Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Если случайный процесс стационарен (по крайней мере, в широком смысле), то, разлагая правую часть (4.128) в ряд Тейлора, получаем для корреляционной функции Вь (т) производной с'(!) следующее выражение: В1 (т) = Иш В4, (т))Тз = !пп [ — В" (т) + о (Т)) т о т- о или' Ва (т) = — В" (т). (4.142) ' (4.142) следует также нз (4.132) прн замене т=!з — и е дйд!з= — (дт)з. 1!Б Из (4.131) предельным переходом находим также спектральную плотность мощности производной 5о (а) 1пп — з1п' — 51(а) =ао51(а).
т-о То 2 Формулу (4.143) можно также получить из (4.142), если интеграл (4.83) продифференцировать дважды по параметру т. Дисперсия (средняя мощность) производной (4.143) ФР В1 (О) = — В" (О) = — ) а'51(а) йо. 2" о (4.144) ! аз=В! (0)/Во(0)= — й" (0)= ~ао51(а)ба/ ~5з(а)йо. (4.146) о о Для узкополосного процесса, спектр которого сосредоточен в окрестности высокой частоты ао, из (4.146) заменой 0=а — ао получаем (см, п.4.4.1) аз=а'+2а ~й5'(й)б(1 / ~5*(й)о(й+ ФО 1 -,- (йо;[а)юи( !о;(а~ а.
(4.146а) где 5"4 (11) — исходный спектр, смещенный на ао в область ниж- них частот. Если спектр симметричен относительно частоты ао, то второе слагаемое в (4.146а) обращается в нуль и тогда а', = а,'+ ) Яо5' (14) пИ / ~5' (Я) ~Ы. ОО ( — е (4.!466) Второе слагаемое в (4.146б) пропорционально квадрату ширины полосы спектра процесса $(1). 117 Так как при т=О корреляционная функция Во (т) всегда достигает максимума, то В'о (0) =0 и В"о (0) (О. Необходимым и достаточным условием дифференцируемости в среднеквадратическом стационарного в широком смысле случайного процесса является конечная средняя мощность В! (0) производной. Это условие, как видно из (4.144), означает также, что интеграл ) а'5о (а)о(а(оо, т. е.
спектральная о плотность мощности процесса, на высоких частотах должна убыбать быстрее, чем а '. Из (4.140) следует, что среднее значение производной стационарного в широком смысле случайного процесса равна нулю, т. е. зта производная — всегда центрированный случайный процесс. Отношение средних мощностей производной $'(1) н процесса $ (1) Взаимная корреляционная функция стационарного в широком смысле процесса н его производной (см.
(4.141) при т=12 — 12) ВЕЕ (т) = — ВЕ Е(т) = ВЕ(т). (4.147) Из (4.132) предельным переходом находим также взаимную спектральную плотность процесса и его производной: Яее (в2) = Игп Яеег (ы)/Т = Яе (в2) Вш (ехр(1езТ) — Ц/Т =1 ге Яе(аз), т- о т 2 (4.15!) т. е. ЯЕЕ' (ч) = 1 гз ЯЕ (гз1. (4.148) Формулу (4.148) можно получить иначе, дифференцируя интеграл (4.83) по параметру т 4Ф Ви (т) = В' (т) = — — ) ь2 Яе (ы) зги «22 г( гв. х" о (4.149) Тогда (4.148) следует из (4.95).
Заметим, что взаимный спектр процесса и его производной— чисто мнимая величина. Соответственно этому их взаимная корреляционная функция — нечетная, т. е. Вев (т) = — ВЕЕ ( — т). При т=О из (4.149) следует ВЕЕ. (9) =В;(б) =9. (4.150) Таким образом, взаимная корреляционная функция дифференцируемого стационарного в широком смысле случайного процесса и его производной в совпадающие моменты времени всегда равна нулю, т, е, случайная функция и ее производная в совпадающие моменты времени некоррелированы.
Заметим также, что производная 3'(1) стационарного случайного процесса стационарна и стационарно связана с $(1). 4.5.5. Корреляционная функция и спектр высших производных. Если случайный процесс 3'(1) дифференцируем в среднеквадратическом, то 3" (1) называется второй производной в средне- квадратическом процессе 3(1) в точке 1.
Аналогично можно определить производные более высокого порядка. Для существования л-й производной Ео'>(1) необходимо и достаточно, чтобы существовала непрерывная при 8=12=1 смешанная производная 2 и-го порядка от корреляционной функции процесса 3(1): 82 ВЕ(г„д,) В (п1 (12~ 12) = згп 81~~ Корреляционная функция и-й производной стационарного в широком смысле процесса Вени(т) =( — 1)" Ве'"'( ) (4.152) а ее спектральная плотность мощности Я (е2) — е22лЯ (ы) (4.153) 118 В этом случае производная и-го порядка процесса существует, если 2 и-я производная его корреляционной функции непрерывна при т=О или (что эквивалентно) спектр на высоких частотах убывает быстрее, чем оз-<з < и.
Нетрудно показать, что взаимная корреляционная функция й-й и 1-й производных процесса в общем случае аз+<и (<<, йй В,«„„„(1„1,) = (4.154) д<~< д<з~ г г и<,(с ч )=)ТЛ Л ~ (В<(1, д) ра(1) р (д)<(<с(д= т ~ <ра(у) <р (у) <(у = ба Покажем теперь, что при любом 1, принадлежащем интервалу ( — Т, Т), справедливо (в среднеквадратическом смысле) следующее равенство: еь(1) ~, $а Ра(Г) а=< УЛа (4.158) а для стационарных в широком смысле процессов В <м «) (т) = ( — 1)а В~а+<) (т). (4.155) 4.5.6. Ортогональное разложение центрироваииого случайного процесса. Рассмотрим непрерывный в среднеквадратнческом смысле случайный процесс ~(1) с нулевым средним и корреляци- онной функцией Ва (1, у). Введем в качестве координат случай- ного иро«асса случайные величины (интеграл в среднеквадрати- ческом ') т за=У "а ~ХЯЧ~Я<В, где <рд(1), Ль з-Π— собственные функции и собственные числа ин- тегрального уравнения (см.
(4.58) ), т р(1)=Л ~В,(1, д) р(д)(д, 11((т. (4.157) — г Эти случайные величины имеют, очевидно, нулевые средние. Кроме того, они попарно некоррелированы и имеют одинаковые, равные единице, дисперсии (см. и. 4.3.2), что следует из орто- нормированности собственных функций интегрального уравнения (4.157): ' Это означает, что последовательность $,„= (/Лз Х а(<,)гр (<,) (<,. <,,) < сходятся в среднеквадратнческом к Чь когда и-ьсо н гпах (<; — 4, 1)-~0 (подробнее см.
гл. 6), 119 (4.160) Рассмотрим последовательность случайных процессов и )аль и определим величины л г ~вэн.(О1- рахф (О Гц~ф,мй)= Ь-! л г л э = 2; Чь„(1) ) ВЯ, и)щ,(и)йи= 5'. — г ь-1 3ц, (р (1) ~ ~) чь (О г (0 бь» " ч4 (О ь 1ив й р АХ~ ь 1 Хх Используя полученные выражения, находим м 2(г) лг,й(1) — и (1))') =Ва(1, 1) — Х (4.159) Хь Но из (4.59) следует, что при М-~-со правая часть (4.159) стре- мится к нулю, т. е.
последовательность $л(1) сходится в средне- квадратическом к случайному процессу $(г). Разложение (4.158) центрированного случайного процесса в ортогональном детерминированном базисе со случайными центри- рованными, попарно некоррелнрованными коэффициентами (ко- ординатами) называют ортогональным (или разложением Кару- нена — Лоева) . Отметим, что можно получить разложение случайного процес- са по произвольной совокупности ортогональных детерминирован- ных функций, но при этом координаты процесса будут, вообще говоря коррелированы.
Только при специальном выборе базиса, согласованного с корреляционными свойствами процесса (см. (4.157) ], координаты становятся некоррелированными, Напри- мер, для тригонометрического базиса Я 2(Тсоз|гвэч1, ~12!Т Х Хз1п Йв~Г, аю=2л1Т) получаем представление случайного процес- са рядом Фурье (в среднеква~дратическом) 2 ~(1)= У' —, Х (~,- й,1+1.1 й .1), х-1 коэффициенты которого, вообще говоря, коррелированы. 4.5.7.
Ортогональное разложение нецентрированного случай- ного процесса. Если среднее значение $(Г) отлично от нуля и равно аа(1), то разложение (4.158) следует использовать для центрированного случайного процесса, т. е. $(1) =па(1)+ 2,' ~/х, причем ядром интегрального уравнения (4.157) служит корреля- ционная функция центрированного процесса. 120 детерминированную функцию аз (1) на интервале ~ Г ~ ( Т можно представить в виде ортогонального разложения в любом базисе и, в частности, в том же, что и во втором слагаемом в (4.160): аа(1)= 2„'~" ть(0, щ (Т, хь (4.161) где т а„)/Ц ~ аз(и)грь(и)йи.
(4.161а) т Предполагается, что ) пз(1)гЫ = Х вЂ” (со. -т й=! Х„' Объединяя (4.160) и (4.161), можно ортогональное разложение нецентрированного случайного процесса 5(1) представить в виде (4.! 62) где черта сверху указывает на комплексно-сопряженную величину, а ~рь(1) и Хд — собственные функции и собственные числа интегрального уравнения (4.58) с ядром Вт (1, у), причем т ') Ч ЯЬ йб1= 5 -г Вводя некоррелированные комплексные координаты ванного случайного процесса центриро- (4.163) (4.163а) приходим к следующему ортогональному разложению ь(С) = ,'~~~ УГь (4,164) 121 4.5.8.
Ортогональное разложение комплексного случайного процесса. В некоторых задачах потребуется обобщение ортогонального разложения на комплексный случайный процесс ~(1) = =5(1)+1т)(1). Аналогично (4.57) корреляционную функцию комплексного случайного процесса ь(г) можно представить в виде Вх(1. Р) (ь(1) ь(Р)) = Е ~" А-1 (4.166) (4.170) !22 Если среднее аг (() процесса ~(() отлично от нуля, то аналогично (4.162) имеем и) = х к,+ .) — '""'. (4.165) ь-1 где т пь= М~а )гаса)ЧФ) г((.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
