Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Глава 2 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 2.1. РАС11РЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 2.1.1. Определение случайной величины. Случайная величина — числовая форма представления заранее непредсказуемых результатов эксперимента, для которого выполняются условия, приведенные в п.1.1.1. Она характеризуется множеством возможных значений и распределением вероятностей, заданным на этом множестве. Если множество возможных значений случайной величины конечное или счетное (2.1а) (2.1б) В дальнейшем, когда пределы суммирования могут быть конечными или бесконечными, указывается только индекс сумми~рования [см.
(2.1б)1. Однако не всегда можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством возможных значений случайной величины и полной группой событий. Так, результаты измерений физической величины могут принадлежать континууму значений, т. е. заполнять интервал действительной оси.
Если возможные значения случайной величины заполняют интервал, то введение понятия вероятности сложнее. Случайная величина принимает несчетное множество значений, и априорная вероятность фиксированного значения не имеет смысла, так как эта вероятность равна нулю. Можно, однако, разбить интервал возможных значений случайной величины на конечное число непересекающихся отрезков. Тогда совокупность событий, состоящих в том, что случайная величина попадет в каждый из этих отрезков, образует полную группу. При этом введение понятия вероятности того, что значения случайной величины находятся в пределах некоторого отрезка, становится аналогичным дискретному случаю. 18 4= (хп ..., х„, ...), то случайная величина называется дискретной.
При этом каж- дому возможному значению дискретной случайной величины можно поставить в соответствие событие Ад. $=хд, я=1, 2, ..., а всему множеству возможных значений $ — полную группу со- бытий. Тогда распределение вероятностей дискретной случайной величины представляет совокупность вероятностей, характеризую- щих эту полную группу событий: рд=Р(Ад)=РД=хд), й=1, 2, Х в'д = 1.
Такой способ определения распределения вероятностей одно- значен для дискретных случайных величин и неоднозначен для еду~айной величины, значения которой заполняют интервал. В последнем случае остается совершенно произвольным правило разбиения интервала на конечное число непересекающихся отрез- ков. Поэтому рассмотрим общепринятый подход к определению распределения, справедливый для случайных величин обоих ука- занных видов. 2.1.2. Функция распределения. Предположим, что случайная величина $ может принимать любые действительные значения. Данное предположение ие уменьшает общности, так как ограни- ченность интервала возможных значений будет означать, что ве- роятность попадания значения случайной величины в область чи- словой оси вне указанного интервала равна нулю. Используем простейшее правило разбиения: зафиксируем на действительной оси порог х.
Область возможных значений случай- ной величины делится на две части: к одной из них относятся зна- чения $, не превосходящие порог х, а к другой — превосходящие порог. Функция Р1(х) = Р($(х), (2.2) показывающая, как зависит от выбранного порога х вероятность того, что значения случайной величины не превосходят его, назы- вается функцией распределения вероятностей случайной величи- ны $.
Укажем основные свойства функций распределения. Значения этих функций, представляющие вероятности, должны находить- ся в пределах от О до 1, причем 1пп Р! (х) = Рь ( оо) = Р ($ ( — оо) = О (2.3а) к-~— как вероятность невойможного события, а 11ш Рз (х) = Рс (оо) = Р Д ( оо) = ! (2. Зб) к как вероятность достоверного события. Свойство, выраженное ра- венством (2.3б), аналогично свойству полной группы событий.
Если хг)хь то ($(х2) ($~~х1) () (х1<4~~х2) ~ (~~(х~) П (х! <~~(хй) — 0 н, следовательно, РД(х~) =РД(хД+Р(х~<~(х,), откуда, используя (2.2), находим Р(х,<$(х2) =Р1(х,) — Р1(х,), х, х,. (2.4) Таким образом, вероятность того, что случайная величина за- ключена в определенных пределах, равна разности значений функ- ции распределения в верхнем и нижнем пределах. Соотношение (2.4) подчеркивает универсальность приведенно- го подхода к определению распределения вероятностей, так как 19 (2.7) р= ре" », й=01,...п, 'тд / (2.10) х~ ха Рис. 2ли Функция распределения дискретной случайной величины 20 он позволяет перейти к любому другому определению.
Так как левая часть равенства (2.4) не может быть отрицательной, то прн Ха)Х1 гй (ха) ) рй (хт). (2.5) Следовательно, функция распределения неубывающая. Условия (2.3) и (2.5) необходимы и достаточны для того, чтобы функция одной переменной была функцией распределения случайной величины. 2.1.3. Функция, распределения дискретной случайной величины. Для дискретной случайной величины й функция распределения Рй(х) = 2; Р(а=ха) = 2; рд. (2.6) ад<» лджл Вводя функцию единичного скачка )1, е)0, (О, г<0, можно переписать (2.6) в виде Рй(х) = 2; Рви(х — хд).
(2.8) Обратно, зная функцию распределения, можно найти вероятность р„= Р ($ = х„) = Рд (х„) — Рй (х„~), и = 1, 2, ... (2.9) Графически функция распределения дискретной случайной величины представляется ступенчатой кривой (рис. 2.1) со скачками, равными рд в точках хж и постоянным значением на полузамкнутом интервале (хд „хд), й=1, 2, ... Примерами распределения вероятностей дискретной случайной величины являются биномиальное распределение, когда где'в=1 — р, 0(р(1 (ср. с (1.20)1, и распределение Пуассона, когда Рл= е х, Л)0, й)0. (2.11) 2.1.4.
Плотность вероятности непрерывной случайной величины. Если функция распределения случайной величины дифференцируема при всех значениях аргумента (за исключением, может быть, граничных точек), то такая случайная величина называется непрерывной. Производная ДР$ (х) гвз (х) = —— ох (2.12) называется плотностью вероятности непрерывной случайной величины (рис. 2.2) '.
Плотность вероятности как производная неубывающей функции (функции распределения) не может быть отрицательной, т. е. (2.13) тва(х)) О. Интегрируя обе части (2.12) в пределах от — оо до х и учитывая (2.3а), выразим функцию распределения через плотность (рис. 2.2,б): х Ре (х) = ) гвз (и) с(и. (2. 14) При х=оо из (2.14) находим ) твз (х) йх = 1. (2.15) х, Р(х, <5~~ха) = )твз(и) йи. х, (2.16) Значение х=х„, при котором плотность вероятности имеет максимум, называется модой. Кривая плотности может быть уни- ' Так как РЕ(х) — величина безразмерная, то размерность плотности такая же, нак величины Пх.
Из (2.15) следует, что ые (х)-+О при )х)-ьсо, причем шз(х)— х о"'>, е)О при )х(»1. Условия (2.13) и (2.15) необходимы и достаточны, чтобы функция одной переменной была плотностью вероятности непрерывной случайной величины. Используя (2.4) и (2.14), находим (см. заштрихованную часть рис. 2.2,а) модальной, т. е. иметь один максимум как на рис. 2,2,а, или полимодальной, т.
е. иметь несколько максимумов. 2.1.5. Обобщенная плотность вероятности для дискретной случайной величины. Для дискретной случайной величины функция распределения не дифференцируема в обычном смысле. Можно, однако, распространить понятие плотности вероятности на дискретную случайную величину, используя обобщенную функцию — дельта-функцию '. Поскольку дельта-функцию можно представить в виде производной функции единичного скачка (см.
(2.7)) гор(х) ( хг Рис. 2.2. Плотность вероятности (а) и функция распределения (б) непрерывной случайной величины пи (г) ог (2.1 7) получим из (2.8) выражение обобщенной Плотности вероятности дискретной случайной величины гпа(х) =- 2'„раб(х — 'х„). (2.18) Плотность вероятности постоянного числа а в,(х) =б(х — а). (2.18а) Отметим, что дельта-функция удовлетворяет требованиям, предь- являемым к плотности вероятности: 8(х))0, )б(х)йх=1. Плотность вероятности случайной величины может быть суммой функций вида (2.12) и (2.18): тай (х) = а, геа (х) + аа ~ рь б (х — х,), А а, ' О, аа)0, а,+аа=1, 2;Рь=1. ь (2.19) Тогда случайную величину называют смешанной.
' Ввиду того, что в дальнейшем дельта. функция широко используется, некоторые главные свойства ее приведены в Приложении 1. 22 2.2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ 2.2.1. Моменты распределения. Рассмотренные в $2.1 функция распределения и плотность вероятности дают полную характеристику случайной величины. Однако в ряде случаев о случайной величине достаточно иметь лишь некоторое общее представление. Аналогичное положение имеет место тогда, когда вместо описания мельчайших подробностей геометрической формы твердого тела ограничиваются такими его числовыми характеристиками, как длина, ширина, высота, объем, момент инерции и т.
д. В теории вероятностей числовыми характеристиками случайной величины служат моменты распределения. Для непрерывных случайных величин моменты распределения и-го порядка (й= =1, 2, ...) определяют по формуле ' т,($) = )х" и>;(х)дх (2.20) в предположении, что несобственный интеграл абсолютно сходится, т. е. что ) (х(ьий(х)з(х имеет конечное значение. Геометрически числа пть можно тРактовать как моменты инеРции соответствующих порядков плоской фигуры, ограниченной осью абсцисс и кривой плотности вероятности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
