Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 10
Текст из файла (страница 10)
хп ул) тт = Пгь та= д(г» 61 ... г ди) ь Тогда в соответствии с (3.26) переход от 2л-мерной плотности распределения случайных декартовых координат л точек к 2л- 56 (3.45) Это преобразование взаимно однозначное, причем р)0, а ,возможные значения случайной величины <р заключены в преде- лах от 0 до 2л (имеется в виду главное значение арктангенса). Геометрически преобразование (3.39) означает переход от слу- чайных декартовых координат (В, г)) точки к ее случайным по- лярным координатам: модулю р и фазе ~р случайного вектора, на- чало которого находится в начале координат, а конец совпада- ет с точкой ($, г)). Преобразование, обратное (3.39), имеет вид 5=рееву, п=р з)п~р. (3.40) Пусть задана двумерная функция распределения случайных ДекаРтовых кооРдинат втч (х, У) и наДо найти совместнУю фУнк- цию распределения полярных координат ))урч(г, 4)). Так как яко- биан преобразования х=гсозб, у=гз1пб от переменных х, у к переменным г, б равен д(х У) ~сов() — гз1пб) д(г, д) ~з)п4) гсозб~ то, используя (3.26) для взаимно однозначного преобразования двух случайных величин, получаем 1)тря(г, 0)=гизи(тсозО, гз1п()), г)0, 0(б(2л.
(341) Если $ и г) независимы, то ))г ч(г, О) = ти~(гсоз0) и~ч(гз)п()), Из (3.41) находим плотность случайного вектора 2л РУр;(г)=г~ ю1ч(гсозб> гз)пб)йб, г~)0, (3.42) Таким образом, плотность вероятности модуля вектора 57р (г) = — ехр ~ — — (г'+ а') 1 1, ( —, ), г ) 0 (3.50) Частным случаем (3.50) при а=Ь=О является плотность распределения Рэлея й7р (г) = —, ехр! — — ), г) О. (3.51) Поэтому функция (3.50) (рис. '3.6) может называться плотностью обобщенного росн)геделения Рэлея '.
Если а/о«1, то, ограничиваясь первыми двумя членами разложения функции:Бесселя в степенной ряд, получаем из (3.50) У7 Я = — (1+ — ") ехр1 — — '(г'+а')1, г) О. (3.52) па ( 4пз ) [ 2оа' Если а/о))1, то в (3.50) функцию Бесселя можно заменить ее аоимптотичесюим разложением е* ! 1 9 1а(г) (1+ — + + - ) )/2пг 8г 128 г' н тогда ! ар(г) — )Г' — г( + и ) ехр[ — —,(г — а)'], г)0. (3.52а) В этом случае кривая плотности вблизи моды хорошо аппроксимнруется кривой плотности нормального распределения (см. б на ~рис.
3.6) с,параггетрами (а, о). НР(ггй) 84 цг р Г Г д 4 Х б 7 Фг/Ю Рис. З.б. Плотность обобщенного распределения Рзлея ' Ее называют также плотностью распределения Рэлгя — Раасн. 88 Функция распределения модуля вектора с независимыми гауссовскими компонентами (с одинаковыми дисперсиями и') Р (г)= ) гехр( — ~ [го+( — ) ~)1 ( — )дг, г)0 (3.53) о в элементарных функциях не ~выражается. Имеются подробные таблицы этой функции распределения '141. 3.2.4. Моменты случайной величины, распределенной по обобщенному закону Рэлея. Из (3.50) находим ть= —,ехр( — —,) )го+'1о( —,) ехр~ — г, )о(г= о = (2оо)о/оГ (1+ — 1оР, 1 — —, 1, (3.54) где ,Р, — гипергеометрическая функция (см.
Приложение 5 в Н). Среднее значение, второй и третий начальные моменты равны то =оT2 Г(3!2) оРо( — 1/2, 1, — ао1(2оо)) = =01 2 ~(1+ 2о )1о(4оо)+ 2оо1о (4 о)1ЕХР( (3.54а) [3.54б) 2пг+ ао ( 2а~ ао ) ~ ао ) 1 ( ао ) (3.54в) Если а»о, то, используя приведенное выше аспимптотическое разложение бесселевой функции, находим т, а(1+ —,), р, о'(1 —, ), (3.55а) (3.55б) 3.2.5. Плотность вероятности фазы вектора с независимыми гауссовскими компонентами. Определим плотность вероятности фазы вектора с независимыми гауссовскими компонентами. В соответствии с общей формулой (3.43) ~плотность вероятности фазы в рассматриваемом случае [см.
также (3.49)1 И'о(о) = — ехр1 — — 11 ) г ехр 1 — — [го — 2агсоз(6 — 6)1) г(г, 2поо ( 2оо ) ~о 2оо 0(4)(2п. (3.55) 59 Рис. 8.7. Плотность распределения фазы Путем дополнения экспоненты в подынте- гральной функции до полного квадрата и замены переменной интегрирования г ='[г — а соз (Π— де) 1/о, где а и Ое — величины, введенные в п. 3.2.3, н использования обозначения интеграла Ла- пласа [см. (2.68)], находим плотность веро- ятности фазы й~~(О)= — ехр ~ — ~ 1+ соз(Π— О,)х 2н с 2оа / о р" 2в ХР [ — соз(д — д,)1 ехр / — з)п' (6 — Ое) ~, о 2оа (3.59) (3.57) На рис.
3.7 построено семейство кривых распределения фазы прн нескольких значениях отношения а/о. Как видно из (3.57) и из рис. 3.7, функция йре (д — де) четная. При а=О, Оп=О нго (О) =1/(2п), 16! =и, (3.57а) что соответствует равномерному распределению фазы. Если а/о«1, то, разлагая правую часть .в (3.57) в степенной ряд по а/о и пренебрегая членами второго порядка малости, по- лучаем Кр(О) ж — + " соз (Π— Ое), !Π— Ое~ <~ и.
(3.58) 2л 2о р'2л Таким образом, с точностью до малых аорядка а'/аа плотность распределения фазы вектора представляет собой кооинусоиду, смещенную вдоль оси ординат на 1/(2п). Если (а/о)соз(д — Оа) )3, то из (3.57) находим (Р~(О) " соз(Π— 6,)ехр[ — — "з(п'(Π— Ое)~, о )/2зт ьь 2оа 1Π— Ое~ (и. Вблизи моды кривой плотности (О-Ое) К~(О) — ехр ~ — — (Π— Ое)а ~, (3.60) оз$~ 2в ( 2оа т. е. распределение фазы нормальное со средним Ое ~и диспер- сией (а/о)з.
Функция распределения г'е (О) фазы вектора, компоненты ко- торого — независимые гауссовские случайные величины с одина- ковыми дисперсиями, выражается через табулированную функ- цию Ннкольсона (см. Приложение 9 в [51). 60 3.2.6. Центральные моменты распределения фазы. Определим центральные моменты фазы рь (Ч0 = ~ (6 — 6о)" ~'ч (()) 16 (3.61) еа — з Ясно, что в силу симметри~и распределения все моменты нечетного,порядка равны нулю.
Для вычисления интеграла в правой части (3.61) разложим функцию )Рт (О) (см. (3!56)] на интервале (60 — и, ()О+и) в ряд Фурье. Для этого достаточно воспользоваться известным из теории бесселевых фуницнй равенством екр(Лсозх)=1,(Л)+2 ~ 1,„(Л) соз тх га ! для разложения на указанном интервале лодынтегральной функции в (3.56) и интегральным представлением гипергеометрической функции. В результате ((! (()) = — Х а„соз (д — д,), (3.62) л=! где а„= 1Г(1+ и!2) (а/а)"1 1 и а~ ! р —, и+1,— — ~, пи!2"!з т ~ ~ 2 2а! ) где !г!(х, у, г) —,гнпергеометрическая функция. Подставляя (3.62) в (3.61), пол!учаем м и Р'2 = + 2,' а„) х созихйх.
2г-1-1 л=! — н Дисперсия фазы и! ап +4и Х ( — 1)"„, 3 л ! Если а/о«1, то )!!жи!/3 — 4па!=иЧЗ вЂ” ) 2па/о, как уже указывалось, 1!! о'/а'. (3.63) (3.64) (3.65) а пр,и а/о>)1, =) и!З(х) соз ох!(х+! ) !е1(х) з!п охах. (3.66) 61 З.З. ХАРАКТКРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 3.3.1. Определение характеристической функции. Характеристической функцией 61 (о) случайной величины 4 называется среднее значение случайной величины ехр((о5), где о — действительная переменная.
В соответствии с (3.14) характеристическая функция случайной величины $ 61(о) =т,(ехр(1о$)) ) и!1(х)ехр(1 о х) дх= Воспользовавшись представлением (2.17) плотносви вероятности вз (х) в виде суммы дельта-функций, можно распространить формулу (3.66) на дискретные случайные величины 6г(о) = Х )эь ехр (1ох„). (3.66а) 1 вг (х) = — ~' 61 (о) ехр ( — 1пх) сЬ.
2а (3.67) Если 6з (о) — характеристическая функция случайной величины $, то для случайной величины ть получаемой линейным преобразованием т) =а$+Ь, характеристическая функция 6ч (о) = га, ( ехр (!о (а$ + Ь))) = 61 (ао) ехр ((гЬ). (3.68) 3.3.2. Вычисление моментов и кумулянтов распределения. Одним из полезных применений характеристической функции является упрощение вычислений моментов ~распределения. Если существуют Й-й начальный момент распределения случайной величины 5, то характеристическая функция этой величины имеет производную й-го порядка,,причем аког(о) = Р )" хэвг (х) ехр (1ох) дх, ~Ь откуда следует а ог (и) аз~ (3.69) Из (3.69) при й=1 находим среднее значение случайной величины $ тг (с) = — 16з (О). (3.69а) 62 Интеграл (3.66),и соответственно сумма (3.66а) сходятся пря любых действительных значениях, переменной о, так как (6~ (о) ~ (1.
Поэтому характеристическая функция определена для каждой случайной величины. Заметим, что для симметричного распределения, когда вз (х) =вз ( — х), мнимая часть в (3.66) равна нулю, и, следовательно, характеристическая функция является действительной четной функцией 6г (о) =6з ( — о). Наоборот, если характеристическая функция, принимает только действительные значения, то она четна и соответствующее ей распределение симметрично. Из (3.66) следует, что характеристическая функция 6з (о) и плотность ~вероятности вз (х) являются парой преобразований Фурье. Поэтому плотность .вероятности случайной величины можно найти обратным преобразованием Фурье ее характеристической функци|и где дь и„= ( — !)" — ! и 6! (о) ~ (3.71а) до' ! о=о.
Коэффициенты хь ряда (3.71), называемые кумулянтами или семиинеариантами распределения, выражаются через центральные моменты х1=о!ь хо=)!о, но=)хз. х4=р4 — 3)ь'о, ... (см. (61). Из (3.71) следует двт(о) (;„)ь — Оь (о). дн е Используя (3.67), получим 1311 две (о) ! ( — !)ь д"вт (х) дно зла! (!о) !9з(о) ехр ( — !ох) Но = т„. (3.72) Ф! дк' Следствием формулы (3.72) является соотношение —,(~аи=( "~п)" (3.73) из которого.интегр~иро~ванием по частям находим !и, (! ($)) = — ) 1~ ! (х) !ое (х) йх. дно и (3.7 ) и далее (д )о т (М)о о!, (!' ($)) = „) 7ч" (х)и~т (х)йх, (3.736) где !'"! (х) = 1(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
