Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Корреляционная функция последовательности о1 (и) т т Вч(з) = т,(т1(п) Ч(па а)) = 2; ~ Ь Ь, т,(Ч(п — й)$(п+з — г)). о=о =о н так как гп,(8(п — й)8(п+з — г)) с цооб -о, +, „, то е Вч(з)= о 2; ЬоЬо+,. (7.36) о=о Дисперсия выходной последовательности по= по ,'я Ь~о. — о о=о Таким образом, при воздействии на вход нерекурсивного фильтра стационарной в широком смысле, центрированной последовательности с некоррелирова~н~ными значениями последовательность на выходе фильтра также центрирована и стационарна в широком смысле, а ее корреляционная функция и дисперсия определяются по формулам (7.36) и (7.37).
(7. 37) Лодставляя (7.33) в (7.31), находим корреляционную функцию предельной стационарной выходной последовательности Вч(т) = Л о1, (7.34) Если выходная последовательность гауссовская, то в предельном случае согласно (7.32) и (7.34) выходная последовательность гоже гауссовская и марковская. Таким образом, прн воздействии на вход рекурсивного ф~ильтра перьвого порядка цвнтрированной стационарной, гауссовской последовательности с нвкоррелированными (а следовательно, независимыми) значениями предельная последовательность на выходе фильтра — центрированная, стационарная, гауссовская, марковская.
7.1.6. Реакция нерекурсивного фильтра иа входную некоррелированную последовательность. Пусть на входе нерекурсивного цифро|вого фильтра действует стационарная в широком смысле .центр~врезанная последовательность $(п) с некоррелированными значениями. Связь выхода о)(п) со входом ч(п) нерекуроивного фильтра определяется уравнением Ч (и) = Х Ьо ь (и — й), (7.35) ь=о 7.2. пРБОБРА30ВАния случАиных пРОцессОВ В ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМАХ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ 7.2.1. Среднее значение и корреляционная функция процесса иа выходе системы. Линейная система с непрерывным временем и с импульсной характеристикой Ь(1, т) преобразует согласно (6.27) случайный процесс, поданный на ее вход, в другой слу- 186 Вс(1с, 1,)= ) )й((с, о,)й(1„о,)Ва(о„о,)с(о,с(ос.
(7.40) Средний квадрат процесса на выходе системы В,(1, 1)= ( Р(1,,)й((,,)вс(,,) Ь, Ь„ (7.41) а дисперсия (с с(1) = Вс (1, 1) — (ас (1))с (7.41а) Для стационарного в широком смысле процесса 5(1) на входе линейной системы формулу (7.40) можно переписать в виде Вс(1„(с) = ~ ~й((„ос) й((с, о,) Вс(ос — о ) сЬ, с(ос. (7 42) Из (7.42) видно, что процесс на выходе линейной системы с переменными параметрами нестационарен даже тогда, когда иа входе его действует стационарный случайный процесс. Используя (7.38), находим взаимную корреляционную функцию процессов на входе и на выходе линейной системы: В1С(1с, 1,) = )й((„о) Вс(1с, о) сЬ.
(7.43) Рассмотрим теперь линейные системы с постоянными параметрами. В этом случае из (7.40), заменяя переменные и=сс — оь о = сс — ос„находим О О Вс(с„с,)= ) ")й(и)й(о)Вс(Г,— и, Ц вЂ” о)с(исЬ. (7.44) Если процесс на входе линейной системы стационарен (по крайней мере, в широком смысле), то СО И ВС (т) = ) 1й(п) й (о) Вс (и — о+ 'с) с(шЬ (7 45) 18Т чайный процесс ~(с), который является интегральной сверткой импульсной характеристики с входным процессом ь (с) = ) й (с, с) $ (с) с( т.
(7.38) — М Интеграл (7.38) определяется в среднеквадратическом смысле (см. п. 3.4.1). Обозначим через ас (1) и Вс (Гь (с) среднее значение и корреляцион~ную функцию процесса на входе линейной системы. Из (7.38) непосредственно следует сь(1)= )й(1, т)ас(т)с(т, (7.39) аг =аз ")Ь(и) Ни, (7 45а) О аз = Вс(0) — а2, (7.45б) В этом случае процесс на выходе линейной системы также стадиона~реп в широком смысле.
Формулу (7.45) можно предста~вить в виде Вс (т) = )гд(г) В1 (т — г) йг, Ю (7.46) где ОО п(г) = )Ь(и)Ь(и — г) ди. ОР В рассматриваемом случае взаимная корреляционная функция процессов на входе и на выходе линейной системы О Вас(т) = )Ь(и)Ве(т — и) йи. (7.48) Заменяя переменную под знаком интеграла г=т — о+и и учиты- вая (6.30а) и (4.80), устанавливаем связь между спектральными плотностями мощности процессов на входе и на выходе линейной системы: ОО Вс'(а) = ) Ь (и) ехр (1 а и) т(и ") Ь (и) ехр ( — 1а о) дп х ЯО 00 ° О х2 ) Ве(г) ехр(-! аг) т(г =Ь(1 а) Ь( — 1а)В8(а), — 00 188 Если в (7.45) вместо Ь(и) Ь (о) подставить произведение Ь1(и)й,(о) импульсных характеристик двух ли~нейных систем, то получим формулу взаимной корреляционной функции Вг,,г, (т) процессов ь|(1) и ~~(1) на выходах этих систем, когда на их входе действует процесс $(1).
Чтобы выполнить условие физической реализуемости линейной системы, необходимо в (7.30) — (7.41) положить Ь(1, т) — = 0 при т)4, а ~в (7.44) — (7.48) Ь(и) =0 пр~и и(0. 7.2.2. Спектральная плотность мощности процесса на выходе линейной системы. Преобразованием Фурье от обеих частей (7.45) находим спектральную плотность мощности стационарного в широком смысле случайного процесса ~на выходе линейной системы с постоянными параметрами 00 Вс(а)=2 ~Вс(т)ехр( — 1ат)Ус= (О ОО СО = 2 )" )Ь(и) Ь(о) ~В~(и — о+ т) ехр( — (ат)Маис(п. и так как й(но)й( — 1оз) = !й(1оз) !а=Се(оз), то В4 (оз) = С' (оз) Вз (го), (7.49) где С(оз) — частотная характеристика линейной системы.
Формула (7.49) представляет закон преобразования спектральной плотности мощности стационарного случайного процесса при его прохождении через линейную систему с частотной характеристизсой С(оз). Фазовая характеристика линейьюй системы, как и следовало ожидать, не,влияет на этот закон преобразования'. Из (4В1) и (7.49) следует, что корреляционная функция случайного процесса на выходе линейной системы 1 ВС (т) = — ) 54(оз) С'(го) сознать(оз. (7.50) нп о Из (7.50) и (7.45) ~видно, что средняя мощность процесса на выходе линейной системы ВС (О) = — ) оз(нт) Сз(оз) г(го= зл з Ю ) ВЗ(п — и) й(о) й(о) с1исЬ.
(7.50а) (Ю— Таким образом, задача о преобразовании спектральной плотности мощности стационарного случайного процесса ~и его корреляционной функции при прохождении через линейные системы решается полностью формулами (7.45) — (7.50), если заданы частотная (или импульсная) характеристика системы и спектральная плотность мощности (или корреляционная функция) процесса на входе.
В соответствии с (4.94) взаимная спектральная платность процессов на входе и на выходе системы ОЭ 8!С(оз) =2 ) )Ь(и)В4(т — и) ехр( — !озт) г(пг(к= й(! гв) ЗС(оз), (7.51) от1суда следует (В44 (оз) (* = Вз (оз) В4 ( ) (7.51а) Нетрудно доказать, что взаимная корреляционная функция и взаимная спектральная плотность процессов на выходах двух линейных систем с,передаточными функциями й~(1нз) и йз(!го), когда на их входы действует процесс $(() с корреляционной ' Более элементарное доказательство формулы (7.49) следует непосредственно из определения спектральной плотности мощности (см. п.
4.35). Так как хгг (ы) =Я(ы)lг(нз), где 71гс1(ы) и еф(ш) — преобразования Фурье ст ьт~м(1) и нт~'(г), то — !лЯ (ы) (з= — 171741(ы) ('са(оз). Усредняя и переходя к пРеделу при Т- со, получаем (7.49). (7,52) функцией Ве (т) и со спектральной плотностью мощности 51 (а), равны СО СО ВС 1, (т) = ) ") й, (и) й, (о) В1 (и — о+ т) Нш(о, (7.51б) Π— СО Вс, С, (м) = й, ( — 1ы) й, (1 ) 31 (м). (7.51в) 7.2.3. Воздействие белого шума на линейную систему. Пусть на входе линейной системы действует белый шум — стационар- ный в широком смысле случайный процеос с равномерным на всех частотах энергетическим спектром 51 (в) =2Ма, которому согласно (4.116) соответствует корреляционная функция Вь (т) = =Фоб(т).
Тогда, используя (7.42) и фильтрующее свойство дель- та-функцин (см. Приложение-1), нетрудно найти выражение для корреляционной функции процесса на выходе линейной системы, на вход которой действует белый шум: В1(1„1,)=М, ~й(~, о)й(1, о)Но, причем для физически осуществимой системы ВС(1„1,)=Л', )й(1„о)(1,, о)ио, 1,)1,. (7.52а) — СО Прн этом среднее значение квадрата процесса на выходе ВО(1, 1)= т,(~'(1)) =- Уо ~й'(1, о)сЬ. (7.53) ОтМЕтИМ, ЧтО При УСЛОВИИ ) й'(1, О)ИО(ссо ПрсцЕОС ~(1) На выходе линейной системы непрерывный в среднеквадратическом [см.
(4.135)1, в то время как процесс на входе — белый шум— этим свойством не обладает. Используя (7.43), а также фильтрующее свойство дельта- функции, нетрудно убедиться, что Вас(1„1,) =цй(1„1,). (7.54) Таким образом, имеется простой корреляционный метод определения импульсной характеристики й(йь й) линейной системы: если на вход системы подается белый шум, то взаимная корреляционная функция процессов на входе (при Уо= 1) и на выходе в точности совпадает с й(1м й).
Для линейных систем с постоянными параметрами из (7.52) следует 1см. также (7.47)1 Вс (т) = М, д (т) = М„~ й (о) й (о — т) бо = СССО = — О 1С2(0)) сов отела, (7.55) о 190 СЮ оо о Вс(0) =Мо )Ьо(о) ~(о= — ' )Со(а) На. (7.55а) о Следовательно, корреляционная функция белого шума на выходе линейной системы с постоянными параметрами с точностью до постоянного множителя совпадает со сверткой импульсных характеристик системы. Из (7.49) находим спектральную плотность мощности случайного процесса на выходе системы, когда на ее вход действует белый шум: Вг (а) = 2Л'о С' (а), (7.56) т. е. эта спектральная плотность с точностью до постоянного множителя совпадает с квадратом частотной характеристики системы.
Из (7.55а) ~и (7.56) следует, что рассматриваемый процесс ь(Г) иа выходе линейной системы будет непрерывным в среднеквадратическом, если ~ Со (а) й а ( оо, о и дифференцируемым в среднеквадратическом, если ) а Со (оо) и а ( оо. Отношение средней мощности произ~водной Ь'(1) к средней мощноспи процесса ~(1) (см. п. 4.5.4) ао = Вс (0)/Вг (0) = ) ао С' (а) й а / ) Со (а) о(а, (7.57) о ( о 7.2.4. Формирующий фильтр. Из (7.55) следует, что стационарный в широком смысле случайный процесс 9(1) с корреляционной функцией Вг (т) можно рассматривать как реакцию на воздействие белого шума единичной интенсивности линейной системы с импульсной характеристикой Ьо (т), удовлетворяющей интегральному уравнению ОР )" Ь1 (о) Ь1 (о — т) до = Во (т). (?.58) Такую линейную систему называют формирующим фильтром.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
