Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Поэтому из (2.70б) следует 1 ! хат 1 — ехр ( — — !) < Р(х) < 1— х(г2и (, 2) — ехр ( — — ) (1 — — а). На рис. 2.5 для сравнения приведены функции нормального распределения при тех же значениях о, что и на рис. 2.4. Предельная кривая при о-ьО имеет вид единичного скачка в точке х=а. Часто вместо функции Р(х) рассматривается и табулируется так называемый интеграл вероятности (функция ошибок, функция Крампа) Ф(х) = — )ехр( — и')с(х= 2Р(х)'2) — 1 (2.71а) ри о и функция Р, (х) = — ( ехр 1 — — '1 ба = Р(х) — — = — Ф (хДГ2 ), (2.716) ' Заметим, что формула (2.70) верна лля любой случайной величины, если ее плотность вероятности симметрична относительно нуля. 34 Рис. 2.4. Плотности нормального раснределения при различных дисперсиях Рис.
2.5. Функции нормального распределения при различных диспер- сиях для которой (2.70) переходит в более простое соотношение Ра( — х) = — Ро(х). (2.71в) 2.4.3. Совокупность независимых гауссовских случайных вели- чин. Если С„..., с„— совокупность независимых гауссовских слу- чайных величин с параметрами аа=т,(вд), о'а=1хяДа), й=1, л, то из (2.43) и (2.66) следует, что совместная плотность вероятно- сти этой совокупности случайных величин пза,и.. а (Хх,..., хя) = (2.72) (2я)о!зох...оя 1 2 г г оаа Формула (2.72) является частным случаем общей формулы (265) (при Р~„т„=б;а), для которого Ры=боо бы=1 при (=й Ьга=О при гчья.
Ковариационная матрица Ка и обратная ей мат- рица К-га в этом случае диагональные. Сравнение формул (2.66) и (2.72) показывает, что из попар- иой некоррелироваиности гауссовских случайных величин следу- ет их независимость. Это положение является важным исключе- нием общего утверждения о том, что из некорреллированности слу- чайных величин не следует их независимость„н является харак- терной особенностью нормального распределения вероятностей.
2.4.4. Совокупность двух зависимых гауссовских случайных ве- личии. Двумерная плотность двух зависимых гауссовских вели- чин ~г и $я зависит от пяти параметров: аг, аз, оь оя, Р1,2, =г. Детерминант Р= ~1 г(= 1 — г', а алгебраические дополнения Ры — — Ры=1, Рга=Рз~= — г. Из 2е ЗЬ Функция распределения двух гауссовских случайных величин Ре, М(х„х,) = «,-а, «,— а, ехр ( — " '"" ) д(исЬ. (2.73а) В частном случае при ' д-= ' ' = )д функция 'Рад, (хьха) од о, связана простым соотношением с табулированным интегралом (см.
Приложение 1 в 111) К(г, )д) = ) ) ехр( — ' ) д(идЬ. (2.736) 2п 1/1 — гд а л 2(1 — г ) Условная плотность гауссовской случайной величины $д при условии, что зависимая от нее гауссовская случайная величина $д —— =х,, в соответствии с (2.55), (2.66) и (2.73) равна 1 1 га (х,(х,) = ехр ( — Х од 1/2п (! — гд) ( 2од (! гд) 2 хд — ад х (ха — а, " )') о (2.74) Из (2.74) следует, что условная плотность описывается функцией т (хх -а:)/ах Рис. 2/Л Условные плотности нормального распределения Рис. 2.6, ))двумерная плотность нормального распределения 36 (2.65) при и=2 находим двумерную плотность вероятности двух гауссовских случайных величин (рис. 2.6) идд, д, (х„хд) = 1 1 ('(хд — ад)а 2подо«1/1 — гд [ 2(1 — гд) ~ от д 2г (хд — ад) (хд — ад) +(хд — од) (2 73) од оа оа 2 нормальной плотности вероятности с параметрамн: условное среднее значение т~(5з)х) =аи+г(х1 — а,)оа/о1 (2.75 а) и условная дисперсия рэ (5т ) хД = оФг ( 1 — гз) .
(2.75б) При г=0, что соответствует независимости случайных величин $~ и вм условная плотность (2.74) переходит в плотность вероятности случайной величины ~. При г — ~.1 га(х,~х,) б~ * ' — ' ' ). (2.76) ,о, о1 На рнс. 2.7 согласно (2.74) построены кривые условных плотностей нормального распределения при х1=а1+За~ и нескольких значениях параметра г. 2.З. ОРТОГОНАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ нлОтностей ВБРОятнОсти где (2.79) — символ Кронекера. При этом в сумме все члены, за исключением одного при й= =и, равны нулю и, следовательно, 00 с„= ) в1 (х) 1',1„(х) Йх. (2.80) 37 2.5.1. Разложение в ряд по ортогональным полиномам.
В некоторых случаях полезно аппроксимировать плотность вероятности случайной величины частичной суммой ряда, представляющего разложение функции плотности по ортогональным функциям. В качестве весовой функции у(х), которая определяет совокупность ортогональных функций Я„(х)), выбирают какую-нибудь простую, известную плотность вероятности, которая приближенно отражает основные свойства аппроксимируемой плотности. Формально упомянутый ряд, представляющий произвольную плотность вероятности ща(х), можно записать следующим образом: гаа(х) = ~Р(х) 2; сь ф,(х). (2.77) а-о Коэффициенты сь можно определить, умножив обе части (2.77) на функцию Я (х) и проинтегрировав с использованием условия ортогональности ) <р (х) Я„(х) Я„(х) дх = 6„„, Если Я„(х)) — совокупность ортогональиых полиномов, то л Ял(х) = Х а,х".
Тогда г=а л Сл= Хагтгг г О (2.8$) где тг — момент г-го порядка случайной величины $ и, следова- тельно, и ИГ1(Х) = 1Р(Х) 2; ~Я„(Х)агтг, х=ог-о (2.82) где сь = — )игв(х) Н„(х) ах = — т,(Н„(ь)) 1 1 З/.и-- Уа1 (2.85) причем са= 1, а вследствие принятой нормировки случайной ве- 38 конечно, при условии, что моменты т, случайной величины существуют. Сходимость ряда (2,82) необходимо установить в каждом конкретном случае. Однако существуют задачи, в которых сходимость указанного ряда не имеет значения. Речь идет о построении аппроксимации неизвестной функции распределения, если заданы лишь несколько моментов этого распределения.
Поэтому важно быть уверенным, что первые слагаемые ряда (2.82) дают достаточно хорошее приближение к пгз(х). Тогда вопросами сходимости можно и не интересоваться. Ряд (2.82) может быть даже расходящимся, моменты более высокого порядка могут вовсе не существовать, а аппроксимация несколькими первыми слагаемыми может оказаться лучшей, чем в том случае, когда указанный ряд сходится. 2.5.2. Разложение по полиномам Эрмита. Чтобы ие усложнять выражений, предположим, что иг1(х) представляет плотность нормированной случайной величины с нулевым средним и единичной дисперсией. Переход к распределению с произвольными средним г'х — а~ / а и диспеРсией о' дает пгг ~ 11о.
а Начнем с разложения в ряд по полиномам Эрмита; Н„(х) =( — 1)лехр ( — 1 —" ехр( — — " '1, а=0,1,2,... (2.83) 2 / ахл ~ 2 В рассматриваемом случае <р(х) = (1/)'2п)ехр( — хз12) — нормальная плотность вероятности. Учитывая условие нормировки (2.78), получаем в соответствии с (2.77) (ряд Грама — Шарлье) иг,(х)==ехр~ — — ) ~, 'ь Н„(х), (2.84) -Р'2-. ~ ),-р а — 1 Так как для неотрицательной случайной величины среднее и!)О, то все ее значения можно нормировать путем деления на т!. Тогда в (2.91) при а=О с = ~иа (х) г/х = 1, с, = ~(1 — х) иа (х) !/х = О, о о l х' ! та — 2та! с,=) ( 1 — 2х+ — ) иа(х)!/х= о ~ 2 ) 2та! 3 ха '1 та — 9та т! -1- 12та с = ~ ~1 — Зх+ — х' — — 1иа (х)дх=— 2 6 / 6та Следовательно, первые члены разложения (2.91) представля- ются следующим образом: т а/ ха! ио(х) =е- 1+ / * — 1 1 — 2х+.—.)— )~ та — 9тата+ !2та ! З ха ! — ~1 — Зх+ — х' — — /1+ ...
(2.92) атз ! 2 2.5.4. Разложение по полииомам Чебышева. Разложим в ряд плотность вероятности случайной величины, возможные значения которой принадлежат интервалу ( — 1, 1), по полиномам Чебы- шева: Т„(х1 сов(пагссоз"х) = Цх+)' ха — 1)" + (х — у'ха — 1)"1/2, п=О, 1, 2, ..., !х~(1. (2.93) В этом случае !р(х) =1(1 — ха) а/ааг]-а, 1х~ (1. Учитывая условие нормировки (2.78), в соответствии с (2.77) получаем иа (х) = ( 1 + )/ 2 ~ со Т„(х), (2.94) я (/! — аа ь а=! где ! с„= У2 ~ио(х)Та(х) !/х. -! Из (2.94а) находим, например: ! с,= У2 ~хн!2(х)дх= ла!)/'2, ! са =)/ 2 ~(2ха — 1) иа(х)!/х= (2т — 1) ~"2, ! са = У2 ~(4ха — Зх) иа(х) дх = (4паа — Зп! ) ф'2, — ! (2.94а) (2.96) л-о где с„= ) ~вз,з, (х» х,)9 „(х) Яо„(хо)о]х,йхо.
(2.99) Так как Я~о(х») =Яоо(хо) =со=1, то из (2.98) видно, что первый член разложения соответствует предположению о независимости случайных величин, а последующие члены определяют поправку, учитывающую вероятностную связь. Если одномерные распределения случайных величин одинаковы: во, (х) =во, (х) =в(х), то разложение (2.98) можно представить в виде вз, а, (х„х,) = в (х,) в (х,) ~ с„Я„(хт) Я (х,). »»=о (2.100) 41 Тогда первые члены разложения (2.94) представляются следую- щим образом: и»о (х) =, ]1+ 2т, х+ 2 (2т, — 1) (2х' — 1) + + 2(4т, — Зт,)(4хо — Зх) + ...]. (2.95) 2.5.5. Разложение двумерной плотности вероятности. Рассмо- трим двумерную плотность вероятности совокупности двух слу- чайных величин.
Аналогично (2.77) можно формально предста- вить в1,1, (хь хо) в виде ряда вз» о» (хм хо) = оР» (х) 1Ро (х) х, '~, 'со» что (хг) Яо» (хо), о о» о где Ям(х~) и Яо,(хо) — ортогональные нормированные полиномы, соответствующие весовым функциям ~о,(х~) и ~р,(х,).
Коэффици- енты с~, находим, умножая обе части (2.96) на Я~ (х»)Яо (хо) и дважды интегрируя по х, и х, в области, определяемой весовы- ми функциями, с использованием условий ортогональности. Тог- да в кратной сумме все члены, за исключением одного (Й=т, г=п), обращаются в нуль и в результате с„„= ) ~ва, 1, (х„хо) Я„„(х,) 9о„(хо) о]х, дхо = = тт Я1в 6г) Кп 6ой.
(2.97) Часто за весовую функцию целесообразно принять одномер- ные плотности вероятности случайных величин, т. е. ор~(х)= во, (х), Ч»о(х) =во, (х). Кроме того, во многих практических случаях оказывается, что с „=0 при тФп, и приведенные фор- мулы значительно упрощаются. Вместо разложения в кратный ряд получаем сумму вида в»» (х» хо) в» (хо) и~а (хо) 2» с»» Я~о (хг)»»»оо (хо)» (2.98) где с„ = ) ) та!, 1, (х„ хз) 9„ (х,) Я„ (хз) с(х с(хз. (2.101) Здесь Я„(х) — ортогональные нормированные полиномы относительно весовой функции тв(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
