Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 38
Текст из файла (страница 38)
4лО х Ва Д вЂ” и, 1, — о) ехр [1 (а, и+ в, о)] ба, )(а, )(и )(о. (7.110) Если процесс на входе стационарный в широком смысле, то Вз (1 — и, 1 — о) = ВО (т+ и — о), т = 1 — 1„ (7.111) н тогда из (7!ИО), изменяя порядок интегрирования, находим, что внутренний интеграл по и и о можно выразить через опектральную плотность мощности 54 (а) .процесса на входе следующим образом (см.
также Приложение 1): 0 00 — ) В1 (т + и — о) ехр [1 (ат и+ в, о)] )(и )(о = 4))0 — 00 — 0 0 — ~ Ве (т + з) ехр 11 а, г) ехр [1 о (в, + в,)] йг йо = — 00 — 00 1 = — 51 (а,) ехр ( — 1 в, т) б (в, + а,). дставляя (7.112) в (7.110) и используя фильтрующее свойство де ьта-функцни, окончательно, получаем В~(1,, 1,) = — ]В,(1,, 1„в, — в)51(а)ехр[ — !в(1,— 1,)]йо.
(7, 113) Для стационарной (в широком смысле) системы 1см, (7.102)) 1 ВС (т) = — ] В, (т, в) 51 (в) ехр (1 а т) йо. (7.1!4) 4л 7.4.3. Спектральная плотность мощности процесса на выходе системы. В соответствии с (7.114), используя теорему Хинчина— Винера, находим ОО О 5с(в)= — ] ]В,(т, в)5т(в)ехр]!(в' — а)т]дтйо'.
(?.116) 2л ЮО Я Вводя функцию Г(в, в') 1см. (7.103)1, получаем ОЪ 5с (в) = — ~Г(в, а') 51(в') йв'. (7.116) 2л ]Ва(и) Г,(и, т) Ии, (7.1 Г7) где ОО Р,(и, т) = — ]В,(т, в)ехр(!(т — и)в] Па. 2л (7.118) 7.4.4. Частные случаи входного процесса. Если на вход системы со случайными параметрами действует белый шум со спектральной плотностью 5т(в) =2Л~о, то из (7.114) и (7.116) находим Фо Вт(т)= — ' ]В,(т, в)ехр(!ат)йо, (7.119) 2л ОЭ 5с (а) о ]Г(а, в')Дв' (7 12Щ Из (7.116), как частный случай для линейной системы с постоянными параметрами, следует формула (7.49). Действительно, подставляя (7.106) в (7.116),и используя фильтрующее свойство дельта-функции, приходим к (7.49).
Используя (7.115), а также теорему Хинчина — Винера, можно выразить корреляционную функцию процесса на выходе линейной системы через корреляционные функции системы и процесса на входе: СО ОО Вс (т) = — ] ] В, (т, в) В» (и) ехр Д (т — и) в] ди йо = 2л СО Для входного процесса, представляющего гармоническое кохебание постоянной амплитуды ав частоты в, и случайной фаны, распределенной равномерно на интервале ( — и, и), имеем в соответствии с (4.119) ВС(т) = (аго/2) Вс(», во) соз'оо» Вс(в) =(аг/2)[Г(в, во)+Г(в, — во)), 7.4.5.
Случайная задержка. Предположим, что передаточная функция линейной системы со случайными параметрами представляется в виде й((в, 1) =ехр[ — 1вг)(1) ), (7.123) где »1(1) — стационарный случайный процесс, Тогда в соответствии с (7.100а) И((, 1 — ) =б[П(() — а1 и из (7.106) следует 5(1) =5[1 — Ч(1)1 (?.124) Таким образом, линейная система с характеристикой (7.123) осуществляет задержку значений случайного процесса $(1) на случайную величину г)(1). Найдем выражение корреляционной функции рассматриваемой линейной системы.
Согласно (7.102) имеем В, (т, в ) = лг ~ (ех р (1в [ ц (1+ т) — т1 (1) ] ) или В,(т, в) = Ог„( — в, в, т), (7.125) где Ого(оп пь т) — двумерная характеристическая функция стационарного случайного процесса »1 (1). Предположим теперь, что процесс »1(1) гауссовский, центрированный. Тогда, используя (5.14б), находим из (7.125) В,(т, в) = ехр( — о„'в' [1 — Рч(т))), (7. 126) где Рч(т), о'ч — нормированная корреляционная функция и дисперсия гауссовского случайного процесса »1(1). Заметим, что при любом фиксированном значении в функция В,(т, в) изменяется от единицы при т=О до ехр( — о'„в') ( 1 при В соответствии с (7.114) корреляционная функция процесса 1 (1) 1 Вг (т) = — ) 51(в) ехр (! вт — а„' вг [1 — Рч (т)!) 1( в.
(7.12?) -О. Из (7.127) следует, что средняя мощность ВС (0) процесса ~(1) равна средней мощности исходного процесса 5(1). 208 (, другой стороны, по формуле (?,118) находим 1 (и — т) ~ Р,~(т — и) = ехР ! —, 1. (?.128) 'чУ'4и[1 Лч (т)1 [ 4оч[' ')ч (т)) Подставляя (7.128) в (7.117), получаем ВС (т) = (4п [1 — Ь'ч (т)) о„') — Н' ) Вз (и) Х (7.129) Если случайный процесс к(() представляет белый шум со спектральной плотностью 54(в) =2Мв то из (7.127) следует В,и)=и,~~(~ и,из~Гц,р[ — " ) г)зо) 4а~~ [1 — Р, (т)1 В~(т) = М, (4пф'+ [1 — Р„(т)) о'[) — птх х ехр з +~~-и„ьи ) [ (7.131) 7.4.6. Гармоническое колебание, модулированное по фазе гауссовским случайным процессом.
Предположим, что гармоническое колебание постоянной амплитуды ав частоты им со случайной фазой, распределенной равномерно на интервале ( — и, и), модулировано по фазе гауссовским центрированным стационарным случай. ным процессом. Тогда (7.124) запишется в виде ь(() =аосоз[во(+в — т)(()). (7. 132) Спектральная плотность мощности немодулированного квазндетерминированного гармонического колебания [см. (4.119)1 Зз(в) = паз[8(в=ви)+8(в+ви)1 (7.133) Подставляя (7.133) в (7.127), получаем Вс(т) =(а„'12) ехр( — о„'в'[1 — Вч(т)[)созв,т. (7.
134) 209 Из (7.130) видно, что Вч(0) неограниченно, т. е. средняя иощность процесса на выходе системы остается бесконечной, как и у процесса на входе (белого шума). Однако в отличие от входного дельта-коррелированного процесса значения процесса на выходе при т 0 коррелированы. Если случайный процесс ~(г) представляет профильтрованный белый шум со спектральной плотностью Яь(в) =2Миехр( — в'фт)' (см. п. ?.2.8), то нз (7.127) видно Используя теорему Хинчина — Винера, находим спектральную плотность мощности модулированного, процесса ОО Яс(в) = 2а, '] ехр( — о„'в'[1 — Р„(т)Цсозвотсозвтг[т= о = аЦ ехр ( — оо в' [1 — !гч (т)Ц соз (в — в,) т о' т + о (7.13о! +а~ ~] ехр( — ооа' [1 — 1т„(т)Цсоз(в+в,)тг[т. а Предположим, что изменения Л„(т) медленные по сравнению с соз вот, т.
е. что спектр модулирующего процесса низкочастотный и ширина полосы этого спектра много меньше несущей частоты ао. Тогда вторым интегралом в (7.136) можно пренебречь по сравнению с первым и,получить (7.!36) ЯС (а) = а~ ~) ехр( — аз аз [1 — 1с„(т)Ц сов (в — а ) тот. о Интеграл в правой части (7.136) сходится при ач~ао и неограничен при в=во, что указывает на наличие дельта-функции (дискретной линии) в спектре процесса ь(1) при а=во.
Переписывая (7.136) в виде ОЭ яс(а) = а ехр( — о~аоо) ]сов(в — в ) тдт+ о 00 + а' ] [ехр ( — оо во [1 — Я (т) Ц— о — ехр ( — оо во)] соз (в — в,) т д т, представим спектр как сумму дискретной и непрерывной частей Яс(в) =па~~ехр( — о„'в,') 6(в — а,)+ ОЭ + а', ехр ( — ач' воо) 1 [ехр [ оч' ~, оЙч (т)) — 1) соз (в — а,) т И т. (7.137) о При о„во»1 интенсивность дискретной составляющей спектра пренебрежимо мала, а для непрерывной части можно получить простое приближение. Разлагая в показателе экспоненты в подынтегральном выражении Яч(т) в ряд Тейлора, ограничиваясь двумя первыми членами н предполагая дифференцируемость ~](!) в среднеквадратическом, получаем при о„во»1 о!(в) о а',У~~~2/(очаов ) х (7.!38) ооо во во ч о 11 210 3'аким образом, в рассматриваемом случае спектр модулироваийого по фазе колебания непрерывный н имеет форму гауссовой кривой с вершиной в точке а=аз. Ширина полосы этого спектра райна очввв!Ф 2л.
Заметим, что в рассматриваемом случае гауссовская форма спектра процесса ~(!) получается при любом спектре процесса т)(!) и зависимость 5с(в) от энергетических характеристик процесса т)(!) определяется только значением вь Если о„ае«1, то, разлагая показатель экспоненты в подынтегральном выражении (7,137) в ряд по степеням )гп и ограничиваясь линейным приближением, находим ЮС(в) = и а~~ехр ( — а'в') 6(го — в,)+ + аз вто оз ) йя (т) соз (в: вв) т г( т, о (7.139) откуда следует пв з ла (в) = "па е!гр ( "й ~~~) б (а во) + — в„Яп (а — ве). (7.140) 7.5. ЗАДАЧИ 7.1. Доказать, что спектральная плотность мощности и корреляционная функция процесса на выходе дифференцирующей !(С-цепи, когда на входе действует белый шум со спектральной плотностью 2Уь равны Вй (ю) = 2Уа (ю/а)а!11 + (ю/а)а), Л~, са Вь (т) = Фа б (т) — — ехр ( — а 1т)), а = ! /(1!С) .
2 (1а) ( !б) ?.2. Показать, что при произвольной добротности !7 выражения нормиро. ванной корреляционной функции процесса на выходе последовательного оди. ночного контура, когда иа его входе действует белый шум, имеют вид: при Я~1/2 (колебательный режим) гг(т) = ехр( ()!т!) (сов ал т+ — Мп аз (т! ), ю = оР— (Р) О, (2) аа при 0=1/2 (граница колебательного и апернодического режимов) аг(т) =ехр( — р1т1)(!-ьр!т!), (3) 211 Таким образом, в первом приближении при о„ао«1 спектр, получаемый в результате фазовой модуляции гармонического колебания гауссовским процессом, представляет суперпозицию дискретной линии исходного гармонического колебания и спектра модулирующего процесса, смещенного по оси частот на значение, равное частоте вв несущего колебания и умноженное на постоянный масштабный коэффициент (ааво)'/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
