Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Рис. а2. Характеристика амплитудного квантователк (8.38) 223 или и — ! Я (х) = а! + 2', (аа+! — ал) и (х — га), (8.37а) а=! где и(у) — функция единичного скачка. Таким образом, закон амплитудного квантования определяется двумя векторами: вектором уравнений а=(а!, ..., ам) и вектором граничных точек интервалов квантования х= ( †=за, г!, ... ..., ам †!, хм †вЂ). Если шаг квантования б=аа+! †постоянный, то квантование называют равномерным. Механизм квантования сигнала в АЦП сводится к тому, что вместо данного мгновенного значения сигнала формируется зна- чение ближайшего дискретного уровня, Квантование сигналов по уровням позволяет эффективно подавлять помехи, если только среднеквадратическое значение помех мало по сравнению с раз- ностью между дискретными уровнями.
Квантование приводит к искажениям сигнала, которые называют шумами квантования. Квантование сигналов по уровням лежит в основе всех систем с импульсно. кодовой модуляцией (ИК!М). При равномерном квантовании шум квантования, т. е. разность между исходным и квантоваиным сигналами, ~можно рассматри- вать как результат преобразования исходного сигнала в нелиней- ном элементе с пилообразной характеристикой, изображенной на рис. 8.3: 1(х) =х — тб, (т — 1/2)б(х((т+1/2)б, т=О, +.1, ~2, ..., где б — разность между последовательными дискретными уров- нями.
Функцию 1(х) как периодическую с периодом б можно разло- жить в ряд Фурье: О 7 (х) = —, 2; ( — 1)" ' — з1п ~ — ). (8.39) г! и=! и; 6 Рис. В.З. Пилообразизи характеристика г х/ 8.3.2. Корреляционная функция шумов квантования. При рав- номерном квантовании, используя (8,39), можно представить кор- рсляпионную функцию шумов квантования г(1) в виде б '' В,(1„1а) =~ — ~ У.
У; ( — 1)"+' — ( (Х »=1 1=1 »» » Хз1п — з1п ( ыа(х1, хз, 1а, (е) 1(х16Ье, (2л лх, '1 . / 2лаха 1 (8. 40) где ш,(х1, хм гь гт) — двУмеРнаЯ плотность веРоЯтности исходного ьвантуемого сигнала. Интеграл в (8.40) выражается через двумерную характеристи- ческую функцию Оа(п1, о,, 1„1,) сигнала ) з1п ( — ) и!и ( ) п1з (х1 хз 11, ге) с(х1 1(ха ! 2лл 2ла ' / 2л» ай + 6е ( — ', — —, 11, (а) — От ( —, — 11 (г~~ (8,41) Подставляя (8.41) в (8.40), получаем ВС(Гп (е) = — ) 2' ' 2'.
' ( — 1)" ' — Х 1, 2л ».— — — ю а=в »» хй,~ — ', —, („г), ! 2»л 2ла (8,42) где штрих означает, что из суммы исключен член при п=й=0. Формула (8,42) — общее выражение корреляционной функции шумов квантования при произвольном распределении вероятно- стей квантуемого сигнала. 8.3.3. Взаимная корреляционная функция шумов квантования и квантуемого сигнала. Используя (8.39), нетрудно также полу- чить выражение для взаимной корреляционной функции шумов квантования и квантуемого сигнала $(1).
В соответствии с опреде- лением взаимной корреляционной функции 81»(1,. (е)= гп, Я(1,)1((а)) = ) хт ~(хз) ша (х„х,, 1„1,) 1(хт с(ха = 224 = — ~ ( — 1) ' — ~ ~хтззп ' ) сов(х„х„Е„Ез) е(х е(хз, ла1й(,6 (8.438 Интеграл в (8.43) выразим через производную от двумерной характеристической функции квантуемого сигнала: Е 2лйхз ] Хх 81П ) цзз (Хз, Хт, (1, Ез) с(хх с(хз —— 6 ЮО СЮ 1 Г д Е 2лй 2 1 да 6 Подставляя (8.44) в (8.43), получаем и ( 1)Ь Вйй(Е„Е,) = — У', ' х 2л1, й Х [ — ел,(Еи, , Еы Ез)~ (8.44) (8.45) 8.4. ЗАДАЧИ 8.!.
Показать, что взаимная корреляпионная функция процессов Ч~(Е) =еп[я~(Е)] и Чз(Е) =Жнз(Е)] Вч ч (Ех, Ез) т' спт (Ет) спз (Ез) ап (Ет Ез) =о где сп,(Е,)= ]Ет(х,)Я„~(х,, Е~)е(х,, (2) спз (Ез) = ] Ез (хз) ф„з (х„гз) е(хз, пп (8) ] (хд — ап) юй (хы хз, т) дхт — — (хз — ай) ЕЕй (т) еаь (хз) . (5) Показать, что взаимная корреляционная функция центрированного процесса п(Е) и процесса на выходе нелинейной неинерционной системы Ч(Е) =Г(й(Е)], когда на входе действует $(Е), Вьч (т) = с)78 (т), 8 — 87 (8) 225 ап(ЕЕ, Е,) = ] ] шй и (х1 хю Ет Ез) Опт (хт Ех) Еспз(хз Ез) дххдхз (4)' Ес ~(хь Е~), ЕЕпг(хг, Ез) — семейство ортогональных полиномов для весовых функций шпп (хь Е~) и ша (хь Ег) соответственно (условие (8.8а) сохраняется).
8.2. Пусть двумерное распределение случайного процесса с(г) удовлетворяет соотношению где с = ) (х — ай) г'(х) юй (х) о(х. Обратить внимание, что для симметричного распределения (с нулевым средним) и симметричной характеристики нелинейности процессы $(Г) в Ч(1) на входе и на выходе системы некоррелированы. Убедиться, что гауссовский случайный процесс удовлетворяет условию (5). 8.3.
Обозначим через Во(т) и Во(т) корреляционные функции процессов на выходах одно- и двуполупериодного линейных детекторов, когда на их входах действует процесс $(1), удовлетворяющий условию (5). Доказать, что Во(т) =4Во(т) — (1+2с) Вй(т), (8) где оо с= ) (х) (х — ай) юй(х) пх. Рассмотреть случай симметричного распределения $(Г) и убедиться, что в Этом частном случае Во(т) =4Во(т) — В о (т) 8.4.
Показать, что одномерная ходе симметричного ограничителя с (10) плотность вероятности процесса Ь(1) на выхарактеристикой (11) 1(х) =а8п (х — ко) имеет следующий вид: ьт (х) = 11 — Рй (хо)) 6 (х — 1) + Рй (хо) б (х+ 1), где Рй(х) — функция распределения процесса на входе. Убедиться, что среднее и дисперсия процесса на выходе ограничителя щт (( (гН = 1 — 2Рй (хо), Ра (Ь ((В = 4Р1 (хо) 11 — Рй (хо)) . (12) (13) (14) Глава 9 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ В СТАТИЧЕСКИХ (БЕЗИНЕРЦИОННЫХ) НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 9.1. АНАЛИЗ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРЯМЫМ МЕТОДОМ 9.1.1.
Общие соотношения. Ранее отмечалось, что задача анализа прохождения (косвенного описания) гауссовского случайного процесса через линейные системы сравнительно про- 226 1 шг(хг, хг, !г !г) 2ячг )' 1 — кг х '(к, — а,)г — 2)к (к, — а,) (кг — а,) + (к, — аг)' 2ог (1 — )!г) (9.1) где агг в (г!), г= 1; 2, В = Я (т), т= (г †!ь Подставляя (9.1) в (8.2) и заменяя переменные интегрирования (х~ — а„)/о=ив (хг — аг)/о=иг, получаем выражение для корреляционной функции случайного процесса на выходе нелинейной системы с характеристикой у=((х), если на входе его действует аддитивная смесь детерминированного и стационарного гауссовского процессов: В(1„!г) = ) ~~(ои,— а,)Г(оиг+ 2я )/1 — Яг и, — 2Яи, иг+ иг ! г г ! + а,) ехр ) к(и, с(иг. 2 (1 — )!г) (9.2) Для вычисления интеграла в (9.2) воспользуемся методом, указанным в и.
8.1.2. Так как одномерная плотность вероятности стандартного нормального распределения 1 кг ! шг (х) = = ехр ~ — — ), ~Г2л (9.3) то, принимая функцию (9.3) в качестве весовой, найдем, что соответствующей совокупностью ортогональных полиномов являются полиномы Эрмита Н„(х), п)0 (см. (2.83)!. Разложение дву- 8* 227 стая, так как процесс на,выходе сохраняет при этом нормальное распределение; изменению подвергаются лишь корреляционная функция и соответствующая ей спектральная плотность мощности. Все необходимые для расчетов формулы содержатся в гл.
7. Поэтому основной интерес представляет задача о нелинейных преобразованиях гауссовского случайного процесса. Ограничимся изучением, главным образом, корреляционной функции и спектральной плотности мощности процесса на выходе нелинейной статической системы. Для этого используем общие методы, указанные в гл. 8. Лишь в 5 9.4 рассмотрим несколько примеров определения функций распределения гауссовского процесса после нелинейного преобразования. Пусть на входе нелинейной статической системы действует случайный процесс, представляющий сумму детерминированного процесса з(1) и стационарного гауссовского случайного процесса $(!) с нулевым средним значением, дисперсией о' и нормированной корреляционной функцией Я(т). Двумерная плотность вероятности этого процесса (см.
п. 5.2.1) где с„(1) = — ) ! (о и+ а) Н„(и) ехр ( — — ) г(и, а = з (!). 1((9.5) )ггйп — ч Если детерминированное слагаемое обращается в нуль, то из (9.5) определяем корреляционную функцию процесса на выходе нелинейной системы, когда на вход ее действует центрированный стационарный гауссовский процесс В(т) = 2; сг (9.6) =о л! где с„= — )! (ои)Н„(и) е "'г~г(и.
(ггйп— (9.7) По теореме Хинчина — Винера, производя преобразование Фурье обеих частей равенства (9.6), получим спектральную плотность мощности процесса на выходе нелинейной системы сг о(оз) =4 Х вЂ”" ) И" (т) созе!то(т, (9.8) л=о л! о где )г(т) — нормированная корреляционная функция гауссовского процесса на входе системы. ' Выражение (9.3) можно без труда получить, если воспользоваться интегральным представлением двумерной нормальной плотности распределения при помощи двумерной характеристической функции. Разлагая в подынтегральном выражении в ряд экспоненциальный множитель, содержащий произведение переменных, можно выразить интеграл через полиномы Эрмита. 228 мерной плотности вероятности стандартного нормального распределения имеет следующий вид'.
! ~ л! — 2)! оз "а + пг ) г г) 2п ''о/! — 1!а ! 2 (! — Йг) ехр При сравнении (9.3) с (8.9) необходимо иметь в виду, что полиномы Эрмита нейормированы. Необходимо подставить Ял(х) =Н„(х)Д' и!. Заменяя экспоненциальную функцию под знаком интеграла (9.2) ее разложением в ряд (9.3), меняя порядок суммирования и интегрирования и, замечая, что при этом переменные интегрирования разделяются, находим !ср. с (8.11)1 В(1„1,) = Хс.(1,)с.(1.) 'й('), (9.4) „0" ' " ' л! Первый член в ряде (9.8) соответствует постоянной составляющей (дискретная часть спектра), а сумма остальных членов— непрерывной части спектра случайного процесса на выходе системы.
9.1.2. Корреляционная функция процесса на выходе нелинейной системы, когда процесс на входе узкополосный. Пусть спектр стационарного гауссовского процесса узкополосный, т. е. сосредоточен в относительно узкой полосе частот около высокой частоты о12, на котоРой спектРальнаЯ плотность максимальна и относительно которой спектр можно считать симметричным.
В соответствии с (4.103) нормированную корреляционную функцию такого узкополосного стационарного случайного процесса можно представить в виде Р (т) = «со (т) соз О«от, (9.9) где О Ио(т) = ) 5" (оо) сов«от«(го «)5л(оо) о(оо, (9.9а) 5*(ы) — спектр узкополосного процесса, смещенный в область низких частот. Подставляя (9.9) в (9.6), находим с 2 В (т) = Х вЂ” Ро (т) соз гоо т.
(9.10) л=о л! (2л') (2л) 1 22л 2л — 1( «) Ло~" ' (т) соя(2п: 2й — 1)о«от+ (2л — 1)) 22л ' ('.") Яо," (т) соз 2 (и — А) ооо т,. 12 )122л — 1 В(т) = 2; л=о + ~' л=1 «=О +Х Х =1 «=О (9.12) 229 Заменим степени косинусов в (9.10) суммой косинусов кратных дуг по известным формулам ««=о 1 ) л л — 1, 2л созол 'х=2 ~ол — '1 ~', ~ )соз(2п — 2й — 1)х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
