Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Если семейство конечномерных распределений удовлетворяет условиям симметрии (4.5а) и согласованности (4.5б), то эти условия необходимы и достаточны для существования случайного процесса, имеющего те же самые конечномерные распределения (теорема Колмогорова [101). 4.1.4. Плотности вероятности и характеристические функции случайного процесса.
Вероятностными характеристиками случайного процесса являются также плотности вероятности: одномерная и, (х„1,) = (4.6) д»! (4.9) и так далее до произвольной нонечномерной (4.1 1) зависимость плотности вероятности от времени. Плотности веро- ятности случайного процесса, как и функции распределения, должны удовлетворять условию симметрии »в„ (х», ...,х„, 1о ..., 1„) = и!„ (х»„ ..., х» , 1»„ ..., 1» ) (4.86) и условию согласованности и!»(х1 - х» 1! - 11») = ) ... ) и!ь(х» - хаю(м- ~гь)их»+1 "с(хь ФО (4.8в Совершая преобразования Фурье по переменным х!, ..., х, по- лучаем из (4.6) †(4.8) последовательность характеристических функций случайных процессов: одномерную характеристическую функцию О!(о!, 1,) =т!(ехр[1о!$(1!))), двумерную 0»(оь о,, 1ь 1») =т!(ехр[1о!С(1!)+\о»С(1»)1) (4.10) илн сокращенно 0„(ч, 1) =т!(ехр[1ч'й(1)1).
(4.11а) Характеристические функциями случайного процесса, как н плотности вероятности, долж~вы удовлетворять условию симметрии 0„(о„...,о„,1„..., 1„) =6„(о»„..., о»,1»„...,1» ) (4. 1 1б) (4.13) и условию согласованности !д!,(о!, ..., о!„1!, ..., !») =8„(о!, „„о», О, ..., О, 1!, ..., 1„).
(4.11в) В некоторых случаях используется кумулянтная функция случай- ного процесса фп (о!, ..., оа, 1!, ..., )ь) =1п !9п(о!, ..., оь, 1!, ..., )и). (4. 12) 4.1.5. Моментные функции случайного процесса. В отличие от конечномерных функций распределения (плотностей вероятности, характеристических функций) случайного процесса, которые опре- деляют «тонкую структуру» процесса, моментные функции Ве т», » (1„..., 1„) =т,(Р (1!) ...Ц»п(1„)) = )" х» ... х'ь!е„(х„...,х„,1„...,1„) йх! ... йх„, Ю 2, и„= !!!, г=! ва дают более «грубое» вероятностное описание процесса и не ха.
рактеризуют его однозначно в том смысле, что у двух различных процессов могут быть одинаковые моментные функции (нескольких порядков). Наряду с моментными функциями случай~ного процесса исполь. зуют кумулянтные х», » ((м ...,(„) =- ( — 1)н Х х д 4~„(с~,..., с„, (ы..., („1 (4.13а) (дс«)"' ...
(де«) ~~ и= „=« =0 а которые представляют коэффициенты разложения кумулянтной функции (4.12) в ряд Тейлора ;Ф т' (и "»т "*г)= Х Х »,, „», д»( ° ° ° йп( х и»„,» (1„...,1„)о»у ... п».. (4.136) Для решения многих задач иногда достаточно знать следующие моменты функции: среднее значение случайного процесса (моментную функцию первого порядка) т, Я (1)) = )" х в, (х, 1) «(х = а» (1), (4.14) дисперсию (центральную моментную функцию второго порядка) т, ([$ (1) — а» (1)[») = ) [х — а( (1))з ш, (х, () йх = о»1 (1), (4.16) корреляционную функцию (смешанную моментную функцию вто- рого порядка) т,($((,)$((,))= ~ ~ х,х,ю,(х, х„(д, (»)йх»йх,=В1((,, (,). (4.16) Нетрудно доказать, что корреляционная функция случайного процесса (центрированного) совпадает с кумулянтной функцией [см.
(4.13а) и (3.84а)1 н» (1„(») = Вз ((», Ю ) . (4.16а) 4.1.6. Совокупность случайных процессов. Иногда необходимо исследовать совокупность случайных процессов $,(1), ..., Ь(1). Каждый из процессов $»(1), 4=1, М, можно, рассматривать как компоненту векторного случайного, процесса й(() со значением в У-мерном эвклидовом пространстве. 87 Функция совместного распределения совокупности случайных процессов з! (1), ..., йлг(1) Р Я,(1!") < хы, ..., $,(4",) < <х!»„.... %у (1~"!) <'хв о ..., Вл(1.'"„')<< ~~лм) Рм(х!!г ° '' х!лгг 1!, ° 1лг г ° ° ху\г' г хулуг 1! г" ~ 1лу )! (4.17) где М= У и,.
! ! Рассмотрим более подробно распределение вероятностей двух случайных процессов $(1) и х1(1). Из (4.17) при п=2 (и очевидном изменении обозначений) !получим РД(1!)~(хг, „$(1л)(~хлг !1(Р!)~(угг ..., н(Рт)~(у~»= =Рл+т(х!, .-, Хл, ггг -, (лг у!г -., угл~ 1 !г - г 1 гл). Смешанная производная д"+лгул+ (хо ", х, !о " !л, уг, ° °, у !!. "°, 1„,) дх! ... дх„ду! ... ду,„ = и„.~ (х„..., х„, 1„..., 1„, у,, ..., у, 1;, ..., 1' ) (4.19) называется (и+т)лмерной совместной плотностью вероятности случайных процессов $(1) и !) (1). Два случайных процесса $(1) и !1(!) независимы, если для любых пил! Р„+ (х„..., х„, 1,, ..., 1„, у„..., у, 1!', ..., 1' ) = =Р~(х!, ",х., 1„-, 1.) Рч(у„-., у, 11, -, 1.') (4.20) Совместные моментные функции двух случайных процессов lпл,, ..., л, г,,..., г (11 "' ~л ~! "'г ~лг) = у!! (Р* (1!) " ~ " (1.) )" (1!) " Ч'" (1 )) = Хл~ Х луг', у гл !г х!у„+ (х,,...,х„,1,..., 1„, у„..., у„„(,,...,1„) х х !(х! ...
бх„бу! ... !(у„. (4.21) Простейшей совместной моментной функцией является взаимная корреляционная функция двух случайных процессов В~„(1~ 1,) =В„Е(С,, 1,) = и!,($ (1,)1) (1,8 = хуц!х(х, 1„у, 1,) !)хну. (4. 22) 4.1.7. Комплексный случайный процесс. Как правило, в приложениях рассматриваются действительные случайные,процессы. Вз Однако иногда бывает полезным рассматривать комплексный случайный процесс ь(1) =$(1)+щ(1) (см. гл.
15), который определяется двумя действительными случайными процессами 5(1) и д1(1), представляюпдими его действительную и мнимую части. Распределение л-го порядка ~(1) задается 2л-мерным совместным распределением $(1) и И(1). Среднее значение, дисперсия и корреляционная функция комплексного процесса определяются по формулам ад (1) = пд (1) + д ач (1), (4.23) рдГ(1) = (д (1И(1) () =)ддд(1)+ рдч(1), (4.24) Вз ((д, 1,) =лдд(ь(1д)Ь(1„)) =Во((д, 1)+Во(Юд, 1) — 1[Вдч((д, 1)— В„, (1„ 1,)). (4.25) 4.2. КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЪ|Х ПРОЦЕССОВ ПО ИХ ВЕРОЯТЫОСТЫЪДМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ 4.2.1. Предварительное замечание. В и.
4.1.2 случайные процессы классифнцировались в зависимости от вида области определения процесса и пространства его значений. После введения вероятностного описания случайных процессов можно дать их классификацию с учетом тех или иных ограничений, которые предъявляются к вероятностным характеристикам случайных процессов.
4.2.2. Стационарные случайные процессы. Случайный процесс $(1) называется стационарным (в узком смысле), если для произвольной последовательности 8д,..., 1п, для любого значения 1о и для любого целого числа и)! функция распределения дд-го порядка процесса удовлетворяет тождеству Вп(ХЪ"., хп, (ь- гп) Рп(Хд,-., Хп, 11+(о> -, 1п+1о) (4.26) Иными словами, случайный процесс стациоиарен в узком смысле тогда и только тогда, когда функции распределения любого»орядка не зависят от начала отсчета времени, т.
е. когда любые вероятностные характеристики инвариантны относительно сдвига переменной Е Условие стационарности (4.26) в узком смысле практически трудно проверить для произвольного случайного процесса. Однако можно сформулировать ряд необходимых (но не достаточных) условий стационарности в узком смысле. Значение этих условий состоит в том, что если хотя бы одно из них не выполняется, то можно утверждать, что исследуемый процесс — нестационарный.
Полагая в (4.26) п=1, получаем одно нз необходимых условий стационарности гд(х, 1) =Р,(х, 1+(о) =г1(х), (4.27) т. е. для стационарности процесса необходимо, чтобы его одномер- 89 ная функция распределения не зависела от времени.
Из (4.27) следует, что необходимыми условиями стационарности являются также независимость от времени одномерных плотности в,(х) и характеристической функции 8~(п) процесса, а следовательно, и моментных функций т,(зо(1)) =ты В частности, самыми простыми необходимыми условиями стационарности являются постоянство среднего значения ао (1) =ао и дисперсии роз (г) =роз процесса. Полагая в (4.26) и=2 и (о= — 1ь получаем еще одно необходимое условие стационарностн Ро (хь хо й (о) 'Ро (х1 хо, 1о (!) .
т. е. для стационарности процесса необходимо, чтобы его двумерная функция распределения зависела не от двух моментов времени, а только от их разности. Из (4.28) следует, что необходимыми условиями стационарности являются также зависимости только от разности двух моментов времени двумерных плотности вероятности в,(хь хо, (о — (1) и характеристической функции Оо(оь оо, го †), а следовательно, н корреляционной функции Во(т)= ) ) х,х,в(х,, х„т)о(х,о(х„т=(,— Е,. — Ю 4.2.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
