Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 9
Текст из файла (страница 9)
(3.13а) к~ Рассмотрим также преобразование следующего вида: ('(х — х )"; х ) х„т ) О, (О, х( х,. Для определения плотности вероятности случайной величины т(=(($) следует воспользоваться формулой (3.13) при ))(х) = — О. Так как х)хо —" = и (х — х )' — ' = ту( — )))", у в О, ну лк то к, 1 Чуч(у) = 6(у) ~ п)й(х)([х+ — у ( — )))" а)к(хе+ ун'), у) О.
(3.13б) В частном случае линейно-ломаного преобразования (и=1) центрированной гауссовской случайной величины $Гч (у) = 6 (у) Р ( — '~1 + ехр 1 — — (у+ х )21, у и О, (3.13в) а / а ~/йя 1 2аа где г (х) — функция Лапласа 1см. (2.б8)1. 3.1.7. Среднее значение функции случайной величины. Пусть известна плотность распределения (а (х) случайной величины и требуется найти среднее значение ))=[(й). Конечно, для решения такой задачи можно по формуле (3.9) предварительно найти плотность вероятности уг"ч (у), а затем определить т1(т(). Но среднее значение л()(т)) можно определить, минуя промежуточ- Рис. 3.4.
Специальный случай преобразования случайной величины ный этап вычисления Кч (у), используя только исходные данные: плотность и з(х) и закон преобразования у=1(х). Разобьем область возможных значений случайной величины !! на непересекающиеся интервалы Лу!. !=1, 2, ... и запишем ис- комое среднее как предел интегральной суммы т,(т1) = )уруч(у) ду= 1!гп Х у!Р(!)енЬу!). птах зз! Событие пенЛу, эквивалентно объединению несовместимых собы- тий венЛхоь я=1, 2, ..., число которых равно количеству ветвей обратной функции х= — Ч!(у). Тогда, используя правило сложения, из эквивалентности событий получаем РАКЕЛУ!) = ~„'РЯяЬх!з) = ~!аз(х)!(х, з К! где область интегрирования и! представляет сумму малых ин- тервалов, содержащих все значения обратной функции !р(у!).
Так как ~вне;, то 1(х) =у! и у!Р(г!Ыу!) ж ) 1(х) !е! (х) г(х. з! После суммирования по !' и перехода к пределу получим т! (т)) = ~ ~ (х) !в! (х) Нх = т! Д ($)) (3.14) при условии, что интеграл (3.!4) сходится (абсолютно). При !" (х) =х", й)1 Если 1(х) = Р хд и $ представляет совокупность независи- з=! мых случайных величин, то из (3.15) следует л ! л л т,~Ц$,) = Ц ) хзв1 (х„)!(х„= Цт,($ь), з=! з=!— з=! (3.15а) Среднее значение произведения независимых случайных величин равно произведению средних значений сомножителей.
3.1.8. Среднее значение линейной комбинации случайных величин. Рассмотрим линейное преобразование совокупности слу- 4Э т,щ- )хзп!а(х)Их=та(ц, (3.14а) т. е. Й-й момент распределения можно трактовать как среднее значение случайной величины й-й степени. Аналогично !!ь(5) =тьД вЂ” т,) =т!(($ — т,)ь). (3.14б) Обобщая формулу (3.14), запишем для среднего значения функции векторной случайной величинь~ тг(!'(В) = )1(х) и!1(х) дх. (3.15) хл л т,(т1) = т,(с'Ц= ( с'хдсх(х) дх = с'аз = ~ сда! . хл д=! (3.17) Из (3.17) следует, что среднее значение линейной комбинации произвольно зависимых случайных величин равно линейной комбинации средних значений этих случайных величин. В векторной терминологии это свойство среднего при линейном преобразовании (3.16) можно сформулировать так: при усреднении скалярного произведения постоянного и случайного векторов постоянный вектор можно выносить за знак среднего.
В частности, скалярный множитель можно выносить за знак среднего т!(сЦ= =ст!(Ц. Далее, при сд=~1 из (3.17) следует, что среднее от алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической сумме средних от слагаемых. 3.1.9. Линейное преобразование совокупности случайных величин.
Рассмотрим линейное преобразование случайных величин Ф= ($!, -, $п) л Ч, = ~ са (зд — а!), ! = 1, и 13.18) !'= ! или Ч=С($ — а), (3.18а) "де Ч= (Ч!, ..., Ч„)', а= (аь ... а„), а,=т!($!) и С= (см) — симмет- ричная квадратная матрица произвольных констант. Из (3.18) с учетом (3.17) следует, что т!ддЧ!) =О, д=1, и.
Ковариационная матрица случайных величин Ч!, ..., Ч„К„= (Кд!), где л !! Кы = тд (Ч! Ч!) = т, [ 3; ~ си (з! — а,) (Ед — ад) см А !д=! Вынося, в соответствии с (3.17), знаки суммирования и констан- ты за знак среднего, получаем К„= СК,С, где С' — транспонированная матрица, которая совпадает с С, поскольку матрица С симметричная. 3.1.10.
Декорреляция совокупности случайных величин. Как известно из теории матриц [3), для любой симметричной поло- жительно определенной матрицы К д всегда можно найти такую ортогональную матрицу С, что произведение Скд С' — диагональ- 50 (3.19) чайных величин ь'= ($!, ..., $„)' с известной и-мерной плотностью вероятности и д1 = й;сань=с'й, (3.16) д=! где с'= (сд, ..., с„)' — вектор-строка произвольных констант, Согласно общей формуле (3.15) Р [В] = 1'„= 2, ')'„, = 2; Р (Ас) (3.24а) с и при достаточно малых «объемах»' областей 5„У 5 )су 1(с (ус) 5т~ 1' х суд~ ( хс) 5л (3.24б) Как известно, предел отношения 5„, и 5„при переходе от координат хс=(хи, ..., х„с) к координатам у=(уь ...,У„), когда 5хс-+.О, 5т-»0, равен якобиану преобразования дхсс дхсс дус дул ~х .сс = Игп з„ - о 8„ хс зт -«о д(хсс ..., хлс) с = 1, 2, д(ус ... Уп) дхлс дхпс дУс "' (дуп (3.25) Тогда из (3.24а), (3.24б) и (3.25) с учетом свойства неотрицательности плотности вероятности получим (р л (ус) — хл спал [срс ( ус)] (лс(, (3.26) где Чс(упс) = [срн(у"с),, срам(у"с) ].
Если преобразование взаимно однозначное, то сумма в (3.26) содержит только один член. ' Область Б и ее «объем» 3 обозначим одним и тем же символом. 52 3.1.12. Преобразование многомерной плотности вероятности при функциональных преобразованиях произвольной совокупности случайных величин. Вернемся теперь к общей постановке задачи, указанной в п. 3.1.1. Задана многомерная плотность нс „ (х"с) совокупности случайных величин $с, ..., $„ и необходи~с мо определить многомерную плотность И' (у с) случайных вен, личин т)с, ..., с) .
Как отмечалось, решение этой задачи получается из предварительного решения при и =и. Рассмотрим общий случай, когда преобразование, обратное преобразованию уа=)ь(хпс), й=1, и, (3.23) неоднозначное. Обозначим с-ю ветвь обратного преобразования хм=срач(упс), й=1, и, с=1, 2, ... Следуя использованному в п,3.1.4 геометрическому подходу, введем событие В, состоящее в том, что точка т)пс в и-мерном эвклидовом пространствепринадлежит некоторой области 5„, и событие Аь состоящее в том, что точка впс~5л., с=1, 2, ... (рис. 3.5). Так как В=()Ас и Асяс=со, сФ/ с ' то Хн У1 би Уп Рис. З.б.
Преобразование многомерной плотности распределения (3.28а ) (3.28а) (см (3.29) 3.1.13. Плотность вероятности скалярной функции векторной случайной величины. Рассмотрим частный случай общего преобразования (3.1), когда т= 1, т. е. У1=К(х1, ..., хн). (3.27) В соответствии с общим методом определения одномерной плотности вероятности 111 =~($1, ..., с„) по заданной многомерной плотности гн н (х"г) необходимо сначала найти многомерную плот- 1 ность совокупности случайных величин т1г=~Д1, ..., $ ), 11а=~а, /г=2, п.
(3.28) Если функция, обратная 7, однозначна, то х,=1р(уь ..., Ун), ха=ум и=2, и. Как нетрудно убедиться, якобиан преобразования (3.25) 1 з ( и) (3.286) ау, и из (3.26) находим н,губ-"в;1тгп1 ао- а.1 — „' ( З,р ( ун) Интегрируя по переменным уз, ..., у, получаем искомую одномерную плотность скалярной функции векторной случайной величины а р(у|) ~ть(У1) — ) гн;н(гР(У1) Уз -з У4 буз (3З)) 1«-11 дуг 3.1.14. Плотность вероятности линейной комбинации случайных величин. Рассмотрим линейное преобразование совокупности случайных величин 4= Д1, ..., $„) с известной п-мерной плотностью иа (х).
В этом случае закон преобразования (3.28) записывается в виде (3.31) А=2, п, и уз= ~стхя у„=х„, 1=1 .а обратное преобразование (3.28а) хт=у! — ,'раун х„=уз, й=2, п. / 3 Без ограничения общности полагаем с,=!. Так как дхь дх! . дха — = 1, — = — си 1 ~ 1, — = О, А), й,-а1, дуя дух дух то якобиан преобразования !'= 1(см. (3.28б)1. В соответствии с (3.30) находим плотность вероятности линейной комбинации т)= 2;сала случайных величин С!, ..., $„ ~! (3.31а) л г„[д!- !,(е,— З,дп д„... д„)Ю, Ь,.
!з.э2! „! -!!~!!, уз Если случайные величины 5!, ..., С„независимы, то из (3.32) следует л 1~'ч(у!) ) ше, у! 2;с!у!)~~~,(уя)-.~! (У.)фз- !1У. ,(л — !! !, г=я В простейшем случае алгебраической суммы двух случайных величин т1=ф!~ф! из (3.32) получим Ф'ч,(У) = )!аз,1,(У ~ и, и) г(и. (3.33) Если с! и 4! независимы, то Юч (У) = )гат, (у ~ и) !аа, (и) пи. (З.ЗЗа) Интеграл в правой части (3.33а) называется сверткой функции та!, (х) и !с! ! (х).
Из (З.ЗЗа) нетрудно определить функцию распределения алгебраической суммы двух независимых случайных величин (З.ЗЗб) Ч= Пьь. ь ! (3.34) Рч (У) = ) Р1, (У ~ и) нь, (и) г(и. 3.1.15. Плотность вероятности произведения и частного случайных величин. Пусть й"! — — ($!, ..., $„) — совокупность случайных величин и гс „(я"!) — плотность совместного распределения этой $~ совокупности. Найдем плотность вероятности случайной вели- чины Совершим над исходной совокупностью функциональное преоб- разование (3.36а) у[ =~(х„..., хл) = Пхи уь =х„, й = 2, и, 1 л хг = [р(у»"' ул) = у[ ) Пуп хл = ул / 3 В соответствии с (3.28б) якобнан преобразования Пут Используя (3.30), находим искомую плотность вероятности й ч(У1) = ) [и л(~у[ Ум"' Ул)! !луз- ['У» (3.36) [л — 1) Если случайные величины ~ь ..., ~„независимы, то из (3.36) следует йтч(у) = ) ше,(7у) и~.(у.)- юг„(у.) (7! (у,- [(у.. [л — 1) В простейшем случае произведения двух случайных величин т)=с[сз из (3.36) получим яГч (у) = ) иа, л, ~ ~, и ) [(и/ ! и), (3.37) (3.36б) а если $1 и $л независимы, то нГч(У)= ~пТ, ( — ")и[[,(и)[(и~(и!.
(3.37а) Аналогично для частного г)=5[)чл имеем йтч(у) = ~п)[,г,(иу, и)!и! [(и (3.38) и для независимых з[ и $л ) [, (иу) и)л, (и) ! и! [( . (3.38а) 3.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МОДУЛЯ И ФАЗЫ СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА (3.39) 55 3.2Л. Плотность вероятности модуля и фазы случайного вектора на плоскости.
Рассмотрим специальный вид преобразования двух случайных величин, представляющих значительный интерес для приложений, р = У$'+ Чл, [р = агс(д ~д. г) О, 0(0(2л. (3.41а) вероятности модуля и фазы ))7ч(б) = ) ло1ч(гсозб, гз)пб)Нг, 0(0(2л. о (3.43) 3.2.2. Плотность совместного распределения полярных координат случайных точек на плоскости. Формулу (3.41) можно обобщить на л случайных точек, декартовы координаты которых зависимы и характеризуются 2л-мерной плотностью распределения ге1ч (хь уь хм ум ..., х, у„). Переход к модулям и фазам векторов совершается с помощью преобразования х;=г;созбь у;=г;з)пбь 1=1, л, (3.44) Якобиан преобразования (3.44), как нетрудно показать, равен д ("1 у1 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
