Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 108
Текст из файла (страница 108)
589 (21.41а) Для белого гауссовского шума $'(1) =з(1)/Мю и из (21.36) сле- дует г 1 т и„, = )' з (1) х (1) г(1 / )' зх (1) Й. (21. 41) о о В этом случае отношение дисперсии оценки к квадрату оцени- ваемой амплитуды сигнала т р, (а„~)(а' = Ф ах )" У (1) й = Ц)Е, о т. е. равно отношению спектральной плотности белого шума к энергии сигнала на интервале наблюдения. 21.1.6. Реализация оптимального аналогового алгоритма оце- нивания амплитуды сигнала. Для реализации оптимального ана- логового алгоритма оценивания амплитуды сигнала на фоне ад- дитивной гауссовской помехи необходимо вычислить нормирован- ный корреляционный интеграл (21.36). Эту операцию можно осу- ществить при помощи аналогового коррелометра или физически реализуемого линейного фильтра с импульсной характеристикой (см.
п. 15.3.2) 1'(Т вЂ” т)/зг, 0(т(Т, О, т(0, т)Т. Эта импульсная характеристика зависит от нормированного сиг- нала з(1) и корреляционной функции В(1, и) помехи, которые оп- ределяют решение У(1) интегрального уравнения (21.38). Сравнивая (21.42) и (15.95), обнаруживаем аналогию опти- мальных устройств обнаружения детерминированного сигнала и оценки его амплитуды на фоне гауссовской помехи. Это сравне- ние показывает, что оптимальная оценка амплитуды получается в конце наблюдения на выходе фильтра, используемого в обнару- жителе, если только импульсная характеристика фильтра норми- руется величиной зг (или умножается на дисперсию оценки).
За- метим, что значение зт)0 совпадает с параметром г('т рабочей характеристики обнаружения 1см. (15.90) 1. Подобная аналогия в структурах обнаружителя и устройства оценивания имеет место при использовании дискретно-аналоговых алгоритмов (см. задачу 21.2). При оценке амплитуды сигнала на фоне аддитивного белого гауссовского шума ~ г з(Т вЂ” т)( ('зх(1)гИ, 0(т(Т, о(т)=..1 ' о (21.43) О, т(0, т) Т.
В атом случае оптимальная оценка амплитуды получается на вы- ходе согласованного фильтра (см. и. 15.3.4), импульсная характег ристика которого нормируется интегралом ) з'(1) Ж. о 590 21.1.7. Лниейн оценка с минимальной дисперсией. Хотя (21.36) представ- ляет оценку макси льиого правдоподобия амплитуды сигнала в том случае, когда помеха — аддитарная, гауссовская, эта оценка сохраняет некоторые важ- ные свойства и дли йегауссовских помех. Ясно, что эта оценка всегда несме- щенная. Кроме того, можцо покаэать, что в классе линейных оценок оиа име- ет минимальную дисперсию.!, Пусть оценка амплитудй~ т й= » а(!)и(!)б! (2 !.44) о при условии несмещенности т !7(!)э(!)')1= ! [2 !.44 а) Тогда по аналогии с (21.396) т т р ( а»» ) й(!) 2(и) В(г, и) сИи.
о о Найдем нижнюю граинцу значений дисперсии для всевозможных' функций л(!) при соблгодении условия (21.44а), которое с учетом (21.38) можно переписать в виде (2! .45) т т а(!) У(и) В(г, и)бг!(и=!. о о Воспользовавшись неравенством Буняковского-Шварца, получим , т г з 1= ~ )г )г й(!) У(и) В(1, и) г(!Ви) О О т т т т у(!) у(и) В(1, и) !Ыи ) ) й(!) 8(и) В(1, и) !Г!би, О О о о откуда следует, что (см. (21.45)) т т — ! т — ! рэ(а) ~ ()г )г У(1) У (и) В(С, и) !(Ыи) = (»г У(!)э(!)Ю1 О О о 1 нлн (см (21.375)» ре(й)~э !т. (2!.4б) ' Предполагается, конечно, что класс функций л(!) ограничен не только уе. понием (21.44а), но и требованием ограниченности рэ(й), т.
е. сходимости в среднеквадратическом стохастического интеграла (21.44). 591 Таким образом, нижняя граница дисперсий линейных оценок амплитуды сигнала на фоне произвольной аддитнвной центрированной помехи с корреляционной функцией В(й и) достигается при л(!) =Ь(!), где й(!) — импульснаи характеристика фильтра, определенная согласно (21.42).
При негауссовой помехе дисперсию оценки можно уменьшить, используя нелинейный алгоритм оценивании. Прн гауссовой помехе линейная оценка й„, обладает минимально возможной дисперсией, которую уже невозможно уменьшить, применяя нелинейный алгоритм обработки наблюдаемой реализации л(р). приведенные выше резульззты справедливы при т т ( у(1)р()в(~, )ай о, (21.47) о о т е. когда корреляционная функция положительна определена.
Это условие, кзк отмечалось в гл. 1б, соответствует регулярному случаю. Если же зг=о, то имеет место сингулярный случай. Наличие аддитивного белого шума является достаточным для выполнения условия (21.47), так как при В(й и)= =В,(П и)+Лlаб(1 — и) и т т зт = )г )г У(1) (г(и) Вз(1, и) йЫи+ Фа )г (гз(1) Ш > О, (21.47а) о о о потому что первое слагаемое в (21.47а) неотрицательное, а второе — положительное, Следовательно, наличие аддитивного белого шума исключает сингулярный алгоритм оценивания. (21.51а) (21.52а) 21.1.8.
Оценки амплитуды н фазы гармонического сигнала. Проиллюстрируем общие результаты п. 21.1.3 еще на одном примере„в котором сигнал з(1; 47) — гармонический с известной частотой юо и неизвестными амплитудой а и фазой ~р: з((~ чгь 02) =Ясов(эе( ф) = =а соз ~р соз шо(+а яптряп во( (21.48) и, следовательно, (см. (21.15)1 д, = а соз ~р, де= а яп <р, (21.49а) з|(1) =сов ше(, зз (1) =яп во(. (21.496) Выпишем элементы вектора хт и матрицы зт (см. (21.21а и б)]: т т хг,=) Ъ',(1)х(1)г(( хтз= ) )е(1)х(1)с(1, (21.50) о о т т зтн ) (гт (1) созыв(г(1 зтгз зс 1 з (1) з(пма (~(1 о е т т зтш = ) (гз(1) созшо(г(1' зтяв =,)' )в(1) зтпо)е(г(1, (21.516) о О где Ъ',(1) и рз(1) — решения интегральных уравнений т 1" В (1, и) 1', (и) с(и = соз ша (, 0 (1 ~< Т, о т )' В(1, и))~з(и)с(и=-з(пш (, 0(((Т, (21.526) о В(1, и) — корреляционная функция аддитивной гауссовской помехи. Б92 ПодставляяЦ21.50), (21.51) в (21,23) и решая систему двух линейных относительно д) и дг уравнений, получаем оценки максимального б ов: (() бмп (21.53а) а т т 1' 'т'(и, и) х(п сова)ам(йи(а бпм "(г) а а (21.536) т т )т и (и, и) тога)а ив(п (ааааа ма а а где \/(и, о) = 1')(и) т'г(о) †(т((о) )тг(и).
(21.54) Для белого гауссовского шума с интенсивностью Уа из (21.52а и б) следует 4Г( (() =Ма )сов о)ат, 1"г (1) = п(а (з(п а)ат (21.55) и 'т'(и, о) =Л(а )(сов а)а и яп а)а о — сов о)а ояп а)а и|. (21.56) Подставляя (21.56) в (21.53а, б) и полагая а)аТ=2пИ, где й— целое число, находим после простых вычислений Ь(*„) = — )' х(и)сова)аи((и, (21.56а) 7' а Ь(„.г) = — ~' х(и)яп о)а и((и. (21.566) т а Оценки (21.56а и б) некоррелированы (так как для белого шума вт„=втм=О), а следовательно, и независимы, в силу того, что распределение каждой нз этих статистик нормальное. Дисперсии указанных оценок одинаковы: (г, (бс',)) = (г,(6(;) 1 = М,/(2Т).
(21.57) Средние значения этих несмещенных оценок т,(ЬЙ ) =-асов(р, л)) (бй) =-ав1п(р, (21.58) Оценки максимального правдоподобия (21.56а и б) можно использовать для получения оценок амплитуды и фазы сигнала на фоне аддитивного белого гауссовского шума: и=ПЬю Г+Ф('.) )Т' = т ) т ~г 'г), ) т ~г1()г ~ — )" х(() сова)а(((() + ~ — )' х(1) япа)а(Й~ а т а (21.59) ( т (р агс1я (Ь(Д /Ь('„) ) = ) х (() яп а)„( сЦ ( ) х (1) сова, ((((. а а (21.60) 593 (21.616)' где тР (и/2, и+ 1, с(тг)2) г(а ни! 2л/3 (21.63а) Распределение оценки гр асимптотически нормальное при г(т-ьоо со средним у и дисперсией (см.
п. 3.2.5) )ьт(~р) 2!грт=)то((атТ). 21.2. ВАЙЕСОВСКИЕ АЛГОРИТМЫ ОЦЕНИВАНИИ СЛУЧАЙНОЙ АМПЛИТУДЫ КВАЗИДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ АДДИТИВНОН ГАУССОВСКОИ ПОМЕХИ 21.2Л. Постановка задачи н общее рещение. Предположим, что на интервале (О, Т) наблюдается реализация х(!) случайного процесса, представляющего смесь случайной помехи с квазндетерминнрованным сигналом яз(Г), амплн- б94 Можно доказать (см., например, [601, гл.
6.1.2),,что для белого шума оценки (21.59) и (21.60) являются оценками максимального правдоподобия амплитуды и фазы сигнала (21.49). Используя результаты, приведенные в пг 3.2.3, находим, что оценка (21.59) амплитуды распределена по обобщенному закону Рзлея со средним " "' — ')'+((" — "')'( — ")" + — 1, — ехр (21.61а) и дисперсией )ьт(а) = аз(! +2/г(зт) †ит(а), где г)зт= (2Т))т'о) а'. (21.61в) Из (21.61а) видно, что оценка (21.59) амплитуды смещенная. Но при г(ат-ь.оо эта оценка аснмптотически несмещенная, так кае при гРт))1 ги1(б) ~а[1+(2Й(зт),). (21.62а) Если грхт)) 1, то из (21.61б) и (21.62а) следует также (хт(б) 2аЧгРт=)!То(Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
