Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Непосредственное приложение классического гармонического анализа к случайным процессам невозможно. Это следует из того, что реализация случайного процесса не удовлетворяет условию абсо- лютной интегрируемости, т. е. ) <з<ь> (/)[ <1/= со, (4,74) (4.76) 101 и, следовательно, «амплитудныйэ спектр такой реализации не существует (неограничен) при любых частотах. Чтобы преодолеть возникающее затруднение, в качестве спектральной характеристики случайного процесса была введена спектральная плотность мощности.
Рассмотрим реализацию $<ь>(/) случайного процесса $(/). Пусть в<">т(/) — усеченная реализация, равная нулю вне интервала )/)(Т/2 и совпадающая с $<">(1) внутри этого интервала. Спектр (преобразование Фурье) финитной функции ф<">т (/) Тт> (в) = [ В<ть>(/) ехр ( — 1в 1) <К/. (4,75) — т/з Из (4.75) следует, что прн Т-+.оо спектр Х<">т(в) неограничен на любой частоте в. Если Ц<'>т(/) — напряжение или ток на нагрузке 1 Ом, то средняя мощность на частоте в, отнесенная к полосе /з/=17Т, т. е.
спектральная плотность мощности усеченной реализации, б<ть> (в)= — '!Ф>(вн = Т т/з тм — — $Й> (/<) Ц> (/,) ехр ( — < в (1, — 1,)) Й, Йз. При Т- со случайная величина бт(в) (на множестве реализаций) не стремится, вообще говоря, к определенному пределу (в [60, п. 3.5.5] показано, что дисперсия этой величины при Т вЂ” ~ос остается конечной на любой частоте в). Поэтому в качестве спектральной характеристики принимают предел при Т вЂ” оь среднего значения спектральной плотности мощности усеченной реализации ЯЗ(в) = 1пп и>, (б<"> (в)) = В>п — и>< ([2<">(в) [').
(4.77) т т Т Функцию 51(в) называют спектральной плотностью средней мощности случайного процесса В(/). Эту функцию для краткости иногда будем называть спектром. 4.3.6. Теорема Хинчина — Винера. Из (4.76) следует, что среднее по множеству реализаций случайной величины бт(в) т/2 т/2 Бт (в) - п<,(бт (в)) = — ( [ и>, ($ (/>) $ (1,)) Х вЂ” т/я — т/2 х ехр [ — 1в (1, — 1,)) с[1, <((„. о + )~тров,ь~ р~ ~ иа,] или Бт (в) = 2 ~ ~ 1 — — ) Вг (г) ехр ( 1 ат) дт.
!г! ~ (4.79) т) Из (4.79) при Т вЂ” сс следует 51(в) = 11шЗт (а) =2 ~В1(т) ехр( — 1ат)сй т (4.80) при условии, что корреляционная функция абсолютно ннтегрируема, т. е. что ~~В (Ис( < (4.80а) Вводя корреляционную функцию Вг (Гь Гг) процесса $(1) можно Ят(а) представить в виде ттг т(г Вт(в) — ) ) Ва(1„1г)ехр( — 1в(1г-Сг))оггйг. т Предположим, что случайный процесс $(1) стационарный (по крайней мере, в широком смысле). Тогда Вт(1ь Гг)=Вг(6г — Ц и, следовательно, тгг т~г Бт (в) — ) ' ) Вг(1г — Гг)ехр(-1в(1г-1г))с11 с(1г. (4.78) -ттг -т!г Разбивая в (4.78) область интегрирования по Гь 1г на две вдоль диагонали квадрата и вводя переменные я=1~ †, Гг для области над диагональю (т)0) и т=6г — 1г, — Гг для области под диагональю (т(0), получаем (рис.
4.7) Г и т/г Ьт (а) — ~1 1 Во(т) ехр( — (ат) юг с(т+ о г — (т(г) о с+~т~гг + ( 1 Ве(т) ехр( — 1вт) йг дт — — 3"/г 2Гт = — ~ )" (7' — т) Вг (т) ехр ( — 1 оп) <И -1- о Рис. 4.7. Область интотриро. линни 102 Для того чтобы выполнялось условие (4.80а) необходимо, чтобы процесс $(1)' был центрирован. Формула (4.80) означает, что спектральная плотность мощности стационар- ного в широком смысле случайного процесса получается преобразованием Фурье корреляционной функции этого процесса.
Отсюда следует также, что корреляционная функция получается обратным преобразованием Фурье спектральной плотности стационарного в широком смысле случайного процесса. 6 Ва(т) = — ) ой(ю) ехр((ют) (ю 4п (4.81) Формулы (4.80) и (4.81) являются аналитическим представлением теоремы Хинчина — Винера: корреляционная функция и спектральная плотность мощности стационарного в широком смысле случайного процесса являются парой преобразований Фурье [11, 121.
Замечая, что ) Вй (т)з(пюЫт=О ввиду четности корреляци- М онной функции, перепишем (4.80) в тригонометрической форме Яй(го) = 4) Вй(т) сов ютг(т. о (4.82) Из (4.77) и (4.82) следует, что спектральная плотность мощности является неотрицательной, непрерывной, четной функцией частоты, причем имеется в виду четность (симметрия) относительно нулевой частоты, т. е. Вй(го) =54( — со).
Используя свойства четности функции 5' ), перепишем также и (4.81) в тригонометрической форме М Вй(т) = — [Яй(ю) совшкол ш. йм о (4.83) Из (4.83) при т=О находим, что средняя мощность стационарного в широком смысле случайного процесса (4.84) а спектральная плотность мощности при в=О [см. (4.80)) «« Вй (0) 2 [Вй (т) 1(а (4.85) равна удвоенной площади, ограниченной корреляционной функ- цией. 4.3.7.
Соотношение неопределенности. Корреляционная функция Вй (т) и енергетнческий спектр В«(ю) стационарного н в«проком смысле случайного процессе как пара преобрааонаннй Фурье обладают всеми присущими атому преобразованию свойствами. В частности, чем юпнреь спектр Юй (ю), тем «ужеь корреляционная функция Вй (с) и наоборот. 103 Площадь, ограниченную крввой спектра, отнесенную к спектральной плотности на некоторой характерной частоте, называют шириной полосы спектре 1 8$(ы) йю Ва(0) 2" о~ 84(ые) 88('еа) Эту велившу можно трактовать как ширину равномерного в процесса, эквивалентного данному ло средней мощности. Если 84(0))84(ю), ю)0, то велиину Ь, определяют ез«=0: (4.86) полосе спектра нз (4.86) при 84 (ю) В ы Вй (0) й = — ) (4.87) 2зз о 84(0) 84(0) Согласно (4.71) интервал корреляции стационарного в широком смысле центрировавного случайного процесса при Вй(т)жО (см.
также (4.85)) Вй(т)йт 1 84(0) оз Вй «О) 4 Вй (0) Из (4.87) и (4.88) следует тай«1/4, (4.89) (4.88) (4.91) где черта сверху указывает на комплексно-сопряженную величину. Применяя с небольшими изменениями метод, использованный при выводе соотношения (4.80), можно установить связь между 104 т. е. произведен~не интервала корреляции на ширину полосы спектра — постовнная величина. формулу (4.89) можно назвать соотношением неопределенности (по аналогии с известным соотношением в квантовой механике). Она получена при усновии, что корреляционная функция неотрицательна и 88 (0)чьо.
Можно снять эти ограниченна, если определвть эффективный интервал корреляции и эффективную ширину полосы спектра как «радиусы инерции> квадратов соответствующих функций: «« «« ) т>В,'(т) йт/ ) В,'(т)йт, (4.90) «« « ае= ) ю 84(ю)йю / ) 84(ю)йю — «> Ы Лля величин тз и Ь«, определенных иэ (4.90) и (4.91), соотношение неопределенности записывается в виде той« ~1/2.
(4.92,) 4.3.8. Взаимная спектральная плотность. Аналогично изложенному в и. 4.3.5, рассматривая усеченные реализации 01азт(т) н т)<ззт(1) случайных процессов й(1) и Ч(1) н вводя преобразования Фурье Л'781(ш) н Я'т~ч' (ю) этих усеченных реализаций, можно определить взаимную спектральную плотность случайных процессов Яйч (ш) = Вш тз 1 — Л1.
1 (ш) Х тч (ш) ~, (4.93) взаимной спектральной плотностью и взаимной корреляционной функцией стационарных и стационарно связанных (в широком смысле) случайных процессов: О Яеч(в) = 2 ~Вез(т) ехр( — 1вт) !(т, (4.94) 1 Веч (т) = — )" Яач (в) ехр (1 вт) Йо. 4я (4.95) а=! Из (4.97) непосредственно следует формула для корреляционной функции процесса ~((): Вс (т) = 2; Ва (т) + 2' 2' Вз. ! (т). а=! 1=! /=! !Ф/ Преобразованием Фурье от обеих частей (4.98) получаем спектральную плотность мощности суммы зависимых случайных про- цессов (4.98) ВС(в) = ЕВ1„(в)+ Х ХВ1,.1,(в) (4.99) к=! !-! 1=! !Ф1 Если суммируемые случайные процессы некоррелированы между собой, то корреляционная функция суммы равна сумме корреляционных функций слагаемых, а спектральная плотность мощ.
ности — сумме спектральных мощностей слагаемых. 105 Таким образом, взаимная спектральная плотность и взаимная корреляционная функция представляют пару преобразований Фурье. Необходимо отметить, что в отличие от спектральной плотности мощности стационарного случайного процесса, который является действительной четной функцией частоты, взаимная спектральная плотность двух процессов — комплексная, так как функция В1„(т) не является, как отмечалось, четной. Представляя взаимную спектральную плотность в виде Вва(В) =Г!1Ч (В)+!Раа(В) ° получиМ Г1ва (В) =(1аа ( — В) )Гаа(В) = = — У1„( — в), т.
е. ДействительиаЯ часть фУнкЦии 51ч (в) — четная, а мнимая — нечетная. Тогда из (4.95) ! 1 Ва,(т)= ~Уач(в)созвта(в — — ~)гтч(в)з!пвт!(в. (496) х!! а хя а Из (4.72) следует, что взаимные спектры Яеч (в) и Вча (в) являются комплексно-сопряженными величинами. 4.3.9. Энергетические характеристики суммы случайных процессов. рассмотрим сумму стационарных и стационарно связанных случайных процессов ь(() = Х$. ((). (4.97) 4.3.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
