Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пример стационарного в узком смысле случайного процесса. Рассмотрим случайный процесс $((), представляющий гармоническое колебание, у которого амплитуда и частота постоянные, а фаза — случайная величина: $ (~) =Ао з1п (ооо(+ор) . (4.30) Покажем, что необходимым и достаточным условием стационар- ности в узком смысле является равномерное распределение фазы вч(д)=1/2п, 0(д(2п. (4.30а) Ясно, что любая конечномерная функция распределения процесса (4.30) полностью определяется распределением случайной фазы и, следовательно, для доказательства инвариантности функции распределения процесса относительно сдвига переменной г необходимо и достаточно доказать указанную инвариантность для распределения случайной фазы.
Пусть (1=1 — (о. Тогда из (4.30) следует 5 ((~) =Ао з1п (ооог1+чч), $~=9+Оо, до=ооого. (4.31) Плотность вероятности случайной фазы у процесса 9(() и случайной фазы ~, процесса 9(~,) после временного сдвига изображены сплошными линиями на рис. 4.3,а,б. Так как фазы, отличающиеся на 2п [см. интервалы (О, бо) и (2п, 2п+Оо)1, не изменяют значений процесса, то при условии (4.30а) во,(д) — во (д), т. е. равномерная плотность вероятности фазы инвариантна сдвигу процесса во времени (штриховая линия на рис.
4.3,б). Но при неравномерном распределении фазы случайный процесс (4.30) 90 11' Итр 1'У) в~, 1'т) 1/тт 11(гя р зга:тгеФ г рь Хттетй тГ Ю/ г) Рис. 4.8. Плотность вероятности фазы, инварнаитная (а, б) н иеииварнантная (а, г) саниту перестает быть стационарным, как это иллюстрируют рис. 4.3,вг (плотность, изображенная штриховой линией на рис. 4.3,г не совпадает с исходной плотностью, изображенной на рис. 4.3,в). Заметим, что при равномерном распределении случайной фазы процесс (4.30) сохраняет свойство стационарности в узком смысле и тогда, когда амплитуда А становится случайной величиной, не зависящей от времени, так как в этом случае инвариантность функций распределения процесса относительно сдвига определяется инвариантностью к сдвигу только распределения фазы.
4.2.4. Стационарность в широком смысле. Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его среднее значение не зависит от времени: т,Ц (()) =аз, а его корреляционная функция зависит только от разности моментов времени: тпзД(т)$(1+т))=Вь(т). Ясно, что (4.27) и (4.28) являются не только необходимыми, но и достаточными условиями стационар- ности случайного процесса в широком смысле. Случайные процессы, стационарные в узком смысле, стационарны, конечно, и в широком смысле, но обратное, вообще говоря, неверно.
4.2.5. Эргодическне случайные процессы. Стационарный в узком смысле случайный процесс называется эргодическим, если любая его вероятностная характеристика, полученная усреднением по множеству реализаций, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, равна временному среднему, полученному усреднением за достаточно большой промежуток времени из единственной реализации случайного процесса. Из эквивалентности двух способов усреднения по множеству и по времени следует, что для определения вероятностных характеристик эргодического случайного процесса нет необходимости изучать совокупность ре- 9! ализаций, которыми исследователь, как правило, не располагает, а достаточно одной реализации, наблюдаемой в течение длительного промежутка времени. Рассмотрим некоторую реализацию $<а>(1) случайного процес.
са на интервале времени ( — Т, Т). За период 2Т суммарное время пребывания реализации ниже порога х (рис. 4.4) т т~та1 (х) = 2; Л [е = (и [х - $<~~ (Ю)] еМ, — т называется относительным временем пребывания реализации 9<а)(1) ниже порога х. Для зргодического процесса относительное время пребывания реализации не зависит от того, какая выбрана реализация, и совпадает с одномерной функцией распределения стационарного случайного процесса т Р (х) = Игп — ] и[х — ~'"~(1)]й. (4,33) т 2Т Дифференцируя обе части (4.33) по х и учитывая (2.17), на- ходим т ге, (х) = 1[гп — ] 6 [х — 3<а> (С)] Й. т~ 2Т т (4.34) Из (4.34) следует ЮО лг„= та($а (1)) = 1х" геа (х) е[х = СО т = 1[го — ~ ~х" б [х=5'и ([)] дхг[1 т — а 2Т т = 1[то — ] [$<а1 (1)]" М.
гт~ 2Т Рис. 4.4. Реализации слу- л "а ~ЛГл ~ ~ о чайного процесса 92 где и(г) — функция единичного скачка [см. (2.7)1. Предел т 1тп тф) (х)/(2Т) = 1Ьп — )' и [х — яга1 (1)] Ю (4.32) т „т т 2Т вЂ” т Обозначая символом ( ) усреднение по времени, получаем соотношение т~=тп>Д" (Ц) =([5<к>(1)]н) (4.35) которое устанавливает равенство между моментом и-го порядка эргодического процесса и усреднением по времени и-й степени произвольно выбранной реализации этого процесса.
В частности, величину (~" (1)) можно трактовать как постоянную составляю>цую реализации, которая в соответствии с (4.35) равна среднему значению эргодического процесса: аг=п>>я(1)) =- ($ы> (1)). (4.36) Если В>ь>(1) представляет изменение напряжения или тока на нагрузке 1 Ом, то (Д('>(1)]г) равен средней мощности (квадрату эффективного значения) реализации. Тогда в соответствии с (4.35) тг =>и> дг (1) ) =(ДМ>(1) ]'), (4.37) т. е. средний квадрат эргоднческого случайного процесса равен средней мо>цности любой его реализации.
Соотношения (4.33) и (4.34) обобщаются очевидным образом иа двумерную функцию распределения и двумерную плотность т Рг(хг, х„т)=1[ш ) и[х,— Р'>(!))и[х,— $ы>(1+т)[й(, (4.38) т 2Т т и>г(х>, х, т) =Вт — ] б[х> — $ы>(1)) б[х,— $ы>(1+к)) й(. (4.39) т 2Т вЂ” т Из (4.39) следует т Вг (т) = Д<г> (1) $<г> (Г+ т)) = 11т — ] Кы> (1) $ы> (! + т) сК (4.40) т 2Т вЂ” т т.
е. корреляционная функция эргодического случайного процесса равна временнбй корреляционной функции любой его реализации. В наиболее общем виде свойство эргодичностн случайного процесса выражается соотношениями т л Р„(х", т")=11т — ] Пи[х,— $ы>;(1+т>))й), т>=0, (4.41) т-~: 2Т т я гс„(х>, т") =!пп — ] Пб[х,— $ы>(1+т>)]й(, т>=О, (442) г т 2Т вЂ” т т„(тг, ..., т„) = ($ы>;(1) $ы> (1+ тг) ... $ы> (1+ т„)) . (4.43) Стационарный процесс называется эргодическим в широком смысле, если среднее значение процесса совпадает с постоянной составляющей его реализации, а корреляционная функция — с временнбй корреляционной функцией реализации.
4.2.6. Условия эргоднчности. Необходимым и достаточным условием эргодичности стационарного случайного процесса является так называемая метрическая транзитивность процесса. Стационарный случайный процесс метрически транзитивен, если любая часть совокупности реализаций процесса, вероятностная мера которой меньше единицы, уже не является стационарной. Если же указанная часть реализации процесса сохраняет свойство стационарности, то процесс не является метрически транзитивным и, следовательно, эргодическим.
Образно выражаясь, можно охарактеризовать метрическую транзитивность как «ортодоксальный коллективизм» совокупности реализаций, которая теряет стационарность вместе с потерей части «членов коллектива». 4.2.7. Пример эргодического случайного процесса. Рассмотрим снова гармоническое колебание (4.30), у которого амплитуда и частота постоянные, а фаза — случайная величина, распределенная равномерно на интервале (О, 2я). Как было показано в п. 4,2,3, это колебание представляет стационарный в узком смысле случайный процесс. Рассмотрим часть совокупности реализаций процесса (4.30), определяемую неравенством 0(ф(4п/3 (рис.
4.4,а). Ясно, что 3 ) 2гс 3 3 Заменяя переменную ~г=( — ~а и полагая дю — — езсге=п, получаем для указанной части совокупности реализаций смещенную плотность, изображенную на рис. 4.5,а штриховой линией. Вследствие неразличимости двух значений фаз, отличающихся на 2я, указанная смещенная плотность приобретает вид, изображенный на рис.
4.5,б, который существенно отличается от исходной плотности (рис. 4.5,а, сплошная линия). Это означает, что для указанной части совокупности реализаций процесса (4.30) ше(6) Ф Фюе, (6), т. е. свойство стационарности нарушено и, следова- тельно, рассматриваемый стационарФр (гг) ный случайный процесс эргодический. Однако не каждый стационарный случайный процесс эргодический. В ка- г 1 честве примера рассмотрим гармониче- 1/Ргг) ~ ~ ское колебание (4.30) с постоянной ча- стотой еза, случайной фазой гр, равно- П 2аг У мерно распределенной на интервале а! (О, 2я), и независимой от фазы случайия (гг) ной амплитудой Л, распределенной по рэлеевскому закону.
Как отмечалось в и. 4.2,3, такое колебание сохраняет свойство строгой стационарности. Пусть часть совокупности реализаций Рис. 4.а. Эргоднческое гармоническое колейзгг ау ние со случайной фазой этого стационарного случайного процесса определяется неравенствами 0<А<го,м 0<9 <2п, где г,л — медиана рэлеевского распределения. Ясно, что Р(0<А<гоь, 0<ср<2п) =05. Но так как инвариантность функций распределения рассматриваемого процесса относительно сдвига времени определяется инвариантностью к сдвигу только распределения фазы, то стационарность сохраняется и для указанной части совокупности реализаций (с вероятностной мерой, равной 0,5). Следовательно, гармоническое колебание со случайной амплитудой и равномерно распределенной фазой служит примером стационарного, но не эргодического случайного процесса.
Нетрудно убедиться, что для этого процесса среднее по времени квадрата случайного процесса зависит от выбора реализации и принимает различные значения для двух реализаций. Например, если усредняются по времени следующие две реализации: 9~" (1) =з1п соь1 и ~м)(1) =2 з!и саь1, то ($ ('> (1) ] ') = Н2 и ( [ ~ м ) (1) ] ') = 2. 4.2.8. Случайные процессы, удовлетворяющие условию сильного перемешивання. Стационарный в узком смысле случайный процесс $ (1) удовлетворяет условию сильного неремешивания, если при т-~оо сь (т) = зцр ~ Р (А Д В) — Р (А) Р (В) / -~ О, АоМС, Вом ' — с-~- с (4.44) где порожденные случайным процессом 9(1) сигма-алгебры М' и М са о т)0, интерпретируются как прошлое (9(э), з<г) и будущее (9(з), з)1+т) процесса $(1).
Функция а(т), называемая коэффициентом сильного перемешивания, — числовая мера зависимости будущего процесса от его прошлого. Случайные процессы, удовлетворяющие условию сильного перемешивания, являются эргодическими. Если при т-+.оо 1Р(А О В) Р(А) Р(Н) ~ 0 АРМС . ВММ Р(А) — сс' С+с (4.44а) то стационарный в узком смысле случайный процесс удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания. Процесс, удовлетворяющий условию (4.44а) равномерно сильного перемешивания, удовлетворяет и условию (4.44) сильного перемешивания. Если а(т) — = 0 при т:- Т, то случайный процесс с сильным перемешиваиисм называют Т-завнсимым. В этом случае два значения процесса $(гс), $(1с+т) независимы, если ~т~ )Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
