Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Процесс ~(1) на выходе произвольной линейной системы с импульсной хара~ктеристикой Ь(т), когда на ее выходе действует процесс 9(1), можно рассматривать как реакцию на входной белый шум т(г) линейной системы, представляю1цей последовательное соединение формирующего фильтра и данной линейной системы (рис. 7.1,а): О~ С ь(Г) = ) Ь(à — т) $(т) Пт= 1 1 Ь (1 — т) Ь1(т — и) т(и) пи г(т (7.59) 191 а) Рис. 7.Ь Последовательное соединение формирующего фильтра с линейной си- стемой (а) и эквивалентная линейная система (б) Л', Вс(т) = — 'сова,т )Ь,(о)Ь,(о+т) бо = Л'о = — д,(т) сова,т. 2 (7.62) 192 или как реакцию на воздействие белого шума т(1) линейной системы с импульсной характеристикой (рис.
7.1,б): д(1) = )Ь(1 — и) Ьй(и) с(и. (7.60) 0 Вместо решения и~нтегрального уравнения (7.58) для определения импульсной характеристики формирующего фильтра можно сначала найти передаточную функцию Ьй ((в) этого фильтра из ура|внения ,'Ай((в) Ьа( — 1в) =5а(в), (7.61) где 51 (в) — спектральная плотность мощности формируемого процесса. Эта задача сводится к факторизации функции 52 (в), т.
е. к разложению ее на два сомножителя 51(в) =51+(в)52 (го), которые содержат все полюсы в верхней и в нижней полуплоскостях соответственно, причем Й(1в) =51+(а) (см., например, [161). Стационарный в широком смысле процесс с рациональной спектральной плотностью мощности может воспроизводиться физически реализуемым формирующим фильтром (рнс.
7.2), структура которого определяется дифференциальным уравнением (637), где 5,=0, т)1 и х(1) — белый шум. 7.2.5. Воздействие белого шума на узкополосную линейную систему. Предположим, что белый шум действует на вход узкополосной системы с симметричной относительно центральной частоты в, частотной характеристикой. В этом случае корреляционную функцию Вг (т) процесса ь(1) на выходе линейной системы в соответствии с (6.35) и (7.55) можно представить в виде ЛГа Вс(т) = — ' )Ь,(о)Ь,(о+т) [сова,с+сов(2воо+аат)]г(о, 2 Ю и так как Ь,(о) — функция, медленно изменяющаяся по сравнению с сов вот, то интегралом ) Ь,(о) Ь,(и+т) сов (2а,о+ в,т) с(о можно пренебречь, т.
е. 00 Рис. 7гй Структурная схема формирующего фильтра Так как свертка импульсных характеристик равна преобразованию Фурье от квадрата частотной характеристики, то, как видно из (7.62), О Вс (т) = — '' созв,т ) Св,(й) сов йт г(й, (7.63) Л о где Со(й) =С(й+во), й=го — во. Из (7.62) и (7.63) следует, что на выходе узкополосной линейной системы, когда на ее вход действует белый шум, имеет место узкополосный случайный процесс. Условиями непрерывности и дифференцируемости в среднеквадратическом являются соответственно ~Со(й)г(й(со, ~йаСо(й)с(й(оо, о о В этом случае отношение средней мощности производной ь'(() к средней мощности процесса Ь(() [ср.
(7.57)1 в', = в'+ ) й' Со (й) г(й / ) Со (й) г( й. (7.64) 7.2.6. Интегрирующая цепь. Передаточная функция этой цепи (при й(0) =1) ' /г ((в) = 1/(1+ (в)7С), а квадрат частотной характеристики С'(в) =1/(1+ (в/а) в), а=1/()хС). Ширина полосы пропускания в соответствии с (6.34) Ь,= ) " = ап/2. о ( + (ы/а)' ' Так как в атом случае Ь(и) =а ехр( — аи), и)0, то для того, чтобы процесс «пнтегрировался» рассматриваемой схемой, интервал корреляции процесса пелагеи быть много меньше постоянной времени схемы, т. е. то КИС. т — 87 193 б 1 Р Лат ' -к -1 Р 1 2 о44н и/ бу Рис.
7.З. Нормированная корреляционная функция (а) и спектральная плотность мощности (б) процесса на выходе интегратора Спектральная плотность мощности, корреляционная функция и нормированная корреляционная функция процесса на выходе интегрирующей схемы, когда на вход действует белый шум (рис. 7.3), согласно (7.56) и (7.55) определяются следующими выражениями: 2Лга (7.65) 1+ (в/а)а В ( ) Ло г соавт (в Лаа (7.66) о 1 + (в/")а /7с(т) = ехр( — а(т(). Интервал корреляциями схемы (7.67) процесса иа выходе интегрирующей й((в) = 1+ — — — '1 ва ва / а / 194 1 м то — — ) ехр( — ат) с(т = — = —. о а лат Хотя, процесс на выходе схемы в этом случае непрерывен в среднеквадратическом, ои не дифференцируем (см. п.
4.5.4). Действительно, средняя мощность процесса на выходе Вт (0) = =Л/оа/2 =Л/оЛс/ат конечна, а интеграл о 1+ (в/а)' ) в' Я~ (в) г(в = 2Л/а ) сЬ расходится (производная корреляционной функции терпит разрыв при т=О). Заметим, что зависимости корреляционной функции и спектральной плотности не отличаются по виду от соответствующих зависимостей на рис.
5.4 и 5.5. Если белый шум нормальный, то процесс на выходе интегрирующей цепочки нормальный марковский. 7.2.7. Одиночный колебательный контур. Передаточная функция одиночного контура, образованного последовательным соединением катушки индуктивности /., конденсатора С и резистора с сопротивлением /с, где ва=(/3~ ХС вЂ” резонансная частота и с(=Я)т' С/ — затухание — величина, обратная добротности Я контура. Квадрат частотной характеристики контура ( ) 2 + (~/ а) Используя (6.34), находим ширину полосы пропускання Лс — — теотое(/2=2еото/(2(4) =яр, ((=кооеа/2=те/(2/ ) При большой добротности Я частотная характеристика имеет резко выраженную область резонанса в окрестности ота. Тогда контур узкополосный и для него Са(й) = ((2()/ото) + 6 ) = () еа ота.
Спектральная плотность мощности процесса на выходе такого контура, когда на входе действует белый шум (рис. 7.4,б), Зс (ат) = Л'о оуо/З (7. 68) (ео ота) +(у а корреляционная функция в соответствии с (7.63) (рис. 7.4,а) 2 Вс(т) = а ехр( — р (т() созовет, 4В (7.69) ЯС'(т) = ехр ( — )у(т)) соз оуот. (7.70) Процесс на выходе узкополосного колебательного контура узкополосный, он непрерывен в среднеквздратическом, но не днфференц|ируем, так как Вс (О) =Л(ааааа~/(4р) = Щ, а интеграл и' — Ю расходится.
Интервал корреляции процесса то=!/(1. И +ро 7.2.8. ййногокаскадный резонансный усилитель. Известно, что форма частотной характеристики многокаскадного усилителя с увеличением числа каскадов приближается (при некоторых ус- гс (г) 7., ( Рис. 74. Нормированная корреляц«онвая функция (а) и спектральная и|~к ос.ь мощности (б) процесса не вылова колебательного контура 7о 'чз (7.72а) ловиях) к гауссовской кривой: С(ог) =ехр1 — (ог — соо)г/2рг), поло- са которой связана с параметром р соотношением Л,=(1 'у' л. По- добная частотная характеристика является идеализацией, так как линейная система с такой характеристикой физически неосушест- вима. Спектральная плотность мощности на выходе такой системы, когда на вход действует белый шум, представляется гауссовской кривой Вс (ог) = 2Уо ехР ( — (ог — ого)г1Я.
(7.71) Заметим, что и спектр (7.71) не является, строго говоря, спек- тром стационарного случайного процесса, так как 5С(ог) не чет- ная функция огноснгельь начала координат. Для того чтобы спектр был симметричен относительно частоты ог=О, необходимо задать квадрат частотной характеристики в виде суммы ехр( — (ог — ого)'дарг)+ехр( — (а+ого)г(бг). Однако при ого»6, т, е.
для узкополосного усилителя, влияние второго слагаемого незна- чительно. В соответствии с (7.63) корреляционная функция н нормиро- ванная корреляционная функция процесса на выходе узкополос- ного усилителя Вс(т) = ' ехр( — ) совьют, ооВ ~ Р~т (7,72) Ря (, 4 Нгтг 4 тес(т) = ехо ~ — 1 соз юо т' 4 Процесс на выходе узкополосного многокаскадного усилителя, когда на его вход действует белый шум, — узкополосный.
Он не только непрерывен, но и дифференцнруем в среднеквадратичес- ком (любое число раз), так как конечны средние мощности про- цесса и его производных. Из (7.72) получаем Вс(О) =М РЛ~гт= й7~7з.lя. а из (7.57) находим огг=огг+ гоггехр( — — ~ Ног Г ехр1 — — ) де= зс г , г+ — огг ( о ~ о Интервал корреляции процесса (7.73) 7.2.9. Идеальный фильтр. Уравнение частотной характеристи- ки идеального фильтра имеет вид ого~ ~ ~ЛсФ ( О, (со — ого~ ) б,/2. Прн Лс«соо фильтр — узкополосная линейная система Прямоугольная частотная характеристика линейной системы, как и характеристика, имеющая форму гауссовской кривой, представляет собой математическую ~идеализацию, не осуществимую физически.
Однако частотные характеристики некоторых реальных фильтров с сосредоточенными, параметрами достаточно близки к прямоугольной. Спектральная плотность мощности, корреляционная функция и нормированная корреляционная функция процесса на выходе идеального фильтра, когда на вход действует белый шум (рнс.
7.5): (7.75) где Лс/О о+ 2 ( о( о+ с (7.76а) Интервал корреляции процесса то = пИс. Штриховая кривая на рис. 7.5,б соответствует низкочастотному фильтру (соо=б). Корреляционная функция в этом случае имеет вид (7.77) 7.2.10. Ограниченный по спектру белый шум. Так как реальные процессы (снгналы, помехи, шумы) имеют конечную мощность, то белый шум представляет лишь идеализированную мо- ют »2 (7.74) (О, (со — со ( с.!2 В~(т) = — з1п — сова,т, 2Мо . «Лс пт 2 (7.75а) (»Лс/21 Заметим, что выражение (7.75) такого же вида, как и (7.63), т.
е. представляет, произведение медленно меняющейся функции Мп (»Л (2) на «высокочастотное заполнение» соз сост, хотя оно «Лс!2 справедливо для любых соо и Л„а не только для узкополосных фильтров, Однако указанная особенность имеет место лишь для прямоугольной частотной характеристики. Рассматриваемый процесс на выходе идеального фильтра диф- ференцируем в среднеквадратическом (любое число раз). Сред- ние мощности процесса и его производной определяются по фор- мулам Вс (О) = Л'о Л«1п, Вс (О) = соо1 Вс (О), (7.76) -йб 17 Дб с~-отп и Рис. 7.5. Спектральная плотность мощности (а) и нор. мироианная корреляционная функция (б) процесса на ныходе идеального фильтра обращается в нуль в точках т=лп/Л, п==Ь1, ~2, ...
Таким образом, два значения ограниченного белого шума, разделенные интервалом времени лн/Л, некоррелированы. Для гауссовского белого шума эти значения независимы. Функции (7.78) соответствуют собственные функции и собственные числа ып ()Ь вЂ” л л) )Ь вЂ” лл оо (1( оо, Хл = —.
(7.79) Ме Некоррелированными координатами ограниченного белого шума 5(1) являются случайные величины (см. п. 4.5.6) а его орюгональное разложение на всей оси времени $(г) = у — Х 5ь л)уе„„' )Ь-ал (7.81) представляет ряд Котельникова (см. (4.169)), в котором величи- ны $д определяются по формуле (7.80).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
