Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 112

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 112)

139) Ошибка е((!) не коррелирована с х(т) 1см. (21.88)], т. е. т((х(т)в)(!)) =О. (21.140) Из (21.138) и (2!.139) находим дисперсию ошибки к.—, ([,(~)- ! 1 к.(.„.,)*(г-.и» (а х х (! — иа) т(ит азиз ~ ~ = Ве, (О)- — 2 !" )' К, (иы иа) т,„(им ц ) т(и) т(из+ + ) з ) ) Кз (и) пз) Кз (и( ич) х — — ч Х т, (и, — и.„и, — пз, пе — п,) т(и(т(изт!из с!и,, (21.141) ( Излагаемая теория легко обобщается иа пестац )оиариые процессы и физически реа тизуемые фил( тры. 20' 6!! где К((п() =т(*(и() — импульсная характеристика оптимального фильтра, определенная из уравнения (21.88). Оценка (21.138) отличается от линейной наличием нелинейного слагаемого.

К оценке, оптимальной в классе линейных фильтров, добавляется корректирующее слагаемое за счет использования нелинейности. Для формирования оценки (2!.138) использована простейшая нелинейная система — фильтр второго порядка. Задача состоит в том, чтобы определить характеристику Кя(и), из) нелинейности так, чтобы средний квадрат ошибки О т~,„(и„и,) = ) (', К' (и„и,) т„. (и„— и.„и,— и„и,— (21.145) и4) ~(из ~(и4' Минимальное значение дисперсии ошибки Ю Ю К' (и,, и,) К", (и„и,) т„(и,— ЮФ ФФ ФФ ОЭ и, — и,) Йи, Йи, Йи, йи, (21.

146) охи В~, (О)— — и,и — и я 1 м или ю в1 оз. о~. — )' )' К' (и„и,) т,„. (и„и,) ди, зим (21.14?) где о',. -В,, (О) =Вз (О) — )" Ь'(и)В„4 (и) Ни. 1 6Π— минимальная дисперсия ошибки линейной оценки !см. (21.95)]. б!2 (21.147а) где с учетом стационарности сигнала и помехи т,,„(и„и,) =- т, (е, (!) х (( — и,) х (1 — и,)) = = т, ($ (!) х (! — и,) х (! — и,)) — ~' й* (и,) х х т, (х (1 — и,) х (! — и,) х (1 — и,)) г(и, = =т1„(и„и,,) — (' й*(и,) т„(и„— и„и,— и,) йи„, (2!.142) т,.(и,— и,, и,— из) =т,(х(! — и,)х(! — а2)х(! — из)), (21143) т„(и1 — им и1 — из, и~ — и~) =т,(х(! — и,)х(! — ид)х(! — и,)х(! — и,)), (2!.144) а В,, (О) совпадает с минимальной дисперсией ошибки, которая получается при использовании линейных оценок !см. (2195а)1.

Из (21.141) следует, что при использовании в качестве устройства оценки нелинейного фильтра второго порядка средний квадрат ошибки оценки зависит уже не только от корреляционных функций процессов $(!) и н(!), но и от смешанных моментов третьего и четвертого порядков. Используем тот же прием, что и в п. 21.3.2; можно доказать, что при заданных смешанных моментах процессов до четвертого порядка включительно наилучшая (в смысле принятого критерия минимума среднего квадрата ошибки) нелинейная фильтрация второго порядка сигнала из аддитивной смеси с помехой реализуется при условии, что ядро Кз(и, о) нелинейного корректирующего члена удовлетворяет интегральному уравнению (см.

[60, и. 4.3.2)) Таким образом, использование оптимального нелинейного корректирующего звена в фильтре второго порядка позволяет дополнительно уменьшить дисперсию ошибки на т о~ — о-,'* = )' )' К~ (и,, и») т»,х (и, и») йи1йи»~0. (21.148) 2 21.4.4. Оптимальный фильтр второго порядка. Рассмотрим задачу об оптимальном фильтре второго порядка, отказавшись от предположения, что линейная часть оценки (2!.138) задана. Найдем совместно две функции К,(и) и К,(и, о), минимизирующие дисперсию ошибки, Подставляя (21.138) в (21.138а), находим выражение функционала от... зависящее от двух неизвестных ядер первого и второго порядка: о~ =В1 (О) — 2 )" К,(и) Ва» (и) йи— — 2 )' )' К, (и„и,) т1, (и„и,) йи,йи,+ + )" )" К, (и,) К, (и») В„(и,— и,)йи,йи,+ Ю О 0 +2 ( )' )' К, (и1) К,(и„и») т„(и,— и„и,— и,) х Ю Ю +йи,йи,йиа+ (' )' )' ( Кт (и„и,) К,(ию и,) х (21.

149) Х т„(и,— и„и,— и„и,— и,) йи,йи,йи,йи,. Тем же приемом, который применялся ранее, можно показать, что дисперсия ошибки минимальна при использовании такого нелинейного фильтра второго порядка, ядра которого удовлетворяют следующей системе двух интегральных уравнений: ОЭ К; (и„и,) т„(и, — и„и„— и,) йи„йи, + ОФ С (21.150) + ( К*, (и,) В„(и, — и,) йи, = Ва„(и,), » (Ю б Кр (из и») т» (и1 и» и1 и» ий — и,) йи„йи,+ )' К; (иа) т»(и,— и„и,— и,) йиа=т1»(и,— и,). (21.151) 613 Заметим, что для независимых сигналов ~(1) и помехи п(1), имеющих симметричные распределения, т,(и! — и„и! — из) =0 и система уравнений (21.150), (21.151) распадается на два уравнения, первое из которых переходит в (21.94), а второе — в (21.145), так как пРи этом т1„.(и„ и,) =т...(иь и,). Следовательно, пРи указанном условии полученное решение задачи об оптимальном фильтре второго порядка справедливо и тогда, когда пет никаких априорных ограничений на линейную часть оценки.

21.4.5. Оптимальный фильтр произвольного порядка. Оценку сигнала по наблюдаемой реализации аддитивной смеси сигнала с помехой можно сделать более точной, используя нелинейные фильтры более высокого порядка. При фильтре п-го порядка «см. (21.137)1 п а $ (1) =- 2; ««К; (и„..., ьй) х(1 — и!) ... х(1 — и!)![х! ... г[х!. (21.152) При этом возможны две постановки задачи. Можно попытаться отыскать такую последовательность ядер К,(и!), ..., К„(и!, ... „., и,), которая минимизирует средний квадрат ошибки о' = гп, ([$ (1) — $ (1)[') = т ! ( [ $ (1)— л чм — К, (и„..., и!) х (1-- и,) ... х (1 — и, ) ![и!... ![и! ~ ) ! — са — а (21. 153) Эта задача сводится к решению системы и интегральных уравнений относительно неизвестных ядер, аналогичной системе (21.150), (21.15!) для и=2. Менее общая постановка, приводящая к обозримому результату, аналогична той, которая формулировалась в начале п.

21.4.3. Предположим, что К, (и) совпадает с импульсной переходной функцией оптимальной линейной системы, ядро К,(иь ид) корректирующего нелинейного элемента второго порядка находим из уравнения (21.145), а ядро Кз(иь иь из) корректирующего элемента третьего порядка — из условия минимума о',, Затем добавим нелинейность четвертого порядка и определим К4(иь ... ..., и,) из условия минимума о',, и т. д. Найдем рекуррентное уравнение для К*я(и„..„и ), если уже известна последовательность оптимальных ядер до (и — 1)-го порядка включительно. Обозначим через в„, ошибку, которая получается, если для оценки $(1) используется нелинейный фильтр (и — 1)-го порядка: е„,(1)=$(1) — 2; «)' К,(и„..., и;) х >=! Х х (1 — и,) ...

х (1 — и;) !(и! ... ![и!. (21.154) 614 Тогда из (21.153) находим , ([.—,(~! — ! ., ! К.!, „)х — < 7 х х (1 — и,) ., х (1 — и„) !(и! ... !(и„~( ) =- Ве„! (О) — 2 ) )' К„(и„..., и„) т „, „. (и„..., и„) г(и, ...!(и„+ + )' )' К„(и,, ...,и„)К„(и„ь„...,и,,„) х — СО х т, (и„..., и,„) ди, ... ди,„, (21.155) где т,„,„. (и„..., и„) = т, (е„, (1) х ((-и,) ...

х (1 — и„)), (21.156а) т~(и!,..., из ) =т!(х(! — и!) . ° х(! И2я)), (21.156б) а В,„!(0) совпадает с минимальной дисперсией ошибки при использовании последовательности нелинейных корректирующих членов до (и — 1)-го порядка. Для вычисления дисперсии ошибки согласно (21.155) требуется уже априорное знание смешанных моментов наблюдаемых процессов до 2п-го порядка включительно.

Следуя применявшемуся выше приему, нетрудно убедиться, что оптимальная по критерию минимума дисперсии ошибки нелинейная фильтрация и-го порядка сигнала $(1) из его аддитивной смеси с помехой п(1) будет реализована при условии, что ядро К„(и!, ..., и„) удовлетворяет интегральному уравнению О СО т,„,„(и„..., и„) =- ( )' К„' (и,ч.„..., и,„) х Ю х т„(и„..., и,„) !(и„+! йи,„. (21.157) При п=2 уравнение (21.157) переходит в (21.145). При использовании нелинейного фильтра и-го порядка минимальное значение дисперсии ошибки о,' =о~ — )' )' К„'(и„..., и„) х и я — ! Ю х те„, „. (и„..., и„) !(и„..., ди„. (21.158) При п=2 формула (21.158) совпадает с (21.148). Уравнение (21.157) позволяет найти характеристику оптимальной корректирующей нелинейности и-го порядка, если уже из.

вестны характеристики оптимальных корректирующих элементов до (п — 1)-го порядка. Рекуррентной является также формула (21.158), по которой определяется уменьшение минимальной дисперсии ошибки за счет введения нелинейности и-го порядка.

Заметим, что, как и в теории оптимальной линейной фильтрации, 615 изложенную ~методику можно использовать и для описания более широкого класса нестационарных процессов $(1) и т1(т), а также для определения физически реализуемых нелинейных фильтров и для оценок линейных преобразований сигнала. 21.4.6. Фильтрация гауссовского сигнала на фоне гауссовской помехи. До снх пор не делалось никаких специальных предположений о распределении вероятностей сигнала и помехи.

Допустим, что сигнал и помеха — гауссовские случайные процессы. Тогда нетрудно убедиться, что добавлением нелинейных элементов к оптимальному линейному фильтру нельзя уменьшить дисперсию ошибки. Как уже показано, нелинейная фильтрация 2-го порядка сигнала ~(1) из его аддитнвной смеси с помехой т1(1) будет оптимальной по критерию минимума дисперсии ошибки при условии, что характеристики К1(и) и Кэ(и, о) нелинейного фильтра удовлетворяют системе интегральных уравнений (21.150), (21.151).

Но для гауссовских процессов из (21.140) следует, что х(т) и е1(1) независимы. Поэтому т,, „(иь и2) = т1(е~(1) ) т1(х(1— — и1)х(1--их)) О, так как т,(е1(Г)) =О. Тогда нз (21.145) следует, что КО~(и, о) =— О, т. е. наилучшей в указанном смысле является линейная фильтрация. Докажем теперь, что добавление нелинейного элемента произвольного порядка также не уменьшает дисперсию ошибки. Пусть $(1) — $(1) е,(1)- ) ... )К„(и„..., и„) х ОΠ— ОО хх(1 — и,)...х(1 — и„)ди,...йи„, (21.159) где е1 (1) — ошибка, которая получается при использовании оптимального линейного фильтра.

Повторив рассуждения, которые привели к (21.157), убедимся, что дисперсия ошибки минимальна при условии, что ядро К„(и~, ..., и„) удовлетворяет интегральному уравнению т,,„(и„, и„) = )" ... )К'(иО+ь..., и,„)Х 0 00 хт„(и„..., и,„) г(иеы...Них„, и= '1. (21.160) Как было указано, для гауссовских случайных процессов е~(1) и х(1) независимы. Поэтому т... (ин...,и„)=т1(е~(1))т1(х(1— — и1) ... х(1 — и )) =0 и из (21.160) следует К* (иь, и„) = О, и ) 1. (21.

161) Таким образом, наилучшая фильтрация гауссовского сигнала из аддитивной смеси с гауссовской помехой осуществляется оптимальным линейным фильтром, импульсная характеристика которого определяется из интегрального уравнения (21.94).

Этот результат обобщается и на нестационарные процессы. 616 21.6. ЗАДАЧИ 21.1. Рассмотреть задачу и. 21.1.3 в предположении, что наблюдаемая на интервале (О, Т) реализация х(1) аддитивиой смеси сигнала (21.16) н центрированной гауссовской помехи подвергается временной дискретизации, в результате которой получают выборку х= (зь ..., л,), хг=х(б), ц~ (О, Т), 1= 1, л. Доказать, что оценка максимального правдоподобия неизвестного векторного параметра Ф= (бь ..., 0н) сигнала Ьна=8 — 'Х, где Х=з и ~х, Б=з'2-'а, (2) (3) з — матрица размером л)4гн с линейно-незавиоимыми (в алгебраическом смыс- ле) столбцами, причем /-й столбец представляет вектор зз [з/(й)' "' зз(/н)) ! 1 лз (4а) (г=пК/(г К (46) — нормированная матрица (размером п)4л) гауссовской помехи.

Характеристики

Список файлов книги