Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Модель гауссовского случайного процесса широко используется в естествознании и технике. В радиотехнике и связи гауссовский случайный процесс является адекватной математической моделью активных н пассивных помех, атмосферных и космических шумов, каналов с замиранием, с многолучевым распространением, групповых сигналов в многоканальных системах.
Флуктуационные шумы приемных устройств, обусловленные дробовым эффектом и тепловым движением электронов, также подчиняются нормальному закону распределения. Адекватность модели гауссовского случайного процесса многим реальным помехам и сигналам и ее универсальность объясняются во многих случаях действием центральной предельной теоремы теории вероятностей (см. п.
5.2.7). Из определения (5.8) гауссовского случайного процесса следует, что эта модель полностью определяется заданием среднего значения ае (!) н корреляционной функции В1 (и, о) случайного процесса. 5.2.2. Стационарный гауссовский случайный процесс. Если гауссовский случайный процесс стацнонарен в широком смысле„ то средние значения ах=а постоянны, а корреляционная функция Ве (1!, 6е) зависит не от двух переменных !! и 1е, а только от их разности т=1е — !!.
При этом распределение вероятностей (5.8) гауссовского процесса не меняется для любого сдвига группы то- 132 (5.13а) чек й, ..., 1„ вдоль оси времени на постоянное значение. Иначе говоря, при выполнении указанных условий гауссовский случайный процесс является строго стационарным. Таким образом, из стационарности в широком смысле гауссовского случайного процесса следует его стационарность в узком смысле. Плотность вероятности произвольного и-го порядка стационарного гауссовского процесса представляется в следующей скалярной форме а!л(Х! " Хл т1 - ~ тл — 1)= л л -!! !- — *- )- з т л,.!*,— !!.- !), (1, !! 1=! 1=1 где о' — дисперсия процесса,  — детерминант матрицы К1, элементы которой Р1!,=!111=!т'(т1 — т1) =Ва (тл — т!)!Вз (0) представляют значения нормированной корреляционной функции, а В!1— алгебраические дополнения элемента В!д в матрице йа .
Многомерная характеристическая функция стационарного гауссовского случайного процесса !С!л(О1л- ~ Олл т1 ", тл-!) =' ал "Р)~ з л — х з л !л). (5.12) 2 Выпишем отдельно одномерную и двумерную плотности вероятности и характеристические функции стационарного гауссовского процесса !о (х) = ехр( — — '(х а) ), 1 ! 1 о Р'2п [. 2ол" 1 !о,(х, хел т) = 2пол 1'1 — !11 [т) х Хехр ( — [(х, — а)а— ! 2ол [1 — Дл [тЦ вЂ” 21т (т) (х, — а) (х, — а) + (х, — а)з[ ), (5.135) 9! (о) = ехр ([ао — ото'/2), (5.14а) 61(о!, ол, т) =ехр [[а(о!+ол)— — (о92) (о', +2Я (т) о, о, + пал) ), (5.! 4б) Отметим, что достаточным условием здгодичности и условием сильного перемешивания стационарного гауссовского процесса является непрерывность его спектральной плотности мощности, т.
е. ограниченность интеграла [ )Ра(т) )с[т (см. [13!). о 5.2.3. Гауссовский процесс с независимыми значениями. Если любые два значения гауссовского случайного процесса в несовпадающие моменты времени некоррелированы, то )т!1=)та!=0 при 133 1ФЙ и тогда матрица К1 — диагональная с элементами Я!!=1 по диагонали. Поэтому в (5.11) следует подставить значения 11, 1=й, В = 1 1)а = б!ь = ~ 10, !'~й. В этом случае плотность вероятности л-го порядка гауссовского процесса л .<*, *.)=(а-Г"и- ) — ', т(*.—.!)- 2а! ь=! л = Ц (2ла')и' ехр( — (хь — а)'), (5.15) т. е.
является произведением и одномерных нормальных плотностей распределения, что соответствует независимости значений процесса в любые два момента времени. Таким образом, стационарный гауссовский случайный процесс с некоррелированными значениями является также процессом с независимыми значениями. Координаты нормального случайного процесса в ортогональном разложении (4.158) представляют, следовательно, совокупность независимых случайных величин. 5.2.4.
Линейное преобразование гауссовского процесса. Линейная комбинация гауссовских процессов, производная и интеграл гауссовского процесса или любое другое линейное преобразование снова приводит к гауссовскому процессу (или к гауссовской случайной величине), как это следует из п.3.3.8.
Рассмотрим линейную комбинацию гауссовских случайных процессов кь(1): и Ч(1) = Х(сь(1)$А(1)+за(1)) /г= ! (где с!,(1), з!,(1) -- заданные функции), которая представляет также гауссовский случайный процесс. Если заданы средние, дис- персии, корреляционные и взаимные корреляционные функции гауссовских процессов ~!,(1), 2=1, п, то нетрудно определить рас- пределение любого порядка случайного процесса !)(1).
Для примера рассмотрим сумму двух гауссовских случайных процессов !1(1) =$!(1)+$з(1) и пусть а1, (1), а!, (1), В4, (1!, 1,), В1, (1!, 1!), В1,1, (1!, !г), В4,1, (1!, 1г) — их средние, корреляци- онные и взаимные корреляционные фуькции соответственно. Ис- пользуя матричное представление характеристической функции [см. (5.10)1, можно в компактном виде представить 2и-мерну!о совместную характеристическую функцию процессов ~! Ц) и ~,(1): 6,„(ч, 1) = ехр ~1а'ч — — т'Кч), 1 (5.16) где ч= (и!, ..., и„, иь ..., и ), 1= ((ь ..., 1„), а — вектор-столбец сред- 134 (5.19а) них значений (ае, ((,), ...
аь, (1„)], К((ь 2;) — матрица коварна- ций случайных величин $!(~,), а~((!), причем К (1 ! ) ( ~!~ (!! ~!) ~1~1~ ((!о ~!) (5 17) %ь 1, (!ь (,) Кь. ((~ 6!) и К1,((ь (;) = ЦВ1, (!!, г!)Ц, К1,4(г!, 1,) =]]В!,ь ((и г!)Ц и т. д. Тогда л-мерная характеристическая функция суммы и (!) = =~~(!)+5!(!) имеет вид с]ч(ч, !) =ехр(!а' т — — ч'К„ч), где 1 2 ч = (о, = и„..., о„= и„), 1= (г„..., („), ач=а1,+а!, Кч=К1,+Кнз, +К!.$, +К!,. Если два гауссовских процесса некоррелированы, т. е, их вза- имные корреляционные функции равны нулю, то из приведенных соотношений следует 1см., например, (5.10)], что эти процессы независимы. 5.2.5.
Производная в среднеквадратнческом гауссовского про- цесса. Определим одномерную и двумерную плотности вероятно- сти производной гауссовского случайного процесса. Так как од- номерное распределение гауссовского процесса определяется двумя функциями времени — средним н дисперсией, то одномер- ная плотность вероятности производной гауссовского процесса и! (у, !) = ]2ло', (!)]-и'ехр — [у — а! (!)]', (5.18) 2ее, (!) где в соответствии с (4.140) н (4.139) а! (!) = а' (!), д~ в, (1,, ьй оз,(!) = ~ — ]а' (!)]'. (5.195) Для стационарного гауссовского процесса (5.18) упрощается, так как при этом а'! =0 и о'! = — В"1 (0). Если, кроме того, ах=О, т.
е. о'!=В!(0), то и!! (у) = ехр(— (5.19) .~/2 1 2 2 2 где ы', определяется по формуле (4.145). Используя (4.142) нетрудно найти двумерную плотность рас- пределения производной стационарного гауссовского процесса ! и!$ (у!~ у2 т) Х 2аез ьз']Г! й2 уз 2и (т)у 1 2 < хехр 2о~~ ах! ]1 — Я!з (т)] где Й! (т) = — В (т)/В (0) = — Я (т)(вз. (5.20) (5.20а) 135 К11 где — )гг1 (т) 0 К1 = 2 )тг" ( ) : Д1 (т) а[ Таким образом, 1 И1 (т) 0 )та (т) 1 — )т1 (т) 1 — Р1 (т) аг )г'1 (т) 0 — Р1 (т) )~1( ) 0 — )г'1 (т) (5.23) 2 136 Подобным же образом, определяя корреляционную матрицу для производной в п моментах времени, можно получить выражение и-мерной плотности вероятности производной гауссовского случайного процесса.
5.2.6. Совместное распределение гауссовского процесса и его производной. Как было показано в 4.5.4, значения стационарного в широком смысле случайного процесса и его производной в среднеквадратическом некоррелированы в совпадающие моменты времени. Поэтому для гауссовского случайного процесса указанные величины независимы в совпадающие моменты времени. Тогда совмесгная плотность вероятности гауссовского центрированного стационарного случайного процесса В(() (при а1 =О) и его производной в совпадающие моменты времени гвг(х, у) = ехр ~ — (х'+уз)аг) (5.21) 2яааг а, [ 2а1г Совместное распределение стационарного гауссовского процесса и его производной в несовпадающие моменты времени представляет двумерное нормальное распределение гауссовских случайных величин В(1) и а'(1+т).
Учитывая (4.147), находим гвг(х, у, т) = 1 2пгг~ ~[ а~г — (Гг1 (т))г) Нг аг кг 2П (т) ха+ уг = ехр (5.22) 2о~ ~[ аг — (Д (т)) г] ) При т=О, К'а (О) =0 формула (5.52) совпадает с (5.21). Совместное распределение гауссовского стационарного случайного процесса и его производной в два момента времени 1 и 1+т представляет чегырехмерное нормальное распределение четырех гауссовских случайных величин: $(1), В(1+т), й'(1), ~'(1+ +т). В этом случае нормированная корреляционная матрица Детерминант этой матрицы н алгебраические дополнения ее элементов ' 0=( !=к~а) (1=)7а) )7,'()7,' — И,~, (5,24) аа «д! (Го! )да ) )дй "а " "г Ры=)71)71 — ййй, "— )7,ад!, 0 = ед! (! — Я1~) — Яй а Р = — Р„= — 0„= — )7;()7;+)7,а',), Рм=Раз=Рза= )э$()эййй — Йй'+ад!), Раа = )71 (1 — )71~) + )71 )75 '.
! Рда Рзз = Рдз = Рда 034 (5.25) Используя (5.11), находим искомое четырехмерное распределе- ние (5.27) 1 Г 1 м'4(хд, х„уд, уа, т) = ехр — [0„(ха+ ха) + 4пз о4 ГдГГа ~ 2оа ГЭ $ 1 + 2Рм хд ха + 20аз Уд Уа + Рзз ( У! + Уа) + +2Рдз(х, у,-х, Уз)+ 20д,(хд Уз+ха У!)1). (5.26) 5.2.7. (дентральная предельная теорема для стационарных случайных процессов. Пусть 5(п) — стационарный центрированный случайный процесс с дискретным временем, удовлетворяюзций условию сильного перемешивания с коэффициентом а(п) [см. (4.44)).
Предполагается, что для некоторого 8)О т!(!а(п) !зда) ~-оо. Если 2 [и(п))знаГзГ<оо, то ряд н=! оа = т, [йа (0)) + 2 2„'тд Я (О) й (Га)) з=! абсолютно сходится. Если, кроме того озФО, то н — ~) ~(й) „-"„' д), (5.28) окп ь! где т) — гауссовская случайная величина с параметрами (О; 1). Для стационарных процессов с независимыми значениями соотношение (5.28) соответствует (3.104). Если последовательность $(п) удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания [см.
(4.44а)1, то соотношение (5.28) выполняется при условии а. Гра(п) (оо. а=! ' В (524) и (525) опущены аргументы функций ГГ5 (т), ГГ4(т), Я"5(т). 137 Приведенное утверждение распространяется и на стационарные центрированные случайные процессы с непрерывным временем 5(1), которые удовлетворяют условию равномерно сильного перемешивании с коэффициентом ~р(т). Если т,(5'(1)) (ас и ~ <рц'(т) г(т(оо, то о оо = 2 (т, Я (0) Е (1)) с!! ( оо о Если, кроме того, о'чеО, то т )" в(1) с(! "' т[, где и — гауссовская случайная величина с параметрами (О; 1). Подробные д,.казательства приведенных здесь результатов см., например, в [13, 14).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
