Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Заметим, что только при предположении о независимости ам- плитуды н фазы и равномерном распределении последней на ин- тервале (О, 2п) рассматриваемый процесс удовлетворяет условию стацнонарности в узком смысле (см. п. 4.2.3). Хотя интеграл от модуля корреляционной функции (4.118) не- ограничен, понятие спектральной плотности мощности можно рас- пространить и на рассматриваемый случай, воспользовавшись дальта-функцией (см. Приложение 1). Преобразование Фурье корреляционной функции (4.118) В$ (а) = пп (б (в+ во) + б (а воН (4.119) Этот спектр представляет собой две дискретные линии бесконеч- ной интенсивности на частотах — во,ао Рассмотрим теперь случайный процесс, который получается сложением элементарных случайных процессов вида (4.117) и по- стоянной составляющей л ь (1) = а + Х ($» соз в» (+ т1» з1п в» 1).
(4.120) »=! 111 Рис. 4.10. Дискретный спектр и ДВ1 Дгг Дгг те Стационарность в широком смысле этого процесса имеет место при выполнении следующих условий: т, Щ =т,(т)д) =О, т,(йтд) =т,(т[тд) =о'д/2, Й= 1, л, т1 (йдт[1) = 0 й, /= 1, л, т1(йдйг) =т1(т1дт[1) =О, йчь/.
При выполнении этих условий корреляционная функция процесса (4.120) л п2 Ве (т) = Х вЂ” созвдт+ад. (4.121) д-1 2 Если вд=[гвс, то корреляционная функция периодическая с периодом 2л/ве, но если частоты вд не кратны определенной частоте, то эта функция непериодическая (или почти периодическая, как ее иногда называют). Преобразование Фурье корреляционной функции (4.121), т. е. спектральная плотность мощности процесса (4.120) (рис. 4.10) л Зй(в) =адб(0)+л Е од[6(в+вд)+6(в — вд)[. (4. 122) Д-1 Стационарные в широком смысле процессы, спектры которых представляют последовательности спектральных линий (дельта- функций), сосредоточенных на дискретных частотах, называют процессами с дискретным слектром. Величины о'д дают распределение полной мощности по отдельным дискретным частотам вд, а величина а' — мощность постоянной составляющей.
4.5. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОИСТВА СЛЭтЧАИНЫХ ПРОЦЕССОВ 4.5.1. Вероятностные характеристики разности двух значений случайного процесса. Исследуем локальные свойства случайных процессов — непрерывность и дифференцируемость. Так как понятия непрерывности и дифференцируемости случайного процесса й(1) связаны со сходимостью (по некоторому критерию, как отмечалось в п. 3.4.1) последовательности случайных величин ьт(г)=э(г+Т) — Б(1) и втЯ[Т при Т- О, то необходимо предварительно найти некоторые вероятностные характеристики (среднее, корреляционную функцию, спектральную плотность мощности) разности йт(1). Впрочем, эти характеристики могут иметь и самостоятельные значения, так как процесс йт(1) соответствует 112 Рис, 4.!!.
Вычитающее устройство с линией задержки или ЬВ т (оз) = 4 з(па (оз Т12) ЯВ (ез). (4.131) пз процессу на входе элементарного устройства, изображенного на рис. 4.11, которое часто используется в технических системах. Нетрудно доказать, что среднее и корреляционная функция разности $т (!) лт,($т (!)) = т, Я(1+Т)) — т,($(1)) = ай(1+ Т) — ав(1), (4.123) В,„(В„1,) =Вв(1,+т, 1,+т)— -ВВ(1 !а+Т) — ВВ(!а+Т.Вв)+ВВ(1., Вв).
(4.124) Из (4.124) находим выражение для среднего квадрата процесса $т(!): та(Ц. (1)) = ВВт (В, 1) = ВВ(1+ Т, 1+ Т) — 2ВВ(1, 1+ Т) + ВВ(1, !), (4. 125) Взаимные корреляционные функции процессов $(!) и Кт(!): ввв,(1,, 1,) =вв(1„1,+т) вв(1„1,), (4.126а Вв (г, 1,) = Вв (1, + т, 1,) — В (1, 1,). (4.1266) Если $(!) стационарный в широком смысле случайный процесс, то из (4.123) — (4.126) следует лт, ($т(1)) = О, (4.127 ) Ввт(т) = 2Вв(т) — Вв(т+ Т) — Вв(т-Т), (4.128) В„(0) = рз(~т (!)) =2(в,(0) — ВВ(т)), (4.129) Вцт (т) = Вв(т+ Т) — Вв(т), (4.130а Ввтв( ) = Вв( -Т) — Вв( ) (4.1306) Спектральная плотность мощности ВВ (ез) процесса $т(1) связана простым соотношением со спектральной плотностью мощности ВВ (ю) стационарного в широком смысле процесса $(!). Подставляя (4.128) в (4.80), получаем Вв.
(ез) = 2 ) Вв (т) (2 ехр ( — 1 езт)— ОФ вЂ” ехр ( — 1 аз (т — ' Т)] — ехр ( — (с» (т+ Т))) д т = = 4 (1 — соз оз Т) ) ВВ (т) ехр ( — 1 оэт) с( т 0 В соответствии с (4.94) и (4.130а) взаимная спектральная плотность $(1) и Кт(1) 544т (а) = 2 ) В41. (т) ехр ( — 1ат) с( т = ОО Ф =2 ) (Вз(т+ Т) — Ва(т)] ехр ( — 1ат) бт= Э = (ехр(1 аТ) — 1) 2 )Вз(т) ехр( — 1ат) дт или Зыт (а) =(ехр(1аТ) — 1)о4(а).
(4.132) 4.5.2. Непрерывный случайный процесс. Случайный процесс называется непрерывна1м в момент времени 1 в среднеквадратическом ', если !А и, (Я (1 + Т) — $ (1) ) в) = О. (4.134) Случайный процесс, непрерывный при всех значениях 1 на некотором интервале, называют непрерывным на этом интервале.
Из (4.125) следует, что необходимым и достаточным условием непрерывности случайного процесса в точке 1 в среднеквадратическом является непрерывность его корреляционной функции при 1ь=12=11 Нт Вз Д, (в) = Вз (1, 1) = т, Д' (1)) ( оо, т,. ь ~ Для стационарного в широком смысле случайного процесса $(1) из (4.129) следует, что необходимым и достаточным условием его непрерывности всюду (т. е. при любом 1) в среднеквадратическом является непрерывность корреляционной функции В1(т) при т=О, иными словами, ограниченность средней мощности про- цесса (4.135) СО Вз(0) = — ~51(а) йо (оо, 2" о (4.136) Из условия (4.136) следует, что спектральная плотность мощности непрерывного случайного процесса должна убывать при а- оо быстрее, чем а о+'>, е)0.
' Ив непрерывности в среднекввдрвтнческом следует непрерывность по веронтностн (см. и. 3.4.1). 114 Действительная и мнимая части этого спектра соответственно 044 (а) = — 234 (а) з(п~(аТ)2), (4.133а) Ъ 41г(а) = Яь(а) з1паТ. (4.133б) Докажем, что корреляционная функция Вй(т) непрерывного в среднеквадратическом случайного процесса непрерывна при любом значении аргумента т.
Так как ) Вй(к+Т) — Вй (т) ( = ) т, (й ((+т+Т) й(т) — В(1+т)й(г)) ( = ) тз([$(() — ай1 [я(з+ +т+Т) — еь((+т) )) ! = ~сон(еь, еьт) ~ < [)ьз(еь(()))ьт(вы(Е+т))) п~ и )ьзЯ(())(оо, а 1пп)ьз(йт(Ю+т))=О, то !пп)В1(т+Т) — Вй(т) [= т о т с =О, что и доказывает приведенное выше утверждение. Отсюда также следует, что для непрерывности корреляционной функции стационарного в широком смысле случайного процесса при любом и необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна в начале координат к=О '. 4.5.3. Производная случайного процесса.
Случайный процесс дифференцируем в точке ( в среднеквадратическом' если существует такая случайная функция $'(т), называемая производной в среднеквадратическом процессе $(г) в точке т, что Иш т, Е~ й "+, ' ~(".— В'(Е)1*~ = О. (4.137) т-о 1 Е4 н) Т( Из определения (4.137) производной случайного процесса следует, что для формулировки условий дифференцируемости случайного процесса и расчета вероятностных характеристик его производной необходимо исследовать предельные вероятностные характеристики последовательности случайных величин (1/Т) $т(т) при Т- О. Дифференцируемость в среднеквадратическом случайного процесса $(() обеспечивается непрерывностью в среднеквадратическом ее производной $'(1).
Поэтому определим корреляционную функцию производной Вй ((ы (,) = Игптз Ят ((,)~т ((,))Тв) = Игп — Вйт((„(з), (4.!38) тототз где Вй (гп гз) определяется согласно (4.124). Разложим первые три члена правой части (4.124) в ряд Тейлора: Вй((з+Т, (,+Т) =Вй((„(з)+Т( — + )+ Тз тдзВй дзВй деВй й ' Для нестационарного процесса из непрерывности корреляционной функции й(Го Г,) при О=за=1 следует ее непрерывность по любому из аргументов й и Гз. ' Из дифференцируемости в среднеквадратическом следует дифференцируемость по вероятности 1пп Р ( ! — й'(Г) ~ >е) =О при произвольном в>0.
!15 В4 ((„то + Т) = В4 (!» 1,) + Т вЂ” + — — + о (Т'), дВ4 Тз доВ4 дВ4 Тз дзВ4 В4(!1+Т, (з) =В4((т !з)+Т вЂ” + — +о(Т ) ° дт, 2 д)~! Подставляя эти выражения в правую часть (4.138) и учитывая, что 1пп о(Тз)!Те=О, получаем после перехода к пределу т- о (4.139) Формула (4.139) устанавливает связь между корреляционны- ми функциями случайного процесса и его производной. Из этой формулы следует, что непрерывность второй смешанной произ- водной корреляционной функции случайного процесса при й= =!з=! является необходимым и достаточным условием его диф- ференцируемости в среднеквадратическом. Среднее значение производной случайного процесса ат (!) = т,($'(!)) = !питп,($т(!))Т) = !пп аа(!+ Т) — а4(!) ; (!), т- о т- о Т т.
е. а4 (т) =а'(!). (4. 140) Определим взаимную корреляционную функцию дифференци- руемого в среднеквадратическом случайного процесса 5(!) и его производной $'(!). Разлагая правую часть (4.126а) в ряд Тейло- ра по переменной !з, получаем дВ4(й, !з) 4 Ватт(! !з) Т д! + о(~ ) откуда дВ1 (1„те) В44 (1, (,) = 1!штт(5(!т)ат (1,)1Т) =1ппВ4 т(!и 1,)1Т= то то ~ д!з т. е. д!з (4. 141) 4.5.4. Корреляционные и спектральные характеристики производной стационарного в широком смысле процесса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
