Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Спектральная плотность мощности нестационарного случайного процесса. рассмотрим текущий спектр усеченной реализации неставнона~рного случайного процесса $(С): 2«та«(м' С)= ) ь«т«(С)ехр( — «ю/)с«С, «С( ~ Т/2 (4.! ОО) Среднее по множеству реализаций мощности процесса 2(С) на частоте ю на интервале времеви ( — Т(ь, С) с 42«,"'( с)!') = 1 1 1 ВЧ«(с)х « — 3/2-Т/2 хат (са) ехр ( — «ю(сс — сь)) с«сссуа Вт (/2 Са) ехр( — «ю(/с — Са) с«/«с«/а. /2 — Т/2 где В, (Сс, с,) =сит 1%«," (С,) Вт" (С*)).
Заменяя переменную интегрирования с-/,— С, и равбивая область интегрирования ва две, получаем С,+Т/2 „,Ц2~2«(м,/)(2]= ) ) В,(С,, С, .)Х -т/2 о с е Х Ч ( — т)дтд/,+ 1 5 В,(С,+т, С,)Х 1 т с с+т(2 Хехр( — «мт)с(тс«/а — ) ) (Вт (С,. С,— т)Х -Т/и О Х ехр ( — «ют) + Вт (Сс — т, Сс) ехр («мт)) с«т с«(с, н так саак Вт(/с, Сс)=Вт(/с, Сс), то с, с,+т/2 тт («2).«(се, С)~ ) =2 ( ) Вт (/т, Сс — т) соамтс«тс«/с. — Т/2 О (4.101) Фй(~, с) = Нщ Ф (~, /), т (4.
1023 где Ф, (ю, с) =а — с'(~(2т"«(, /)«2). д дс 106 Опредевнм мгновенную спектральную плотность мощности нестационариоге случайного процесса согласно равенству Дифференцируя обе часви (4.101) по /, ~находим г+т/а Фт(е Г) 4 ) Вт (/ / т)совет~(т, о опсуда, переходя и пределу при Т-ьо, получаем г+т/и Фй(е, /)=4!пп [ Вт(/, 1 — т)созетдс= ОФ =4~ Вй(/, / — т) созолНт, 1 Вй(1, à — т) = — ) Фй(е, Г) совет йо, йя о (4. 104) (4.105) Ю вЂ” ) Фй «е, Г) а е = Вй (/ /). йя о Введем среднее по времени т/2 от (е) = ) Фт(е /) "/. Т вЂ” т/и (4.
10б) Подставляя (4.103),в (4.106) находим Ят(е) — ~гп~ ()~т)(е, )) ) щ~ ()ут (е — )~ ~~. Так ках согласно (4.100) Х<ь~г(е, — Т/3)=0, а Х~ь~г(е, Т/2)=Х'ь)т(е) [см. (4.75)], то В ( ) = —,1(31та1(е)!з~, Т пде — ~21а1(е)1а как было указано в п.4.3.5, — средняя мощность проТ т цесса на частоте е, отнесенная к полосе частот /хе=1/Т, В соответствии с общим определением (4.80) опектральиой плотности мощиоспи случайного процесса для нестацнонарного случайного процесса полущем т/а 85 (е) = Пгп — щ, Ц Х1т) (е)!~~ = 1(щ — $ Фт (е, 1) ~И. т-ь Т т-ь~ г /з (4.107) 107 где В й(/ь /г) — корреляционная функция нестацвонарного случайного процесса 5(/).
Следовательно, мгновеннав спектральная плотность мощности и корреляционная фуакцня нестанионарного случайною процесса является парой преобразований Фурье по переменным е и т. Формулы (4.104) и (4.105) представляет обобщение теоремы Хинчина — Винера иа нестационарные случайные процессы. Из (4Л05) следует Из (4.104) и (4.106) следует также, что спектральная платность модности нествпионз~рново случэйного процеаон овяззнз с усредненной по времена корреяямиамвой функцией этого процесса преобразовзннем Фурье: 4 тв г+т1в Вй(м) =11гл) — ) ) В.
(Г, à — т) созмтгЬФ= т-мч Т вЂ” тГ2 в (4ЛОВ) — 4) Вй(т) созмт'(т о (4.100) тм „.(,) 11,„~ Вт(г, — ) 1 т Т вЂ” г'/в 4.4. КЛАССИФИКАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ Е ШИРОКОМ СМЫСЛЕ ПРОЦЕССОВ ПО ИХ СПЕКТРАЛЪНОЙ ПЛОТНОСТИ МОЩНОСТИ 4.4.1. Узкополосные процессы. Стационарный в широком смысле случайный процесс называется узкополосным, если его спектральная плотность мощности сосредоточена в относительно узкой полосе частот около некоторой фиксированной частоты гоо (рис. 4.8).
Если Ь, — ширина полосы спектра, то условие узкополоспости представляется неравенством Г".(с «Ф О. (4.110) Для того чтобы исследовать характерные особенности корреляционной функции узкополосного процесса, рассмотрим выражение (4.83) и введем вместо переменной ог новую переменную интегрирования И=го — гоо, равную расстройке текущей частоты относительно некоторой фиксированной частоты ого: Вв (т) = — ) Бй (И + Фе) соз (И+ ого) с(И.
2п ОбОЗНаЧИМ ЧЕРЕЗ Бей(И)=51(И+ФО) СПЕКтр, ПОЛуЧЕННЫй НЗ исходного спектра смещением в область нижних частот на вели- 11 огз Рис. 4.. э'зкополосный спектр Рис. 4,9. Корреляциониня функция узкополосного случайного процесса 1ОВ где 1 а,(т) = — ]5'(й)созйтай, (4.112а) а,(т) = — ~5'(й)з]пйтПй, (4.1126) -ОР аз(т) = аз(т)+ аз(т), ф, (т) = агс1И [а, (т)!а, (т)]. (4.112в) Так как спектр 5»1 (й) низкочастотный, то функции а,(т), а,(т), а следовательно, и а, (т), ~рз(т) будут медленно меняющимися функциями переменной т по сравнению с «высокочастотным заполнением» соз вет.
Следовательно, корреляционная функция узкополосного случайного процесса, спектр. которого сосредоточен в узкой полосе около частоты вв представляет осциллирующую (с частотой вз) функцию с медленно меняющейся огибающей (рис. 4.9). Если такой спектр считать симметричным относительно центральной частоты в0. 5*1 (й) =51(в»+й) =5з (вз — й) =5*1 ( — й), то из (4.1126) следует а,(т) — = 0 и тогда В1(т) = а,(т) созв т, где (4.113) 1 ао (т) = — ~5' (й) соз йтЮ.
"а (4.113а) Здесь рассматривалась функция 5а(в) при в)0 и предположение о ее симметрии относительно некоторой частоты вз в принципе неправомерно, так как ее ветвь при в(ве ограничена (в), ~0), а при в)вз неограничена. Однако продолжение ветви в область ( — со, 0) при условии (4.110) узкополосности дает погреш- юз чину вв Тогда выражение для корреляционной функции можно переписать в виде ° О Ве (т) = ( — ) 5" (й) соз йт бй ) соз в, т + 1 2а Ю -]- — ) 5'(й)з]пйтс]й з]пв,т. [, 2я Если теперь использовать условие (4.110), то, пренебрегая величинами ] 51(й)ай=О(Л,/в0), можно получить следующее выражение корреляционной функции, характеризующее узкопополосный случайный процесс: В1(т) =а,(т)созв,т+а,(т)з1пв,т=а,(т)соз[в»т — 'р,(т)], (4.111) ность того же порядка, какая была принята допустимой при выводе формулы (4.111).
Интервал корреляции узкополосного процесса можно определить по формуле (ср. (4.71) ] ае (т) ит (4.114а) В,(0) Ширина полосы узкополосного спектра [см. (4.86)1 Ь =— з' (о) ли (4.1146) 2н 8" (О) 4.4.2. Белый шум. Рассмотрим теперь предельно широкополосный случайный процесс, спектральная плотность мощности которого сохраняет постоянное значение 2Уо на всех частотах Вй(ш) 2Ж, — со (го(со.
(4.115) Стационарный в широком смысле случайный процесс, имеющий равномерный на всех частотах спектр, называют белым шумом'. Корреляционная функция белого шума Ме Вй(т)= — в )ехр(1отт)с(ш=)реб(т), (4.116) 2л т. е. представляет собой дельта-функцию в начале координат (см. Приложение 1). Таким образом, белый шум характеризуется тем, что «значения» его в любые два, даже сколь угодно близкие, момента времени некоррелированы. Следует отметить, что понятие белого шума относится только к спектральной картине случайного процесса и оставляет совершенно открытым вопрос о законах распределения. Точнее говоря, распределения вероятностей белого шума в обычном смысле не существует (см.
далее п. 6.3.9). Белый шум является идеализацией (математической моделью), не реализуемой в действительных условиях, так как, во-первых, достаточно близкие значения случайного процесса практически всегда зависимы и, во-вторых, реальные процессы имеют конечную мощность, а полная мощность белого шума бесконечна. Однако, как правило, рассматривают результат прохождения белого шума через линейные системы (см. гл.
6) — так называемые линейные функционалы, распределения которых и определяют в обобщенном смысле тонкую вероятностную структуру белого шума. Вследствие ограниченности полос пропускания радиотехнических устройств использование белого шума в качестве модели процессов на входе этих устройств, которая значительно упрощает математический анализ, не вносит сколько-нибудь существенных погрешностей. ' По аналогии с белым светом, имеющим сплошной и приблизительно равномерный (однородный) спектр в пределах видимой его части.
110 4.4.3. Случайные процессы с дискретным спектром. Рассмот- рим случайный процесс ~ (() = $ соз во(+Ч з(п аА (4.117) где $, о) — случайные величины, не зависящие от 1, а во — посто- янная частота. В общем случае процесс (4.117) нестационарный. Для того чтобы он был стационарным, по крайней мере, в широ- ком смысле, необходимо выполнение следующих условий. Сред- нее значение процесса не должно зависеть от времени. Это усло- вие выполняется, если случайные амплитуды $ и и центрирова- ны, т.
е, т, Я=т,(п) =О. Во вторых, корреляционная функция процесса должна быть функцией одной переменной т. Поскольку т1(ь(1) ь(1+т)) =т, До)соз во1 соз во(1+т)+ +т1 (0') з(п во( з(п ао (1+т) +т, ($т1) з(п ао (21+т), то корреляционная функция В~(т) не будет зависеть от перемен- ной 1, если т,(Я=т,(П') =оо/2 и если случайные величины й и и некоррелированы, т. е. т,Дп)=0. Пи выполнении указанных условий случайный процесс (4.117), представляющей гармоническое колебание со случайной амплиту- дой р=)'~'+По и со случайной фазой р=агс18(ПЯ), будет ста- ционарным в широком смысле, а его корреляционная функция Вг (т) = (о'(2) соз аот. (4.118) Средний квадрат случайной амплитуды т, (р') = т, до)+т~(по) =а' Как видно из (4.118), корреляционная функция колебания со случайными амплитудой и фазой пропорциональна дисперсии ам- плитуды н не зависит от каких-либо вероятностных характеристик фазы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
