Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 17
Текст из файла (страница 17)
4.2.9. Стационарно связанные и совместно эргодические случайные процессы. Понятия стационарности и эргодичности можно распространить на совокупности случайных процессов (векторные случайные процессы). Случайные процессы вс (1), ..., $„(1) образуют совокупность станионарно связанных (в узком смысле) процессов, если их совместные функции распределения не зависят от выбора начала от- 95 счета времени. Два стационарных случайных процесса $ (Г) и п(1) стационарно связаны (в широком смысле), если взаимная корреляционная функция зависит только от временного сдвига (см. (4.22)1 Вгч (т) = Вчг ( — т) = т, Я (Г) т1 (Г + т)). (4,45) Стационарно связанные случайные процессы совместно эргодические, если любая их совместная вероятностная характеристика совпадает с соответствующей характеристикой, полученной усреднением по времени функции от любого набора реализаций процессов (по одной от каждого процесса).
Два эргодических случайных процесса 5(г) и т1(() совместно эргодические в широком смысле, если Взч(т) = Д<ИЩт)оч(1-1-т)) = г = 1(гп — ) Ц<"> (() ци1 (г+ т) с(г. (4.46) г-,в 2Т 4.2 10. Случайные процессы со стационарными приращениями. Случайный процесс $(() называют процессом со стационарными приращениями, когда при любом фиксированном т Ь$ (г) = =$(г) — $(г' — т) представляет стационарный случайный процесс. Очевидно, что любой стационарный процесс является случайным со стационарными приращениями, но не наоборот. Например, сумма стационарного случайного процесса и нестационарного процесса вида $г+511, где $в и $1 — случайные величины,— нестационарный случайный процесс со стационарными приращениями. Можно ввести более общее понятие случайного процесса $(г) со стационарными п-ми приращениями как процесса, для которого Ь"$(() $(() — ( )$(1 — т)+(")$(1 — 2т)- ...
*.. +( — 1) $(1 — ат) представляет стационарный случайный процесс. 4.3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 4.3.1. Общие свойства корреляционной функции. Из определения (4.16) следует, что корреляционная функция случайного процесса $(1) симметричная: В, (1„(,) = В, (1„(,). (4.47) Рассмотрим среднее значение квадрата линейной комбинации значений случайного процесса т, 2; ХД(11) ) О, (4,48) (4.50а) (4.52) для любого фиксированного значения Т и любой действительной Ю функции 7(1), интегрируемой с квадратом, т. е.
) )'(!)Ж<оо. Корреляционная функция центрированного случайного процесса 9 (!) — аа (!) т, Я (1,) — а! ((,)) (9 ((,) — а! (1,))) = В! (1„1,) — а1 ((,) а! (1,), (4.54) где аа(!) — среднее значение $(7). Часто под корреляционной функцией случайного процесса 5(г) имеют в виду корреляционную функцию (4.54) центрированного процесса 5(!) — а! (!). 4 — 97 97 где Хь ..., А — произвольные действительные величины и и— любое целое число. Заменяя квадрат суммы двойной суммой, меняя порядок суммирования и усреднения, получаем о и ~ ХВ,((ь (,)Л,),,>0.
(4.49) К-~ !-1 Условия (4.47) и (4.49) означают, что корреляционная функция представляет симметричное ядро положительно полуопределенной квадратичной формы. Эти условия являются необходимыми и достаточными для того, чтобы функция двух переменных была корреляционной функцией случайного процесса. Если М вЂ” корреляционная матрица, элементы которой М,,=В,(гь 7,), (4.50) то необходимым и достаточным условием положительной определенности квадратичной формы является (см.
(3!) йе! М)0. Из (4.49), (4.50) и (4.50а) при п=2 следует ~В,((„г,)1 ~В,((„(,) В.,(7„г,), (4.5!) причем Ва (Ю, !) т1 ( аэ (!)) ) 0 — среднее значение квадрата случайного процесса $(!). Если 5(!) представляет изменение напряжения или тока на нагрузке 1 Ом, то, как следует из (4.52), размерностью корреляционной функции является мощность процесса. Поэтому корреляционную функцию называют энергетической характеристикой случайного процесса. Отметим, что эквивалентным приведенному ранее необходимому и достаточному условию того, чтобы функция двух переменных была корреляционной функцией, является следующее условие: корреляционная функция должна быть симметричным ядром положительной полуопределенной интегральной формы т г )" Ва'(и, п) 7(и) 7'(о) да до) 0 (4.53) -г -т (4.555) (4.57а) Условия (4.47), (4.48) обобщаются на корреляционную функцию комплексного случайного процесса [см.
(4.25) ]: ве«,, (,) = в,«,, (,), (4.55а) л а у, ув,«„г)л,л,)о, К-1 1=1 где черта сверху указывает на комплексно сопряженную величину. Для того чтобы функция двух переменных Вач ((ь (1) была взаимной корреляционной функцией двух случайных процессов а «) и Ч «), необходимо и достаточно, чтобы л л У. у. (В„«ь (,) Л, Л,+ В~«о (,) (Л, р,+ Л, „,)+ с юг-ю +в„„«ь (г) р,,р,) ~о, (4.56) где Вта «ь г;), Вчч (гь г;) — корреляционные функции процессов я(() и Ч «) соответственно. 4.3.2.
Ортогональное разложение корреляционной функции. Представим корреляционную функцию случайного процесса $(г) в виде ряда в,«, д)= ~ чь("ч"("). (4.57) Функции ~рь(Г) образуют систему ортогональных нормированных функций, т. е. ~ Фь «) В «) Й = би где Ьгн — символ Кронекера (см. (2.79)1. Умножая обе части (4.57) на Л ~р (д), интегрируя по д в пределах ( — т, т) и используя (4.57а), найдем, что ~рд(г) и ль должны быть собственными функциями (решениями) и собственными числами однородного линейного интегрального уравнения т ~«)=л ~в,«, д) р(д)бд, !г!<т. (4.58) Умножая обе части (4.58) на ~р(г), интегрируя затем по г в пределах от — Т до Т и учитывая (4.53), (4.57а), убеждаемся, что собственные числа Ль»о. Так как корреляционная функция В1 (г', д) положительно определенная, то совокупность собственных функций полная.
Это означает, что на интервале ~Г~(Т не существует больше ни одной функции ф«), которая была бы ортогональна всем фь(8). Из (4.57) при г=д находим выражение для среднего значения квадрата случайного процесса $(г): в,«, ()= Х "'~, (4.59) ь-1 ль Интегрируя обе части (4.59) по 1, с учетом (4.57а) получаем — (В,(1, г)б(. (4.60) а=в Нетрудно показать, что в общем случае сумма обратных степеней собственных чисел — — (Внн(и, и)йи, (4.61) хл ( ы ь где Воо(и, о) — и-кратная итерация корреляционной функции Ва (1, у), т. е.
(4.69) вз т т Вон (и о) =- ) ) Ва(п, (Д...В1((п-ь о) й, г((а и и л2, — т г Вп>(и, о)=В~(и, о). (4.62) 4.3.3. Корреляционная функция стационарного процесса. Для стационарного в широком смысле случайного процесса $(1) среднее значение постоянно аь(Г) =а1, а корреляционная функция зависит только от сдвига т во времени: Ва(т) лг, Я (1) $(1+ т)). (4.63) Если функция В1(т) непрерывна в начале координат, то 11гп В1 (т) - Ве(0) = гл, Я' (1)). (4.64) Далее 11ш Вз(т) [т,Я(1))1' а' (4.65) и, следовательно, дисперсия случайного процесса ,*- В, (0) —,.
(4.66) Из симметрии корреляционной функции 1см. (4.47)) следует, что корреляционная функция стационарного в широком смысле случайного процесса является четной: Ва (т) Ва ( — т), (4.67) а из (4.51) следует (Ва(т)( ~(В1(0). (4.68) На рис. 4.6 построена типичная корреляционная функция стационарного (в широком смысле) случайного процесса, Следует отметить, что приближение Ве(т) к и'1 при 1т~-~-со не всегда происходит монотонно, иногда значения корреляционной функции колеблются около а'1, стремясь к этой величине при увеличении ~т~. Отношение )7,(т) В,(ФВ,(0) 4Ф Рис.
4.6. Корреляционная фуняцня стационарного случайного процесса !00 для центрированного случайного процесса называют нормированной корреляционной функцией. Из приведенных формул следует гт! (0) 1, Я! (оо) = О, )т! (т) = Рз (: т), ~ЯЗ (т) ~ ~( 1. (4,70) Нормированная корреляционная функция может принимать нулевые значения и при конечном т. Однако равенство этой функции нулю еще не озыачает независимость двух значений случайного процесса в моменты времени ! и 1+т. Для стационарного случайного процесса всегда можно указать такое то(т, при котором величины 5(!) и 5(!+т) для любого 1 можно считать практически некоррелнрованными в том смысле, что при т)то абсолютное значение нормированной корреляционной функции остается меньше заданного, например !Р!(т) )( (0,05.
Величину то называют интервалам корреляции. Иногда интервал корреляции то определяют следующим образом: то = ) !01(т)~ йт. (4,71) о 4.3.4. Взаимная корреляционная функция стационарно связанных процессов. Взаимные корреляционные функции двух стационарных и стационарно связанных в широком смысле случайных процессов 5(1) и а) (1), определенные согласно (4.45), зависят только от сдвига т во времени. Вообще говоря, эти взаимные корреляционные функции Вап (т), Вп! (г) не являются четными (в отличие от корреляционной функции стационарного случайного процесса). Например, В!и (т) ~В!я ( — т). Но из (4.22) следует Вяп (т) = Впя ( — т).
(4.72) Нетрудно доказать, что )В,„(тН (В,(0) В„(0). (4,73) Отношение )тзп (т) = В$п (т)1(В$ (О) Вп (О)) 0' для центрированных случайных процессов $(1) и г!(1) называют нормированной взаимной корреляционной функцией. 4.3.5. Спектральный анализ случайных процессов, При изучении детерминированных процессов весьма успешно применяется ЮФ гармонической анализ: ряды Фуйй т рье — для периодических процессов, интеграл Фурье — для апериодических. Желательно было бы иметь ир г столь же простой и эффективный математический аппарат при изучении случайных процессов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
