Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(4.165а) -г 4.5.9. Распространение теоремы Котельникова на случайные процессы. Рассмотрим следующую систему ортогональных функций, заданную на всей действительной оси ( Фь(г)=, Й=О, ~1, ~2,.;., А)0. Ы вЂ” лл Вследствие фнльтрующего свойства функций (4.166) (см., например, Приложение Ч1 в 11]) ь ~~~(О мп(Ы ап) з в(г Йн ) (4.167) л Ы вЂ” лп ~ Ь т.
е. координаты сигнала в базисе (4.166) представляют последовательность значений случайного процесса в моменты времени, следующие через равные интервалы и/Л. Если спектральная плотность мощности случайного процесса $((), стационарного в широком смысле и непрерывного в средне- квадратическом, ограничена полосой частот ~а~(Л, т. е. 32(а) О, (а) ) Ь, (4.168) то имеет место следующая интерполяционная формула (в среднеквадратическом) (4.169) (,) Формула (4.169), обобщающая известную теорему Котельникова (теорему отсчетов) на случайные процессы, означает, что непрерывный в среднеквадратическом смысле процесс с ограниченным спектром полностью определяется счетным множеством случайных величин (координат случайного процесса) $ =я(пп/Л), п=О, -~-1, ~2, ...
Для доказательства формулы (4.169) следует убедиться, что корреляционные функции правой и левой частей втой формулы совпадают. Корреляционная функция правой части '( ) / л г ~ з1 и (Л г — л г) / и А ~ з! п [Ь (( + т) — и а) ) „~(, а ) а(-пг, „~ а / ар+т) — пь Е ЕВв и (г — А) 1 яп (Ь ( — и г) Ып (Ь ((+ ъ) — л а) ь .) (Лг — пг)(Л(г+т) — лл) гъ / пл 1 5!п(д'г — Ял) Ь ) Ьт — лл Но так как спектральная плотность 54 (в) ограничена полосой )ы1<Ь, то по теореме Котельникова для детерминированных функций имеет место следующая интерполяционная формула для ее преобразования Фурье, т.
е. для корреляционной функции про- цесса (4. 171) ~Ь / Ьт — яа Сопоставление формул (4.170) и (4.171) завершает доказательство справедливости разложения в среднеквадратическом смысле случайного процесса а(1) в ряд (4.169). Заметим, что координаты (4.167), вообще говоря, коррелированы, так как лт,($ь$„) =Вз[~(й — г)!А]. (4.172) Исключение составляет процесс, спектральная плотность мощности которого постоянна в полосе частот ~ы1<Л, так как в этом случае Вт (т) = В т (О) з(п тЛ7(тЬ) и, следовательно, согласно (4.172) /п1 (Ы4 =Вз (0)бм, т, е, координаты процесса в этом случае некоррелированы. 4.6. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ жтБРОООВ случлинОГО пРОцессА Р(хэ:Дх<$(1)<хм $'(1)) О)= ( ( ш (х, у, 1)6хДУ.
О х~-Ь» При достаточно малом Ы внутренний интеграл можно заменить выражением иа(хо, у, 1)Лх=ушэ(хв, у, 1)Ы, и тогда Р(х -дх<$(1) <х, $'(1))0) = Л()У~э(хм Уг ")~(У в1(хм 1)Л(г о (4.173) где (4.174) Г23 4.6.1. Среднее число пересечений. Рассмотрим дифференцируемый (по меньшей мере) по вероятности (см. п.
4.5.3) случайный процесс $(1). Вероятность пересечения случайным процессом Ц1) заданного уровня х=хо снизу вверх (т. е. с положительной производной) в достаточно малом интервале времени Ы совпадает с вероятностью неравенств х,— Ьх<$(1) <х„"~() >О. Пусть шэ(х, у, 1) — двумерная плотность вероятности процесса $(1) и его производной $'(1) в совпадающий момент времени 1. Тогда указанная вероятность Разобьем теперь интервал времени '(1, 1+Т) на У неперекрывающихся малых интервалов (1с, 1с+А1с) промежуточными точками 1=6!<!!« ...
И~с=1+Т, Ыс=(ть! — 1с. Для каждого из указанных интервалов времени определим случайную величину ть равную единипе, если 5(с) на интервале ((с, 1!+Ос) пересекает уровень х=х, с положительной производной, и нулю, если такого пересечения не происходит. Эти случайные величины являются своеобразными счетчиками пересечений. Ясно, что общее число пересечений на интервале (1, 1+Т) равно т= Х ть Пред!-! полагается, что А1с столь мало, что вероятностью более одного пересечения можно пренебречь.
Так как вероятность того, что то= 1, определяется по формуле (4.173), то среднее значение Мс(хо, 1, Т) числа пересечений с положительной производной уровня х=хо на указанном интервале М (х,'$;Т) =тс(ч)= ,'~ тс(тс) с 1 = ~,'Р(хо — Лх,<5(1,) <х„5'(Е,)~0) = ~,'в,(х„, Фс)А1с. с=! с Переходя к пределу при су — оо, находим среднее число пересечений уровня х=хо с положительной производной на интервале (1, 1+Т) с+т с+т» М,(хо 1 Т)= ( вс(хо 1)с(1= ~ ~унсо(хо у, 1)сИ)с(уЖ. (4.175) о Среднее значение числа пересечений с положительной производной уровня хо в единицу времени с+т йс(хо 1 Т)=Мх(хо 1 Т)1Т= — ~ ~унсо(хо у, Ос(уй. (4.176) о Для стационарного случайного процесса его совместное распределение с производной в совпадающие моменты времени не зависит от с, и среднее число пересечений с положительной производной уровня хо в единицу времени постоянно и равно к! (х,) =, (х,) = )" у с, (х„у) с(у. (4.177) о Аналогично находим среднее значение числа пересечений уровня х=хо сверху вниз (т.
е. с отрицательной производной) на интервале (1, 1+Т) с+т М;(х„1, Т) )" о,'(х„"!)с(1, (4.178) с где вс(х, 1)= — ~унсо(х, у, 1)с(у ~(у!'исо(х, у, 1)с(у. (4.179) Однако в силу четности по переменной у совместного распределения процесса и его производной в совпадающие моменты времени о*,(х, 1) =ш(х, 1) (4.180) и, следовательно, М*,(хс, 1, Т) =М~(хю, 1, Т). (4.181) Для стационарного случайного процесса Л*~(хс) =М*~(хс, С Т)!Т=Л~(хс) =о~(хс). (4.182) Среднее значение в единицу времени общего числа пересечений Х (х,) = 2Лт (хе) = 2) уша (хо у) с(у. (4.183) о 4.6.2. Средняя длительность выбросов случайного процесса.
Для решения многих практических задач необходимы вероятностные характеристики длительностей выбросов случайного процесса й(1), где под длительностью Ь, выброса понимается отрезок времени, в -ечение которого й(1) превышает заданный уровень х=хс. Наряду с этим представляет интерес длительность интервала ь„между выбросами (отрицательного выброса), т. е. отрезок времени, в течение которого й(1) не превышает заданный уровень х=хс (рис. 4.12).
Нетрудно определить среднее значение длительности выброса над уровнем х=х, эргодического случайного процесса. Рассмотрим относительное время пребывания реализации этого случайного процесса над уровнем хс за время Т. Согласно эргодическому свойству 1см. (4.33)] при больших значениях Т эта величина приближается к Р Д (1) )хс) = 1 — Е~ (хс), и, следовательно суммарное время пребывания процесса 5(1) над уровнем хс асимптотически приближается к 11 — Т,(хс)1Т, где Р,(х) — одномерная функция распределения случайного процесса й(1).
За достаточно длительное время Т общее число интервалов, на которых й(1)) )х,, равно среднему числу выбросов за это время, т. е. равно Л,(хс) Т. Среднее значение длительности выбросов лгв(~а) = (1 — Т~ (ха)1йю (хс). (4. 184) Подобным же образом получаем выражение для средней длительности интервалов между выбросами эргодического случайного процесса ' лг~(~а) = У~(хо)/Л~(хс). (4.185) Отметим, что среднее число выбросов совпадает со средним числом пересечений случайным процессом заданного уровня с ~ Формулы (4.184) и (4.185) являются частными случаями более общей формулы среднего времени пребывания аргодического процесса в заданной области, определяемой двумя порогами х~ и ха (см., например, (33)), 125 Рис.
е.!2. Выбросы случайного процесса а 0(х, 1) = ) (г! пуп(х, О, г, 1) еУг. (4.187) юа Формула (4.186) определяет также среднее число максимумов на интервале (1, 1+Ду), значение которых заключено между х — Дх и х. Среднее число максимумов указанной величины в единицу вре- мени равно са(х, 1)Дх, а для стационарного процесса 6(х)Дх. Для стационарного процесса среднее число максимумов в единицу времени, значение которых превышает ха, гг „(х,) = ) 0 (х) е(х, аа а среднее число максимумов любой величины ° а а Кшаа( — оо) = )О(х)е(х= ) ) 1г~ иУа(х, О, г) ого(х= (4.188) а = Рг( (О г)" (4.188а) 126 положительной (или с отрицательной производной 1см. (4.176) и рис.
4.12). 4.6.3. Экстремумы случайного процесса. Пусть й(1) — непрерывный, дважды дифференцируемый по вероятности случайный процесс. Вероятность того, что на достаточно малом интервале '(1, 1+Ду) случайная функция й(1) будет иметь максимум, величина которого попадает в интервал (х — Дх, х), совпадает с вероятностью неравенств х — Дх<К(1)<х, — Ду<й'(1) <О, йп(1) <О, Если гаа(х, у, г, 1) — трехмерная плотность вероятности процесса 6(1) и его первых двух производных в совпадающие моменты времени 1, то эта вероятность при достаточно малом Д1 Р(х-Дх<$(1)<х, -Ду<$'(1)<О, $'(1)<О) = а а о )ува(х, у, г, 1)г(хг(удг= а — ь» — ьао о = — Дх )Дува(х, О, г, 1)пг= — ДхД( )гсаа(х, О, г, 2) е(г=- Ф = 6 (х, 1) Д х Д 1, (4.186) где где ш~(у, г) — совместное распределение первой и второй производных процесса. Отношение 6(х)/яма>( оо) представляет плотность вероятно сти максимумов.
Аналогично (4.!96) вероятность того, что на достаточно малом интервале А! случайная функция $(/) будет иметь минимум, значение которого попадает в интервал (х — Лх, х), Р(х — Ах<5(!)<х, 0<5'(!)<'ду, $" (1)>0)= =Ьхй!)ги>,(х, О, г, 1)с(г=Н(х, М)Ахи!, о (4.189) где Н(х, 1)=)гш,(х, О, г, !)Ж о (4.190) Формула (4.189) определяет также среднее число минимумов $(!) на интервале (!, /+Л!), значение которых заключено между х — Лх и х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
