (т) йт, (21.101) где используются все значения реализации х(т), предшествующие моменту 1, для которого производится оценка. Если наблюдается реализация х(!) конечной длительности, т. е. если оценка в момент 1 производится по результатам наблюдения на интервале (О, !), то вместо (21.101) получим я (1) = [ Ь (1, т) х (т) й т. (21.102) о Выполняя те же преобразования, что и в п.
21.3.2, нетрудно пока- зать, что наилучшую по критерию минимума дисперсии ошибки линейную фильтрацию сигнала из его аддитивной смеси с помехой осуществляет такая линейная система, импульсная характеристи- ка которой удовлетворяет интегральному уравнению Винера— Хопфа В,;(1, т) =- ) 6*(1, и) [В! (т, и)+В„(т, и)) Ли, 0(т<й (21.103) о Заметим, что и в рассматриваемом случае оптимальной физи- чески реализуемой фильтрации необходимым и достаточным яв- ляется условие некоррелированности ошибки и наблюдаемой ре- ализации [см. (21.88)). При использовании оптимального физически реализуемого филь- тра минимальная дисперсия ошибки [ср. с (21.89а)! а, (!) = В! (1, г) — )' 6' (1, и) В! (и, 1) ди = о = )" Й* (1, и) В„(1, и) Йи, о Для белого шума из (21.103) и (21.104) следует Вх (1, т) =- М, й* (1, т) + )" Ь' (1, и) В! (и, т) ди, 0 < т < 1, (2! .
105) о о,'-', (!) = Х, Йа (1, !). (21. 106) 21.3.5. Оценка стационарного сигнала физически реализуемым оптимальным фильтром. Если и сигнал, и помеха стацнонарны, а фильтр представляет линейную систему с постоянными во времени параметрами, то. из (2!.103), при 1- оо следует, что импульсная характеристика й*(!) оптимального фильтра определяется решением интегрального уравнения Вь( т) — ( й" (у) В„(т — у) 3у =- О, т э О. (21.107) о Прн этом минимальное значение дисперсии ошибки (см.
(21.104)] о „= ) Ь*(и) Вч (и) ди. (21. 107а) Обозначим левую часть уравнения (21.107) через д(т), Ясно, что д(т) =0 при т)0, причем преобразование Фурье 6(!м) от функции д(т) имеет полюсы лишь в нижней полуплоскости. Из (21.107) преобразованием Фурье получаем Ва (м) — 'а" (!в) В„(а) = 6 (!а).
(21.! 08) Передаточную функцию А*(!ы) оптимального фильтра можно найти из (21.108), если выполнить условие регулярности функции 6(!в) в верхней полуплоскости. Для этого предположим, что спектр В,(в) допускает факторизацию, т. е. может быть представлен в виде произведения В„(м) =2, (!ы) 2„( — !а), (21. 109) причем все полюсы и нули функции Л„(Ъ) находятся в нижней полуплоскости (т. е. функция 3,(1в) представляет передаточную функцию физически реализуемой линейной системы). Подставив (21.109) в (21.108), и разделив обе части уравнения (21.!08) на Е,( — !ы), получим Яа (в)/2„( — !в) — Я*(ио)2 (!ьз) =6(!ьз)/2 ( — !м). (21.110) Представим первый член в левой части (21.110) в виде суммы функций Ва (в)/Е,( — !в) =Н(!ы)++Н(1а) (21.111) где Н(ка)+ регулярна в нижней полуплоскости, а Н(!в) — в верхней.
Разложение (21.111) выполняется просто, если левая часть этого выражения — дробно-рациональная функция частоты в. Из (21.110) и (2.111) следует Н(1а)+ — й'(!в)Л„(1га) =6(1в)/Е„( — 1в) — Н(1а) . (21.112) а04 ,Левая часть (2!.)!2) регулярна в нижней полуплоскости, а правая — в верхней. Отсюда следует, что и левая, и правая части уравнения (2!.!12) должны быть тождественно равны нулю.
Из последнего условия находим передаточную функцию оптимального физически реализуемого фильтра й*(!оз) = Н (!ш) т)х.,(но). Обратным преобразованием Фурье из (2!.! !3) находим импульсную характеристику Ь*(!) оптимального физически реализуемого фильтра (решеиие уравнения Винера — Хопфа). Таким образом, определение оптимального физически реализуемого фильтра сводится к факторизации спектра аддитивной смеси сигнала и помехи и разложению функции 51 (го))х'.„( — !ш) на сумму сопряженных функций. Указанная факторизация может быть всегда выполнена, если выполнено условие Винера — Пали ) )1пзх (мВ ( (21, ! !4) 1+ мз (21.115) а адднтивиая помеха — белый шум со спектральной плотностью й» Спектр наблюдаемой реализации ое + зе+)Уа+('ау) й!е !+(мТ)з 1+(сеТ)' (2!.1!6) факторнзуется очевидным образом н г ( м) = Ь'за+ й'е+ м Т УЦ,'У(1 + Т).
Из (21.115) н (21.1!7) находим 81 (м) 5р (21.!!7) (21.118) лх ( !м) (1+ !мТ) ()/Яа+ )уе — !мТ )г М~) 605 Условие (21.)!4), справедливое для дробно-рациональных спектров, не выполняется, например, для гауссовского спектра, пропорционального ехр( — ргоз), 0)0. Заметим, что если спектр процесса не удовлетворяет этому условию, то значения сигнала с вероятностью единицы могут быть экстраполированы по реализации х(!), наблюдаемой на любом интервале конечной длительности. Оптимальный фильтр с передаточной функцией (2!.! )3) можно представить двумя последовательно соединенными фильтрами: «обеляющим» с передаточной функцией [2„(!ш)) ', на выходе которого получаем белый шум, и оптимальным с передаточной функцией Н(!го)т для выделения сигнала на фоне белого шума (ср.
с (2 !. !00в) ]. 21.3.6. Пример оптимального фильтра. Проиллюстрируем методику решения уравнения (21.107), изложенную в п. 21.3.5, на простом примере, когда спектр сигнала Разлагая правую часть (21.118) иа элементные дроби, получаем 8! (ы) оа )/ж.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
