Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 109
Текст из файла (страница 109)
(21.626) Функция распределения оценки (21.60) фазы «р для аддитивного белого шума определяется по формуле (3.57). Так как это распределение симметрично, то оценка фазы несмещенная. В соответствии с (3.65) дисперсия этой оценки 1 ао р (~р)= и + 4и 2',( — 1)" —" (21.63) з и туда а которого случайна с известной плотностью распределения в(а). Необходимо, используя,,реализацию х(1), синтезировать оптимальную по байесовскому критерию оценку амплитуды сигнала. В соответствии с (14.140) общее реааеиие этой задачи п]вдставляет апостериорное среднее значение оцениваемой ° мплитуды сигнала, т. е.' бе= ] аЩа!х(1)]аа, (21.64) — ьо где яг [а]х(Г)] = в(а) 1[х()) а] (21.
65) в (а) 1 [х (1) ! а] ба Как указывалось в п. 14.6.3, условное среднее (21.64) является байесовской оценкой для любых четных функций потерь и для унимодальных, симметричных относительно моды апостериорных плотностей вероятности уг'[а!х(1)]. Если помеха — аддитивная, центрированная, гауссовская с известной корреляционной функцией В(6 у), то функционал отношения правдоподобия ![а(1) [ а] = ехр (акт — а'зт/2), (21.66) в (а) = (2паэо) '/зехр [=(а — аз) з/(2азо) ]. (21.67) Определим апостериорную плотность вероятности амплитуды, используя реализацию х(1) аддитивной смеси сигнала и гауссовской помехи Из (21.65)— (21.67) следует йг [а [х (1) ] = ехр [ — (а — аз) з/(2 аа]] ехр (ахг — а' зг /2) Х 1 — ! х! ] ехР[ — (а — ай)з/(2а~~)+а(хт — аз /2)] аа) Вычисляя интеграл, закл]очениый в фигурных скобках, получаем после несложных преобразований )Р [а/х(1)] = (1+ оо зт ) (2 пао) Х (21.68) Из (21.68) следует, что в рассматриваемом случае апостериорная плотность вероятности описывается функцией нормальной плотности вероятности с параметрами: условное среднее значение аз+ ао хг г тт (а [х (1)) = 1+ ай (2!.69) 595 где хг и зт определяются по формулам (2!.37а, б).
21.2.2. Нормальное распределение амплитуды сигнала. Предположим, что амплитуда а квазидетерминированиого сигнала является гауссовской случайной величиной с известнфми средним значением а, и дисперсией а',. Тогда Плотность вероятности амйлитуды и условая дисперсия яз(а ! х (1) ) = озо/(1+ парт) (21.?ОУ Ясно, что функция плотности (21.68) унимодальна и симметрична относительно условного среднего ш,(а(х(1)).
Поэтому в рассматриваемом случае для любом четной функции потерь искомая байесовская оценка амплитуды а квазидетерминированного сигнала [см. (2!.69) и (21.36)! лэ+ оо г пб=, =(па+ т'лмп)?(1+э'), 1+ па 'г (21.71г где б„, — оценка максимального правдоподобия, чг = озэз г (21.72) — отношение дисперсии априорного распределения амплитуды к дисперсии ее оценки максимального правдоподобия [см. (21.396)'1. Из (21.?1) следует, что байесовская оценка представляет среднее взвешенное двух величин: оценки максимального правдоподобия и априорного среднего аь припем отношение веса, приписываемого первой величине, к весу второй равно ч*.
Ясно, что в рассматриваемом случае байесовская оценка распределенной по нормальному закону амплитуды сигнала совпадает с оценкой максимальной апостериорной плотности бз=дмьч. Если отношение тз неограниченно возрастает, т. е. дисперсия оценки максимального правдоподобия много меньше дисперсии априорного распределения, то бб пмво лз ЙО (21.736) т. е. наблюдаемая реализация не влияет на оценку, которая принимаетси равной априорному среднему оцениваемого параметра. Для белого гауссовского шума из (21.41а) и (21.71) следует з т /г „2 г ав = [(аз+ — ~ з (1) х (1) бГ ) / ~ 1+ — З( з~ (Г) Ж ) ~уз о ~Чз о (2! .74) В этом случае т~=~(а',/аг) (Е,)Мч), (21.75) т. е.
равна отношению дисперсии априорного распределения к квадрату амплитуды сигнала, умноженному на отношение энергии сигнала к спектральной плотности белого шума. Рассмотрим некоторые свойства байесовской оценки амплитуды квазиде. терминированного слагаемого. Так как эта оценка получается линейной обработкой наблюдаемой реализации х(1), то распределение ее нормальное (как и оценки максимального правдоподобия). Найдем среднее н дисперсию байесовской оцен- 596 (21.73а) т. е. байесовская оценка приближается к оценке максимального правдоподобия.
Если дисперсия априорного распределения много меньше дисперсии оценки максимального правдоподобия, то средние п дисперсию при фнкснропо а. Из (21.71) следует ки йо, причем саачала получим условные ванном а, а затем безусловные, усредняя т о(й о ( а) = ао+ (а — ао) то(( !+то), Р,(й о (а) = то (1+то) -' (а',+т'(а — ао) о], н так как т,(а)=ао, !оо(а)=а'о, то усредняя то(йо) =то(то(йо) аЦ =ао, ро(йо) = т,(по(йо ) а) ) = то(1+то) 'а'о. по а, получаем (21.76 а) (21.766) о г аозт ' ав (а) ехр ( ах — — 1 йа т, ) о а (2'1 . 77) .о 7 а'ат 1 в (а) ехр ~ах.
— ~ ога оо где т Т хг = ) 1 (!)х(!)й), зг = ) )'(1)з(!)й!. о о у(!) — решение интегрального уравнения т В(г, и) Г(и)йи=з(!), Оа:1~Т. о Дополняя экспоненты в подынтегральных выражениях до полных квадратов, после элементарных алгебраичеоких преобразований находам из (21.77) оо зт ав(а) ( — ) ехр а (21. 78 )" зт оlя в (а) ( — ) ехр ~Прн Т-ьоо значение эт неограниченно возрастает. Тогда и из (21.78), предполагая непрерывность в(а) п используя фильтрующее свой- формулу для байесовской. ство дельта-функции, получаем аснмптотнческую оценки амплитуды прн Т-еоо: йз хт!зт=йма.
(21.79) 50Т Прн то-ьО дисперсия байесовской оценки также стремится к нулю, а прн. то-ьоо асимптотическое значение этой дпспераи равно поь 21.2.3. Аснмптотнчеокне свойства байесовской оценки амплнтудм сигнала с произвольным распределением. Запишем выражение байесовской оценки амплитуды нваэндетерминировалного оигнала с произвольной плотностью в(а) прн. наблюдении реализации адднтивной смеси сигнала с гауссовской помехой. Из. (21.64) — (21.66) лаходнм Независимо от вида априорного распределения гз(а) байесовская оценка оз .амплитуды и сходится при Т вЂ” ьсо к оценке максимального правдоподобия.
Для белого гауссовского шума а' Ез и 'т =, 1 з (') о~= ~~'з о Яе .т. е. указанная асимптотика имеет место при неограниченном увеличении отношения энергии сигнала на интервале наблюдения к спектральной плотности шума. Аоимптотические свойства байесовских оценок векторного случайного параметра кназидетерминйрованного сигнала для широких классов распределений помех и параметра, а также функции потерь исследованы в [81). 21.3.
ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ 21.3.1. Постановка задачи и априорные данные. Предположим теперь, что на интервале наблюдения (О, Т) получена реализация х(1) аддитивной смеси сигнала $(1) и помехи т1(Г), которые представляют центрированные случайные процессы с известными корреляционными функциями Вз (и, и) и Вч (и, и), причем и сигнал, и помеха необязательно гауссовские. Необходимо синтезировать оценку $(1) стохастического сигнала по наблюдаемой реализации х(т), 0(т(Т. Определение оценки 5(1) как функционйла от х(т) при (=Т называется задачей фильтрации сигнала, при 0<.1<.Т вЂ” задачей интерполяции сигнала и при 1) Т вЂ” задачей экстраполяции (или прогнозирования) сигнала.
Располагая рейлизацней аддитивиой смеси сигнала и помехи, иногда необходимо определить также оценку Дг) некоторого другого стохастического сигнала Ь(1), представляющего требуемую операцию над сигналом й(1). Это может быть линейная операция (сдвиг, однократные или много,кратные дифференцирование и интегрирование) или даже нелинейная.
Рассмотрим задачу оптимальной линейной фильтрации сигнала на фоне аддитивной помехи, которая формируется следующим образом. В качестве оценки сигнала принимается линейный функционал т '4 (0 = ) й (1, 1 — и) х (1 — и) с(и, (21.80) о т. е. значение процесса на выходе линейного фильтра с импульсной характеристикой гг(г, т), когда на вход действует наблюдаемая реализация смеси сигнала с помехой. Необходимо в классе этих линейных фильтров определить фильтр, оптимальный по критерию минимума среднего квадрата ошибки оценивания т! и оз (1) = гп(п т, (е' (1)), (21.81) ь ' ь .598 где *и,(Р٠— 2 ]'й(1, т)и,(х(т)$(1))дт+ — ю Ю 00 + ]' ]'й(1, и) й(1; о) т,(х(и)х(о)) Них или оз(1)=-ВЕ(1, 1) — 2 ) й(1, т)В1(т, 1)бг+ — ОФ + ]' )й(1, и)й(1, о)В„(и, о)НшЬ, (21,84) так как т1(х(и)х(о)) =В„(и, о) =Вз (и, о)+Вч(и, о), т~(х(т) $(1)) =В 1(ч, 1)=В1(т, 1).
(21.85а) (2!.856) 599 а (1) =$ (1) -$ (1). (21.82) Так как по предположению сигнал и помеха — центрированные случайные процессы, то средний квадрат ошибки совпадает с ее дисперсией. Поэтому критерий (21.81) будем называть критерием минимума дисперсии ошибки. Далее будет показано, что для определения импульсной характеристики й*(1, т) такого оптимального фильтра достаточно располагать указанными априорными данными о сигнале и помехе.
Рассматривается наиболее распространенная ситуация, когда сигнал и помеха некоррелированы, хотя без существенных усложнений решения задачи это предположение можно опустить, если априори заданы взаимные корреляционные функции сигнала и помехи (см., например, 160]). Достаточно полное изложение теории оптимальных линейных дискретно-аналоговых и аналоговых алгоритмов фильтрации, интерполяции и экстраполяции стохастических сигналов дано в 162]. Первыми основополагающими работамн в области теории оптимальной линейной фильтрации были работы А. Н. Колмогорова 163] и Н.
Винера 164]. 21.3.2. Импульсная характеристика оптимального фильтра. Предположим сначала, что реализация х(т) аддитивной смеси сигнала и помехи определена для всех действительных значений т. Тогда линейную оценку сигнала можно представить в виде $ (1) = ]'й (г, т) х (т) д т. (21.83) ~о Дисперсия ошибки оценивания Из (21.84) следует, что дисперсия линейной оценки зависит толь.ко от корреляционных функций сигнала и помехи и не зависит от распределения вероятностей этих случайных процессов. Обозначим через 6*(Й т) импульсную характеристику оптимального по критерию (2!.81) линейного фильтра. Покажем, что функция 6*(1, т) должна удовлетворять интегральному уравнению ОО Вз(т, ()= ~6*(Й у)В„(т, у)(]у или с учетом (21.85а) Вз(т, 1)= ]6~(г, у)[Вз(т, у)-[-Вч(т, у)](]у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
