Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 11
Текст из файла (страница 11)
д' дх' 3.3.3. Характеристическая функция гауссовской случайной величины. В соответствии с (3.66) характеристическая функция ез Если существуют моменты любого порядка, то, как следует из (3.69), характеристическую функцию можно представить рядом Маклорена !та( ) = 1+ Х ((о)' (3.70) Центральные моменты распределения связаны простыми соотношениями с производными от логарифма характеристической функции фе (о) =1и!9! (о), называемого кумулянтной функцией. Разлагая кумулянтную функцию в ряд Маклорена (в предположении, что этот ряд сходится), получаем !р! (о) = 1и Вт (о) = ~, '" ()о)".
(3.71) А! случайной величины, распределенной нормально с параметрами (а, о) Що) = - ) ехр ~~)ох — 1дх. 1 " Г. Г(х — а)д ) а 'К'2х ~ 2ад Заменяя з= — 1оо+(х — а)/о, показатель экспоненты в подынтегральной функции приводим к полному квадрату. После интегрирования приходим к следующему выражению характеристической функции гауссовской случайной величины: 6!(о) = ехр (1 ао — ода')2). (3.74) Кумулянтная функция гауссовской случайной величины !Р (о) = 1ао — о'пд!2.
(3.74а) Таким образом, для нормального распределения [см. (3.71а)) х!=а, хд=о', хд=О, А)3. (3.75) Найдем общее выражение для центральных моментов нормального распределения, используя (3.69) н учитывая, что центральные моменты совпадают с начальными при нулевом среднем значении (а=О): сРд ~'"" ада )!зд = ( — 1)" ехр'~ — ) = (2й — 1)!! одд (3.76) !!адд ! 2 / о 3.3.4.
Многомерная характеристическая функция. Характеристической функцией 61(т) совокупности случайных величин я= =($!, ..., $„) называется среднее значение случайной величины а ехр(! Х одад), причем компоненты вектора ч= (оь ..., о„) — дейд-! ствительные переменные. В соответствии с (3.15) 61(ч)=п!д(ехр()дг'4) = ) Гад(х) ехр(1т'х)бх, (3.77) !ю где !ад (х) — многомерная плотность вероятности совокупности случайных величин. Интеграл (3.77) сходится при любом действительном векторе ч, так как ~6д (т) ~ (1. Следовательно, 62 (ч) и и!а (х) являются парой преобразований Фурье и и!д (х) = — ) 61(ч) ехр ( — 1ч'х) Йт.
(3.78) (2а)а (а! По заданной характеристической функции 62„(ч"!) совокуп! ности случайных |величин я"!=($!, ..., 4 ) нетрудно, найти ха~рактеристическую функцию совокупности йд!=($!, ..., 4д), й(п, случайных величин 6 д (чд!) =- 1пп 6 „(т! ). д! л ~! ~д+! О (3.79) (3.80а) 3.3.5. Вычисление моментов и кумулянтов многомерного распределения. Многомерную характеристическую функцию можно использовать для определения смешанных моментов распределения совокупности случайных величин. Если существует производ- ная д»1+ "'+»и !З»(о,..., о„)=1»+" +' ! ...
)" х!*... х»а х л х !е»(х„...,х„) ехр (1 2;о,х„)йх, йх„, то и — Х», . ~=! д»'+" '+»» гн»,,..., »„($», .$ ) — д» Вз(о„...,о„Н, . (З.ЗЗ) ч»1... дч„л Э вЂ” 87 6$ Если 3"~ — совокупность н независимых случайных величин, то плотность их совместного распределения факторизуется » и! (х!) = Д ич (х»), переменные интегрирования в (3.77) разделяются и тогда В; ( ") = й Ва,( ) (3.80) т. е. многомерная характеристическая функция является произведением характеристических функций каждой из случайных величин. Условие (3.80), как н условие (2.43), является необходимым и достаточным для независимости случайных величин $ь...
...$. Пусть й и ц — два случайных вектора. Для,их незэвисимостн необходимо и достаточно выполнить условие Вач (ч, о) = !За (ч) 6ч (и). Логарифм многомерной характеристической функции !рз (ч) = 1и 9» (ч) (3.81) называется многомерной кумулянгной функцией. Разлагая (3.81) в кратный ряд Тейлора, получаем 1»'+ "'+»л ~р»(о,,..., а„)= Х н»„., »„о, '... о„", (3.81а) »,.,»„»»!" А ! где н»„„„»„— кумулянты высших порядков. Для совокупности независимых случайных величин из (3.80) следует $ „ (ч) = 2; !рз (о»).
(3.82) Кумулянты многомерного распределения . х!А. до+,,,+лл Простейшим кумулянтом двумерного распределения является ковариацня случанных величин 61 н $о (см. (2.46)1 дл,~~ Е, (о,,ол) а,л.) =.„-- (3.84а) где о,+л, л, л, т$1$з(о1 оо)= ~ ~~ мл, лр о1 о2 а,! А,! (3.84б) Из (3.84б) следует для Е (ол, о,) =( — 1)ло о 6и,(~ о). дно)" Используя (3.78), получаем 1311 длва~ (хд,хл) Г 1 ~л ~~ л л (дк )л ~ 2л~ х Э~д, (ов оо) ехр [ — 1 (ох х+ ох хо)! йьх боо = дол вл 1 (хо, хл) (дх1) л (дхл) л Следствием (3.84в) является соотношение (3.84в) '"„Щхуа,)уа.»= 7 1~(х1)пх.) Х (д )л 0 О дз ва л (хохл) Х ' * бххдх,= ) ) ~(л>(х,)Х (дх )л (дхл)л Х ~<л) (хо) в1,6, (л„хо) Ыхх аахм (3.84г) 3.3.6. Распределение вероятностей линейной комбинации случайных величин.
Как было показано в п. 3 1.14, чтобы определ~ить плотность совместного распределения линейной комбинации случайных ~величин, даже при независимости слагаемых необходимо вычислить кратный интеграл. Использование такого решения уже прн умеренном числе слагаемых становится практически невозможным даже при современной вычислительной технике.
Однако известно, что для характеристики линейных преобразований сигналов эффективно используется гармонический анализ (интеграл Фурье). Поэтому исследовать распределение вероятностей линейного преобразования значительно легче, если вместо плотности вероятности рассматривать ее «спектр» (характеристичес- 66 кую функцию), поскольку при этом решение указанной задачи упрощается.
Рассмотрим совокупность случайных величин $!, ..., $ и предположим, что известна многомерная характеристическая функция 6д (о„..., с„) этой совокупносги. Рассмотрим далее случайную величину !1, которая представляет линейную комбинацию случайных величин 5!, -., $ь (3.85) ч = ~ сд$д. д=! Характеристическая функция случайной величины !) откуда следует 6ч(и) = 6д(с,о, ..., с„о). (3.85) (3.87) Кумулянтиая функция линейной комбинации независимых случайных величин $!, ..., 6„ и !Рч (о) = 2, '!Рь (с„о), д 1 (3.87а) откуда следует х,„= ~ с!, х л, т=1,2... д-! (3.875) В частном случае, когда сд=1, Й=1, л, и все слагаемые имеют одинаковое РаспРеделение, т. е.
6дд (о) =6(о), !Рад (о) =!Р(о), из з 67 Таким образом, характеристическая функция линейной комбинации (3.85) случайных величин получается простой подстановкой о!=с!о, !=1, л в аргументах многомерной характеристической функции исходной совокупности случайных величин. Плотность вероятности линейной комбинации (3.85) находим путем однократного обратного преобразования Фурье (см.
(3.67)1. Конечно, такое упрощение задачи связано с предположением о том, что известна или может быть легко найдена многомерная характеристическая функция 6д (и). Такое предположение в некоторых случаях (практически интересных) ~имеет место. Дальнейшее упрощение решения расоматркваемой задачи возможно, если случайные величины $!, ..., 5„независимы.
Тогда из (3.85) и (3.80) следует '~ч! г;-: а 0„(с) = Ц 6! (сдо). д-! (3.87), (3.87а) находим характеристическую и кумулянтиую функции суммы независимых случайных величин: 9 , (о) = 9" (о), 2' Е» (з.вв) ь! (о) = и»р(о), Х Е» » 1 (3.88а) (з.ввб) где ч'= (оь ..., о )', а — вектор средних значений, К вЂ” ковариационная матрица, штрих указывает на транспонированную матрицу [см. (2.64)]. Кратный интеграл в (3.90) вычисляется путем линейного преобразования переменных интегрирования, приводящего квадратичную форму в показателе экспоненты к сумме квадратов (см.
гл. 11 в [6]). 68 откуда следует и ю алим. а,ХЕ» ' »-! Характеристическая функция суммы двух независимых одина- ково распределенных саучайных величин 9е,+е, (о) = 9' (о), (3.88в) а характеристическая функция разности таких случайных вели- чии 9Е, Е, (о) = 9 (о) 9 (' — о) = ! 9 (о) 1». (3.88г) Иа (3.88г) следует, что распределение разности независимых, одинаково распределенных случайных величин симметричное. ,Заметим, что формулы (3.87) и (3.88) легко обобщаются на векторные случайные слагаемые. Для этого достаточно скалярный аргумент о заменить векторным ч соответствующей размерности.
3.3.7. Характеристическая функция совокупности гауссовских случайных величин. Характеристическая функция совокупности п зависимых гауссовских случайных величин $», ..., $ л 1» л 9Е(о„..., о„) ехр ~ ! ~ а»о„— — 2; 2', о»а»г»»о»о»~, 2 Е» где а», о'» — среднее и дисперсия случайной величины $», а го— коэффйциент корреляции случайных величин $» н $». Формулу (3.89) легко получить, если использовать матричное представление 9е(ч)=(2я) ь~э(де(К) ь») ехр(1ч'ив х(и! — — (х — а)'К-' (х — а)) дх = ехр ((а'ч — — ч'Кч), 1 д ., 1 (3.90) 2 2 3.3.8. Распределение вероятностей линейной комбинации гауссовских случайных величин. Из (3.86) и (3.89) следует, что характеристическая функция линейной комбинации (3.85), в котоРой $ь ..., 6„— гаУссовские слУчайные величины, л лл л л 6„(о) = ехР (1о 2, 'с„а„— — 2; У. с,стз,оУН).
ь=! Обозначая (3.91) а= ~', с„а, о'= ~ 2„с,с,о,о;тп, ь=! ~=1 с=ч перепишем это выражение 6„(о) = ехр ((ао — о'о'/2). (3.92) Сравнивая (3.92) с (3.74), замечаем, что линейная комбинация произвольно зависимых гауссовских случайных ~величин представляет гауссовскую случайную величину, подчиняющуюся нормальному распределению вероятностей, со средним значением и дисперсией, определяемыми согласно (3.91). При этом следует заметить, что формулы (3.91) относятся к линейным комбинациям любых случайных величин ~см. (3.17) и (3.21)], а новым результатом применения метода характеристических функций является установление нормального распределения произвольной линейной комбинации любого числа случайных величин, подчиняющихся многомерному нормальному распределению.
Свойство инлариантности нормального' распределения по отношению к линейному преобразованию полностью характеризует этот класс распределений (подробнее см. в 171). 3.4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СУММ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 3.4.1. Сходимость последовательности случайных величин. Детерминированная числовая, последовательность зь ..., з сходится к величине з, т. е. имеет единственный предел 1пп з„ =з, если лдля любого е)0 существует такой номер К,, что при и)М, выполнЯетсЯ неРавенство 1зл — з~(е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
