Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 36
Текст из файла (страница 36)
198 дель. Реальный шум ограниченной мощности можно рассматривать как реакцию формирующего фильтра на воздействие белого шума. Простейшей моделью такого шума служит ограниченный белый шум — стационарный в широком смысле случайный процесс с равномерной в полосе частот )хо) ~Ь спектральной плотностью мощности. Формирующим фильтром такого ограниченного белого шума служит идеальный фильтр нижних частот. Нормированная корреляционная функция ограниченного белого шума (см. (7.77)1 /7(т) =з!п(тб)/(тб) Для ортогонального разложения ограниченного белого шума иа конечном интервале (О, Т) необходимо использовать так называемые сферондальные функции, представляющие собственные функции интегрального уравнения т мп(1 )А р(г) =Х~ ""1~ "' р(д) (р, О<1<т. (7.82) 8 — п)А 7.3.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА НА ВЫХОДЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 7.3.1. Характеристика задачи. Как следует из результатов, приведенных в 3 7.1, 7.2, задача определения корреляционной функции,и спектральной плотности мощности процесса на выходе линейной системы является достаточно простой и не требует знания функций распределения входного процесса. Значительно сложнее определить функции распределения случайного процесса на выходе ли~нейной системы. Только в частном случае, когда процесс $(1) на входе линейной системы гауссовский, указанная задача решается просто. Случапный процесс т1(п) на выходе линейной системы с дискретным временем представляет предел при й1-«-ао (в среднеквадратическом) суммы Х Ь(п, й)4(л), а случайный процесс ь(1) на выходе линейной системы с непрерывным временем — предел в среднеквадратическом интегральной суммы у.
Ь(1, ть) $(ть) (т'»+~в — т'ь), т'»<ть<т'ь+ь прн щах(т'»+1 — т'ь(-«-О 1см. (7.1) и (7.38)). И в том и,в другом случаях входные случайные величины $(й), $(тд), й= — Л', 1«', представляют совокупности зависимых гауссовсиих случайных величин. Так как линейная комбинация произвольно зависимых гауссовских случайных величин также гауссовская случайная величина (см. п. 3.3.8), то распределенпя рассматриваемых сумм при любом М гауссовские (нормальные). Следовательно, распределение вероятностей случайного процесса на выходе линейной системы, когда на ее вход действует гауссовский случайный процесс, нормальное.
При этом преобразуются лишь корреляционные функции и спектральные плотности мощности в соответствии с приведенными ранее формулами. Заметим здесь, что «гауссовость» (нормальное распределение) белого шума устанавливается по нормальному распределению процесса на выходе линейной системы, когда на ее входе действует белый шум. Уже отмечалось, что типичным для радиотехнических устройств является анализ линейной системы, расположенной после нелинейного элемента.
Поэтому даже тогда, когда нелинейному преобразованию подвергается гауссовский случайный процесс, 199 процесс на входе последующей линейной системы уже не является гауссовским. Задача о преобразовании функций распределения в линейной динамической (инерционной) системе, когда на входе ее действует негауссовский случайный процесс, чрезвычайно трудна. Как было показано в п. 3.1.4, для определения одномерной плотности линейной комбинации и случайных величин (т.
е. пропесса иа выходе линейной системы с дискретным временем) необходимо вычислить п — 1-кратный интеграл. Еще более сложной является эта задача в случае линей~ной системы с непрерывным временем. Приемлемого для практического использования точного решения этой задачи до сих пор нет. ' Существует несколько приближенных методов решения, каждый из которых базируется на специальных предположениях вероятностных характеристик входного случайного процесса и свойств самой линейной системы.
В гл. 11 будет рассмотрена эта задача в предположении, что процесс на,входе линейной системы является квадратом гауссовского случайного процесса. Здесь гке рассмотрим общий приближенный метод, основанный на вычислении моментов процесса на выходе линейной системы. Ради упрощения изложения ограничимся приближенным определением одномерной функции распределения стационарного процесса на выходе линейной системы с постоянными параметрами. Обобщение на многомерные функции и нестациопарные процессы не встречает принципиальных трудностей, хотя сложность вычислений может оказаться непреодолимой. Приближенный метод решения рассматриваемой задачи с использованием модели так называемых линейных случайных процессов предложен в 1161.
7.3.2. Связь моментов процесса на выходе линейной системы с моментиыми функциями процесса на входе. Из (6.14) и (6.28) находим соотношения, связывающие моменты процесса на выходе линейной системы с постоянными параметрами с моментными функциями входного стационарного случайного процесса и имцульсной характеристикой системы. Для линейной системы с дискретным временем Ю тьч=т (11" (а))=т, ~ 2, '2; й(г,)...
! Г,= — 1ь —— ~э ...й(гх)~(п — г,)...$(п — гь), й= 1, 2, 3,... (7.83) Обозначая через тьь (гь ..., гд) =т,($(п — г,) „.$(п — гь)) моментную функцию входной последовательности, получим .из (7.83) ть„= 2', ... ~ й(г,)...Ь(г„)т,1(го...,г„),й=!,2,3,..., (7.84) Г,= — а /~ — —— т. е. для определения й-мерной моментной функции выходной по- 200 следовательности необходимо знать й-мерную функцию распределения входной последовательности. Для линейной системы с непрерывным временем глдс=т,(ьд(1))=т, ~ ) ...
)й(и,)...й(ид)х О 00 х$(1 — и,)...$(Š— ид) би, ...г(ид~, й= 1, 2, 3... (7.85) Обозначая через тдд (иь . ид) =пд,(9(1 — и,) ... 9(1 — ид)) моментную функцию входного случайного процесса, получаем из (7.'85) тдс= )" ... ~й(и)...й(ид)тд1(и„..., ид)би,...амид, й=-1, 2, 3,... (7.86) 201 Как и для системы с дискретным временем, для определения величины гидс необходимо знать й-мерную функцию распределения входного случайного процесса. Заметим, что при й=1 и й=2 формулы (7.84) и (7.86), как и следовало ожидать, соответствуют формулам (7.7), (7.9), (7.45а, б).
7.3.3. Аппроксимация одномерного распределения вероятностей процесса на выходе линейной системы рядами по ортогональным полиномам. Используя ограниченное число моментов процесса на выходе линейной системы, определенных по формулам п.7.3.2, можно получить с допустимой погрешностью приближенное представление об одномерном распределении вероятностей указанного процесса на основе ортогонального разложения его плотности вероятности (см. $2.5).
Как и в п. 2.5.2, будем предполагать, что рассматривается аппроксимация,плотности центрированного процесса после того, как вычислены средние значения и дисперсии процесса на выходе линейной системы. Из (2.87), перегруппнровывая члены ряда для усиления его сходимости и используя связи моментов с кумулянтами (см. п. 3.3.2), получаем аппроксимацию искомой плотности вероятностей в форме ряда Эджворта: иь (х) =- ехр ~ — — ) ~! + — "' Н, (х) + 10 хэ + — 'Н,(х)+ ' Н,(х)+ — 'Н,(х)+ 4! 61 5! + — ~ ~ Н,(х)+ — Нд(х)+ ". Зчх х 2аох~э (7.87) 7! 9! где хд=й — коэффициент асимметрии, х4=т — коэффициент эксцесса. щд (Ч (1 — ид).,Ч (1 — нэ)) = й — четное, 7.88) й — нечетное, иии при и,>и,» ... ид>О дпд(Ч(1 — и,) Ц(1 — ид)) =тда(ид,,, ид,) = д+д ехр — 2Л ~, '( — 1) ид, Гд — четное, д=д (,0 (7.89) й — нечетное где Л вЂ” среднее число перемен знаков телеграфного сигнала в единицу времени.
Из (7.86) и (7.89] следует прежде всего, что плотность вероятности процесса на выходе любой линейной системы, хогда на ее вход поступает телеграфный сигнал, симметрична всегда, так как та6 — — 0 прн й — нечетном, т. е. моменты нечетного порядка этого распределения обращаются в нуль. Импульсная характеристика )гС-интегратора (7.90) Д(и) =аехр( — аи), и>0, а=1/(йС). (7.86), получаем для Гг четного а а а Х ид — 2Л 2,' ( — 1)"+' ид Х 1 д д 1 Подставляя (?.89) и (7.90) в и, иа 'Н11„,1 о о о (7.9!) Хд(иа д(иа ~„,д(и . Из (7.91) прн 3=2 находим дисперсию процесса на выходе интегратора 1 1+2Л(а (7.92» 202 Аналогично нз (2.92) н (2.95) можно получить аппроксимацию рядами по полиномам Ляггера и Чебышева. Иногда для аппроксимации используют систему плотностей Пирсона, параметры которой полностью определяются кумулянтами первых четырех порядков (см., например, (6)).
7.3.4. Интегрирование телеграфного сигнала. Проиллюстрируем укаэанный метод определения распределения на ныходе линейной системы на примере случайного стационарного в щироком смысле телеграфного сигнала (см. задачу 6.6), который состоит нз прямоугольных посылок случайной длительности, принимающих два значения: Й и — Й (далее полагаем а=1, что несущественно). Пусть,случайный телеграфный сигнал й(1) поступает на вход ЯСчднтеграторв (см. п.7.2.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
