Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Показать, что плотность вероятности случайной величины и=ей где 3 в гауссовская случайная величина со средним а и дисперсией о', имеет вид (логарнфмическн нормальное распределение) 1 У 1 йт (у)=,— ехр~ — — (1пу — а)з~, у)0. у Р'2поз ~ 2оз (17) Вывести следующие выражения среднего, дисперсии н коэффициента асимнет- рми для логарифмически иормалыюго распределения лг! = ехр (а+а'/2), (17а) (178) (17в) л Р ~ — Ха!~в ~ехр( — пи), е)0, 1 л (18) где ч=1п гп!(ехр[Лз(ч! — е))),и Ла — корень уравнения гп,(8! ехр (Л8!) ) = енг!(ехр (Л8!) ).
(18а) 3.!4. Показать, что характеристическая функция дискретной случайной величины, распределенной по закону Пуассона [см. (1.29)), равна 6 (и) - ехр [Л (е' ' — 1) ), Л) О. (19) Используя (19), доказать, что сумма незавиоимых пуассоновсмих случайных величин также подчкняется распределению Пуассона. 3.15. Показать, что для случайной величины, распределенной по закону Коши 1 1 г" (к) = — + — агс!дх, (20) характеристическая функция 63 (о) =ехр( — [о[).
(20а) используя (20а), доказать, что сродное арифметическое произвольного конечного числа независимых случайных величин, распределенных по закону Коши, также подчиняется распределению Коши. 3.18 [11. Доказать, что характеристнческая функция суммы случайного числа ч незавиаимых случайных величин 8!, ..., $ т ь„= Хча а ! равна 8, (о)= Х р, ЦО,„(), (21 .-! а=! гле р,=р(т=г), г=1, 2, ... и случайные величины ч и $ь независимы.
Исполь- 81 р, = (ео — 1) ехр (2а + оз), 1! = (ео + 2) (ео — 1)!!З. 3.13. Пусть 8!, ! 1, н— нулевыми средними, имеющие неравенство Чернова [9) совокупность независимых случайных величин с одинаковые функции распределения. Доказать зуя (21) и предполагая, что случайные величины в!,, $ ра~о!гределены одинаково,,вывести следующие формулы для среднего значен~ия и дисперсии случавной величины й гл! ( ь ) = ай а, (22) Рай ч + Ргт 1' (22а) где аР ргф а, рг — средние и дисперсии случайных величин йь и т, и= = 1, 2 ... 33 Е Пусть 3 — случайный вектор, у которого а — вектор средних и К— корреляционная матрица .
Обр азуем квадратичную форму 3'Щ, где Π— си мметричная положительно определенная матрица. Вывести следующее выражение характеристической функции величины Ч=$'Щ: йг (г) = г ] з «е (гь) П ) юо„(е) «е (ез) "" г(з о а=! о а функция распределения (24) е (г)=г)Г гг(щ) Пю (о) ге(щ)!(з г)~О ° е а=! (25) Глава 4 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 4.1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАПНЫХ ПРОЦЕССОВ 4.1.1. Определения.
Функция й(1) действительного переменного 1 называется случай|ной, если при каждом значении аргумента 1 она представляет случайную величину. Иначе говоря, 82 0„(о) = (де((! — 2! о КО)] и~Х 1 Х ехр ( — — а' К ' (1 — (1 — 2!о КО) ' ] а ], 2 (23) где 1 — единичная матрица (3]. 3.18. Рассмотрим аадачу о «блужданняхь (б]. Пусть точна может переме- щаться в плоскости по отрезкам прямых. Будем трактовать зти перемещения как взаимно независимые векторы со случайными компонентами (йь,чь). Поло- жение точки после и перемещений определяется результирующ!нм вектором с ч я компонентами $= 3', $а и т) = .'~ т1а.
Предположим, что модуль р«= е=! гг=! =(йга+Чга)ггг и фаза !ра=агс1К(т)аД«) каждого вектора также независимы, причем фаза распределена равномерно на интервале (О, 2я), а плотность рас- пределения модуля равна !ее (г). Показать, что плотность вероятности медуза ля р результирующего вектора случайная Функция — семейство случайных величин $(1), зависящих от действительного, параметра й Если параметром 1 является текущее время, то случайная функция $(1) называется случайным процессом, В отличие от детерминированного процесса, развитие во времени которого априори определено однозначно, случайный процесс представляет такие изменения во времени физического явления или состояния технического объекта, которые заранее точно предсказать невозможно.
Если случайная величина определялась множеством ее возможных значений и распределением вероятностей на этом множестве, то случайный процесс характеризуется .множеством функций времени (4.1) $(1) = Д(ю(1), 1~Т) ,и вероятностной мерой, заданной на множестве функций (4.1). Каждая отдельная функция времени ~~ю(1) называется реализацией (траекторией, выборочной функцией) случайного процесса $(1), Индикатор реализации (я) может принадлежать счетному множеству действительных чисел или интервалу действительной оси (континууму).
Детерминированный процесс имеет единственную реализацию, описываемую заданной функцией времени 5(1). Множество Т значений параметра 1 называют областью определения случайного процесса 5(1), а множество Х, которому принадлежат возможные значения к(1) — пространством значений процесса. Более общим, чем понятие случайного процесса, является понятие случайного поля — случайной функции нескольких переменных ~(1, х, у, г, ...). Например, случайное поле может представлять изменения состояния технического объекта в зависимости не только от времени, но и от его положения в пространстве (от координат х, у, г). В этой книге мы ограничиваемся изложением только теории случайных процессов и ее практических приложений.
4.1.2. Общая классификация случайных процессов. Различают два класса случайных процессов: с дискретным временем (случайные последовательности), когда область определения Т случайного процесса представляет конечное или счетное множество моментов времени, и с непрерывным временем, когда область определения — континуум.
Случайная последовательность называется дискретной, если множество Х (пространство значений процесса) конечное или счетное, и непрерывной, если множество Х вЂ” континуум. Случайный процесс с непрерывным временем называется дискретным, если множество Х (пространство процесса) конечное или счетное, и непрерывным, если множество Х вЂ” континуум (рис. 4.1 и 4.2). Часто используется временная дискретизация случайного процесса с непрерывным временем, и тогда такой процесс аппроксимируется случайной последовательностью. Рпс. 4,1. Реализация непрерывного случайного процес- са Рис. 4.2.
Реализация дис- иретнога случайного про- цесса Рп(хг, ..., Хп, 1!, ..., 1п) =Р( П 4(1а) ~(ха) г=! (4.4) или сокращенно Р (х, 1) =Р(в(1)(х) (4.4а) (принято, что размерность вектора !порогов х определяет размерность функции, а вектор 1 является вектором параметров). 84 Пусть задано произвольное число п моментов времени (1!, 1,, „1„) =1~Т!и!.
Совокупность значений случайного процесса в указанные моменты времени $(1!), 1=1, п образует систему случайных величин (векторную случайную величину) Ф=(Ь, Ь, -, 5 ), Ь=$(1!) со значениями в п-мерном эвклидовом пространстве Р~Хп. Тогда вероятностными характеристиками случайных последовательностей и случайных процессов с непрерывным временем (при временной дискретизации) являются функции совместного распределения указанных случайных величин. Далее рассматриваются вероятностные характеристики случайных процессов с непрерывным временем.
О!пределение соответствующих характеристик случайных последовательностей не вызывает особых затруднений, как будет показано, например, в гл. 7. 4.1.3. Функции распределения случайного процесса. Фиксируя последовательно п=1, 2, „. моментов времени, находим последовательность функций распределения случайного процесса $(1): одномерную функцию распределения Р!(хг, 1!) =РД(1!) (х!), (4. 2) двумерную Гг (хг, Хг, 1г, 1г) =Р((тз(1!) ~(х!) Д (ть(1г) (хг)) (4.3) н так далее до произвольной конечномерной функции распределе- ния Последовательность функций распределения Р!(х!, 1!), Р» (х!~ х» 1! 1») ... Р!! (х! ...
х!! 1!~ - 1п) двумерная д»Р»( ! !») и!»(хмх», », м= дх! дх» и так далее до произвольной нонечномерной д" гп (х»,, хи ° !! ... »и) дх! „ д»!! (4.7) (4.8) или сокращенно д!' Р!! (х, 1) дх (4.8а) Последовательность:плотностей вероятности случайного процесса как функции порогов х!, ..., х обладает всеми свойствами плот- ностей вероятности, изложенными в гл. 2. Особенностью является 88 представляет своеобразную лестницу, поднимаясь по которой удается все !подробнее характеризовать случайный процесс.
Рассматриваемая последовательность функций распределения как функций порогов х!, ..., х„должна обладать всеми свойствами функций распределения вероятностей, изложенными в гл. 2. В частности, из функций распределения а-го порядка можно получить все функции распределения более низких порядков, вплоть до первого.
Однако в отличие от функций распределения случайных величин, функции распределения случайных процессов зависят не только от порогов х!, ..., х„, но и от моментов 1!, ..., 1 . Функции распределения случайного процесса должны удовлетворять условию симметрии Р„(х» ...,х„,1„...1„) =Р„(х»„..., х»,1»„..., 1» ), (4.5а) где й!, ..., й — целые числа от 1 до и, расположенные в произвольном порядке, и условию согласованности Ит Р„(х, ...,х„,1»...1„) =Р„(х, ...,х»,1, ...,1»), й и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
