Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Тогда О, (а) = О„, (а) 6!,. (в). (5.132) Так как при пФ!' !2п !2! т! + т! + Х Рг (м (а "(о! !д! .4/ Ь! то из (5.!14) для некоррелпрованных амплитуд непосредственно следует й„;(а) =аот, [т„ат! я (ат„) х получаем Ьр (в) = ао Я (в) Я, (в) 6!,.( — в) 6Рь —,' ( — в). Заметим, что Я(0) =Я!(0) =тол(0), так как 1 1 )о(х) дх=)"о(1 — х) г(х. о о Учитывая, что при в~О ом 1нп ,'~ ~1 — )6р! — '(в) = [1 — 6, (в)[ — ' !о-гав р ! 2У + 1 (5.136) а при в=О указанная сумма может быть представлена дельта- функцией, из (5.1!7) с учетом (5.119) и (5.136) получаем следующее выражение энергетического спектра апернодического нм; пульсного случайного процесса: 51 (в) = ~ [ 1 + ( — ) ~ К, (в) + л*(о) т,' +2Ие(()( — в)(1,( — )6„.( )[1 — 6,„( И-)+ ' 5( ). .;ч (5. 137) Формула (5.137) указывает на существенное различие энергетических спектров апериодического импульсного случайного процесса и импульсного случайного процесса с детерминированным тактовым интервалом.
Спектр (5.137) не содержит дискретной части, характерной для спектра процесса с детерминированным тактовым интервалом (кроме одной дискретной компоненты, соответствующей постоянной составляющей процесса). 5.5.7. Импульсные случайные процессы смешанного типа. Рассмотрим импульсный случайный процесс смешанного типа при следующих ограничениях: форма всех импульсов идентична и задается нормированной функцией единичной амплитуды о(!), которая тождественно равна нулю вне интервала (О, 1); межтактовая корреляция импульсов отсутствует; нет статистической связи между изменениями различных параметров импульсов (амплитуды, длительности, момента возник новения); на данном тактовом интервале длительности импульсов и па.- уз статистически независимы; вероятностные характеристики импульсов и пауз не зависят от нх положения в тактовом интервале и от номера тактового интервала и задаются величинами среднего а и дисперсии о' амплитуды импульса, функцией распределения ш„(х) длительности импульса, характеристическими функциями 6!,* (в) паузы и 6ш(в) интервала между появлением двух последовательных импульсов на данном тактовом интервале.
в 87 !6$ Обозначим, кроме того, через р„.вероятность того, что на тактовом интервале длительностью Т находится точно г импульсов, ~, 'р„.= 1. =о Спектр рассматриваемого импульсного случайного процесса состоит из непрерывной и дискретной части, причем Я„(в) = — 2, р„(г (а'+ о') К,(в)— =о з 1 8!и (в) ги 2 ай гв тв Ян(в) = "' К (вН%1,*(вИ'Х (5.139) Здесь использованы обозначения (5.119а), (5.125б), (5.134), (5.135) . Для импульсных случайных процессов с детерминированным тактовым интервалом р~=1, р„=О при г=~=1, и из (5.138) и (5.139) как частный случай получаются формулы (5.130а) и (5.130б) (в этом случае момент появления импульса определяет длительность паузы т от начала тактового интервала). Для апернодических импульсных случайных процессов р,— ьО для любого конечного г и Т=гТ,— оо при заданном конечном среднем расстоянии Те между импульсами.
При этих условиях второе слагаемое в фигурных скобках (5.138) обращается в нуль, а (5.139) после раскрытия неопределенности переходит в (2ат)Тзе)К (0)5(в). Таким образом, для апериодических процессов из (5.138) и (5.1'39) следует (5.137). Большое число интересных для практических приложений примеров, иллюстрирующих изложенную в этом разделе теорию импульсных случайных процессов при~ведено в '11, гл. 11) (см.
также задачи 5.8 — 5.12). 6.6. ЗАДАЧИ 6.1. Доказать строгую стационарность квазидетерминированмого процесса ь (Г) = о соз (Ч1+ф) (1) при углов~ни, что случаиные величины а, П и ф взаимно независимы, причем е распределена равномерно ма интервале (О, 2п). Проверить, что гн,!й(1))=0, гн,(йт(Г))=ли(ат)/2, (2) 1 Вй() = — т,( ) (вч()+Еи( — и, 4 таге тт (т) — характеристическая функция случайной величины т). ч 162 Доказать, что при постоянных а-а, и с»-во процесс Е(Г) органический, причем т,(но(Г))=асс/2, Вй (с) =:(а',/2)соз вик (4) 5.2.
Доказать, что двумерная плотность вероятности и двумерная характе- ристическая функция гармонического колебания постоянной амплитуды ао и частоты в, с равномерно распределенной фазой равны г Г / хс вз(хс ззс т) — .г з ~6[ха — лосос(вос+агссоз — )~+ м",-~ 1 1' ао хс + 6 [хз — ао соз (в„с — агссоз — )~), (5) ао Оз(о,, оо' т) = чх' ,( — 1) ет1т(аоот)1т(аоот) сон тсоот (6) в=о 1 (х) — функция Бесселя т-го порядка от мнимого аргумента, во=1, а~=2, тв.1. 5.3. Показатсь что одномерная характеристическая функция квазидетерми- нированного стационарного процесса 5(с) =а соз(вос+ср), где во — постоянная, ф ~распределена равномерно на интервале (О, 2и), а .распределение а равно йг,(г), имеет вид о 6, ° = Р, со яг (х) = ) яуо (г) вй (х) г) с(г (7) и использовать результат задачи 3,8.
5.4. замечая, что в условиях задачи 5.3 одномерное распределение игй (х» всегда симметрично (посколысу 85 '(о)) — действительная и четная функция), установить следующую связь между моментами четного порядка й(1) и амплитуды а: 2вс(а»)о т „Д(1)). Если йг (х)=(2пос) — 'г'ехр ( — хз/ао), то пОказать, что 2 тс (а)=2"л)а'" (О) (см. (3.76)). 5.5. Доказать справедливость следующего соотношения для гауссовского случайного процесса: т, ( й (с,) й (1,) 5 (с,) й (с,и = =Вй((„Юз) Вй(гз, /,)+Вй(/с, Г,) Вй(1„1.) +Вй(11, 1,) Вй(с„со)— — й(1) йа йа;(1).
(8) (1О) 163 где Хо(х) — функция Бесселя нулевого порядка. Указание. Представить одномерную плотность вероятности $(1) в виде Обобщить формулу (10) на гауссовский случайный процесс с нулевым средним 1 та+! ш! [ П я(!!) =О 1=! 1 ва ш, [ П~(!!)1 = Х П Вй (!!ь, г;„), г=! ! (! 1а) (116) Вй(1г, !з) =йаехр — 2) Л (1) г(1, !а)1,, (12 где Ц!) — пнтенонзность пуассюмовокого процесса. Показать, что для однородного юуасюоновского потока случайных моментов перемен знака телеграфного сигнала с кнтевсивнюстью Л)0 корреляционная функция и апектральная птотность мощности сигнала Вй (т) =Ь! ехр( — 2Л(т(), (13) 2йз!Л В (в) = (! 4) 1 + [в!(2Л)]т Убелиться, что стацнюнаряый в широком смысле случайный телеграфный сигнал непрерывен в среднеквадратическюм (хотя каждая его реализация имеет бесвонечное число точек разрыва).
Убедиться также, что этот сигнал, однако, це днфферевцврувм в среднеюзвдра анческом. 5.7. Доказать, что среднее число и средняя длительность выбросов над уровнем х, эргодического центрврованного гауссовского процесса равны 2 в, ( хо 1 Л! (ха) = ехр ( — — ), 2п ~, 2ое хз ! й( — —,)~' — ~( $ (15) (16) где а' — дисперсия процесса, г(г) — интеграл Лапласа и в, определяется юо формуле (4.145). 5,6, Рассмотреть последовательность равноотстоящих на интервалах Т прямоугольных импульсов длительностью тз со случайными независимыми одинаково раслределенными амплитудами (рис.
57). Средние аначеняя и дисперсии амплитуд импульсов равны а к оз соответственно. Доказать, что непрерывная где суммирование ведется по всем различным способам, по каким можно разделить 2п моментсе вреМени на и пар. Указа нане. Использовать связь моменвных функций гауссювского процесса,с его мцогомерной характеристической функцией. 5.6. Рассмотреть случайный телеграфный сигнал $(!), реализациями которого являются «прямоугольные волны> (рис 5.6), принимающие два значения й и — й.
Пусть число т(!) перемен знака полярности сигнала на интервале (О, !) представляет пуассонозскнй процесс, подчиняющийся распределению (5.45). Доказать, что корреляционная функция телеграфного сигнала при указанных предположениях Рис. б.б. Случайный телеграфный сигнал и дискретная части спектра ра«сматрнваемого кмпульоного случайного процесса с детерминированным тактовым интервалом (рис. 5.8) 2гео з1п втз/2 )з 2тз о' Вв (ю) = Т ыта/2 2итон (з!пютз/2 )з ~ ( 2пг ) (17) (18) Доканать также, что корреляционная функция расоматриваезпно импульсного случайного процесса (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
