Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 13
Текст из файла (страница 13)
А=! з=! Тогда из (3.109) следует, что для сходимости при и†со функции распределения суммы (3.110) к нормальной функции распределения достаточно, чтобы и 1пп гпах сз1У, с'=О. л м !<зяб В гл. 5 (см. п. 5.2.7) будут сформулированы условия, пр|и которых центральная предельная теорема имеет место и для сумм зависимых случайных величин. 3.4.5.
Оценка сходимости к нормальному закону. На практике приходится исследовать распределение конечного числа случай- 74 с„' = ~'„ т! (1$з †, а„!з). Необходимое и достаточное условие, при выполнении которого распределение нормированной суммы (3.98) независимых случайных !величин,при п-~со сходится к нормальному, следующее: при каждом е)О о-з~", ) хзг(Р (х)-~0, (3.108) з=! ! ">-' з где Гз(х) — функция распределения $ь Из (3.108) следует очень простое достаточное условие асимптотической нормальности (см. [8) ) Игп гпах ' р, ($з)/оз = О.
л-+ !<Йкз Условие (3.109) означает, что дисперсии 1ззДд) отдельных слагаемых суммы (3.98),малы по сравнению с суммой диспероий всех слагаемых. Рассмотрим, например, нормированную лмнейную комбинацию независимых, одинаково распределенных, центрированных случайных величин ьз з г)„= — ~', саад, (3.110) е„з (3,113) ных величин и поэтому необходимо оценить асимптотическое ра- венство (3.104) в зависимости от числа и и параметров функции распределения слагаемых.
Поправка к нормальному закону полу- чается из рассмотрения выражения (3.105). Функция 1пйв„(о) представляет степенной ряд по о, коэффиц!иенты которого зави- сят от и и от центральных моментов распределения слагаемых. В зависимости от требуемой точности оценки !приближения к нормальному закону можно ограничиться тем или иным числом членов этого ряда. Если оставить, например, члены порядка не выше 1(и, то, предполагая, что третий и четвертый центральные моменты случайных, величин $а конечны, из (3.105) находим аэ а! а з 1 о(и 3/з)~ 72 о'а Вводя коэффициенты асимметрии к и эксцесса у слагаемых, получаем с точностью до порядка о (и — ю') 6 (о) =-ехр( ~ 11 (1 — оз 1 — 7 п4 „е) (3 112) 2 ) 1 61/а 24а 72а Обратным преобразованием Фурье из (3.112) находим приб- лиженное выражен~не плотности распределения суммы (3.96) с точностью до малых порядка 1/и'7' Ю'х (х) = ехр ( — — ") ~1+ Н,(х)+ + 7 Н, (х) + '— Н, (х)], 24а 72а где На(х) — полиномы Эрмита [ом.
(2.83)1. Заметим, что правая часть (3.113) представляет первые четы- ре члена разложения плотности вероятности суммы (3.96) в ряд Эджворта, который получается также из ряда Грама — Шарлье (см. п.2.5.2) перегруппировкой членов по порядку их малости. Из (3.113) следует, что распределения нормированных сумм независимых случайных величин с симметричными плотностями распределения ((4=0) сходятся к нормальному распределению быстрее, чем нормированные суммы случайных величин, для ко- торых плотности распределения асимметричны (йФО). Отметим также, что приближенное выражен~не плотности ве- роятности йгх„(х) ненормированной суммы независимых, одина- ково распределенных случайных величин 2; сд — — о у' и гм + !ю а ь=! [см. (3.96)1 следует из (3.113) с учетом (3.6) яух (х)= Кх ( ) (3.114) 3.4.6.
Обобщения. Центральная предельная теорема распространяется также на многомерные случаи. Пусть 6ь ..., $ — последовательность независимых г-мерных векторных случайных величин с одинаковыми г-мерными функциямя распределения. Обозначим через а вектор средних, а через К вЂ” ковариацяонную матрицу каждой из векторных случайных величин указанной последовательности. Тогда последовательность г-мерных функций распределения сумм л Ч =: хч' ($а- ) Уй =! при л- оо сходится к Г-мерной нормальной функции распределен|ия с нулевым вектором средних и ковариационной матрицей К. Доказательство приведенной обобщенной предельной теоремы аналогично приведенному в п.3.4.4 для скалярного случая.
Если О(ч) — характеристи. ческая функция центрнрованной векторной случайной величины йа — а, то с учетом (3.84а) и заыечан|ия в конце п. 3.3.6 имеем 1п Оч (ч) = л 1и 6 = ~ = — — ч' Кч+ о [ = (3. 116) откуда следует приведенное выше утверждение. Можно также получить приближенное выражение многомерной плотности суммы конечного числа независимых векторных случайных величин. Распнет. рим, например, совместное расп~ределеи~ие компонент двумерного результирующего вектора г! =(г)„ь г1лз), где л л Члх = Е (еьаг пх) Чла = Е Йаа — аа) пз ]гп а-! оа ]ггл а4м (3.1 ба='($ы, !аз), й= 1, л — последовательность независимых, одинаково распреце- ленных двумерных случайных векторов, каждый из которых характеризуется вехтором средних а=(аь аз) я ковариациоиной магрицей (пах о паг) В [5] были получены в первом приближении следующие выражения плотности оовмесжюго рвопределения компонент (3.1~16) результирующего вектора: ! ка — 2гхи + уа 1 ю (х, у) м ехр 1 — Х 2м ]г1 — гз ! 2(! — гз) 1 Х ~1 — — (()с, — г й,а) [(гу — х)' — 3 (! — г') (гу — х)] + 6 ']/и (1 — гз)а + (1са — гйа,) [(гх — у)з — 3 (1 — га) (гх — у)] + + 3йха у (1 — гз) [(гу — х)» — (! — га)] + 3йах х ( 1 — гз) ](гх — у)а — ( 1 — га)Щ , (3.117) где г — коэффициент хор~реляции случайных величин Ь~,и $ьз, 1с~ и ка— коэффициенты асимметрия величия $ы,и $ьз соответственно, 76 ОФ Гг,а=, )г )г(х — аг)(у — оа)ав (х, у)бхду, оа о" а 3 — — аю 3.5.
ЗАДАЧИ 3.1. а) Показать, что плотность вероятности произведения $Д, зависимых гауссовскнх случайных величин с нулевыми средними дисперсиями оаь оаа и коэффициентом корреляции й равна 1 ) (У!71,(У) = - з Ка ! по,оа'(/! — й' ! о,а,(1 — й') ! ( о,о,(1 — йа) ! где Кс(х) — бесселева функция первого рода нулевого порядка от мнимого аргумента. б) Показать, что плотность вероятности частного йЯт зависимых гауссовских случайных величин со средними аь аа, дисперсиями озь оза и козффицвентом корреляпии й йа о, оз $Л.~И- л ., 2йо...у+азу — — о~ р, ~нч!) 1 т 3 2 (! — йа) оа оз Х [1+ (/2пар,(а) ехр ( — )1, Па) где а,оа — йа, отаа+ атотх у — йааоа азу а— 1 отав[(! — йа) (озу' — 2йо,азу+ох!)) ~ га(х) — определена согласно (2.7! б).
В частном случае при а,=аз=О У! йа аа/ог (у(Ла (у) а 1 — 2й (оа/о,) у+ (оа/о,)з уа' (16) При й=О из (16) следует плоткость распределения Коши. 77 ° О ба, — — — ) ) (х — а,)' (у — аа) в (х, у) Нхг(у, ! а — ав — ю ото в3 (х, у) — совместная плотность вероятности компонент вектора 3ю а=!, л. Если каждая пара компонент 5ю и 5в суммируемых векторов не карре. лирована (г=О), имеет нулевые средние (о,=аз=-б) и одинаковые дисперсии (ог,=о',=оа), то распределение модуля результирующего вектора, как это следует из (3.117) и п.3.2.3, асвмптотически рэлеевокое, а распределение фазы результирующего вектора — равномерное на интервале ( — и, и).
3.2. Показать, что плотность вероятности модуля вектора, координаты которого незавнонмы и распределены нормально с параметрами (аь о1) и (а„ор), имеет вид )сгв (г) = — ехр — — — + — Х 1()(В Х1р 1 г + + +2лр ( — 1) 1~ — — — з Х Х1в„г — + — соз 2гл агс(й, г > О. (2) Убедиться, что при о, ор о формула (2) переходит в (3.50). Рассмотреть также частный случай прн а~=ар О. Показать, что при а1=аз 0 и коррелированных координатах плотность раопределения модуля вектора равна (распределение Хойта) йу (г) = —, 1р ~ — ( — — — )~ ехр ~ — — ( — + — ) ~, г > О, (2а) сс = о, + азз+ ~( оз, — оз) + 4гса от, ат1мз 6 = аз + оя т— [(г оа — аяя) з + 4)7р ая от] 'Гя, )7-козффициент корреляция координат. Убедиться, что при а1=а,=о и )с=О распределение Хойта переходит в рзлеевское Г ге 1 Ф' (г) — ехр, г~0, в оа ~ 2оз~' а при !с=( — в одностороннее нормальное йг (г)= — ) ехр( — — ), ос=о +о, г р0.
( моа ) (, 2оз )' 3.3. Показать, что плотность вероятности и функция распределения про ведения двух независимых рзлеевских случайных величин с параметрами о, и оз соответственно равны (3) (4) тле Н10~(г) — фуыюция Ханкеля и Кр(г) — функция Бесселя второго рода ну- левого, порядка от мнимого аргумента.
78 3.4. Показать, что плотность распределения суммы двух независимых слука[)ных величин, одна из которых распределена нормально с нулевым средним и дисперсией а', а другая представляет синусоиду амплитуды а со случайной фазой, распределенной равномерно на интервале ( — п, и), равна а [/2 ~ ( 4аз ) ( аз ) + 2 ,'Я ( — 1)" 1„ ( — ) 1а„ ( — )~ ехр ~ — (уз + аа/2)~. (5) 3.5, Показать, что функция распределения и плотность вероятности суммы двух независимых рэлеевских случайных величин с одинаковыми параметрамн о [см. (3.51)) равны Е, (у) =1 — ехр [ — у /(2аз)1 — '[I пу/оЕа [у/(а [/2) ) ехр[ — уз/(4о')1, (6) ( з) а ( 2оз ) ( 4аз ) (а Эг2 ) (7) где Еа(з) определены согласно (2.7!б) и у)О. 3.6.
Показать, что характеристическая функция хвадрата гауссовской случайной величины с параметрами (О, а) равна Ф(о) = (1 2(аэо)-»' (8) Разлагая правую часть (8) в ряд по степеням э, показать, что начальные моменты определяются по фцрмалам газ=о (25 — 1) ! 1, й='1, 2, (9) где (2й — !)! ! — произведение всех нечетных чксел натурального ряда до 25— — '! пключптелюю. 3.7. Показать, что характеристическая функция рэлеевской случайной величины равна 6(о) =!+йто !Р'и/2[1+Ф(!аэ/ )/2)!ехр( — о'о'/2), (~10) 1 юЕ(х) = и а !/! — (х/а)а )х! ~а, 1 1 .
/х1 Е (х) = + агсзйа ( ), )х! ~а. Е 2 и [а)' (11а) (1 !б) 79 где Ф(г) — функзэия Крэппа [см. (2.71а)1. ~Последовательным дифференпироввиием оп~рцпелнть начальные моменты рэлеевсвого распределен~ни и сра~ввять с (2) в запаче 22. 3.8. Показать, что характеристическая функция квазидетерминнрованного гармонического колебания Е(/)=асов(юа/+Ф) постоянной амплитуды а, постоянной частоты юз ~и случайной фазы я, равномерно распределенной па интервале ( — и, и), равна ВЕ (") =/о(ао), (11) где /з(х) — бесселева функция нулевого порядка первого рода. Используя (! 1), получвгь выражения плотное пи вероятности и функции раопрнделвнпя указанного колебания 3.9. Доказать, что сумма в квадратов независимых стандартных гауссовских случайных величин подчиняется так называемому йюраспределению с л степенями свободы, плотность я функцяя распределения которого равны 1~.".
/ л тл/з-! ~ .т 1 ю,(л)вз ~ — ) ехр~ — — ), л,ыб, 2Г(и/2) ~ 2 ) ~ 2 Р , (х) 1"(л/2, х/2)/Г(л/2), х~б, (12) (13) где Г(и/2, к/2) — яеполная гамма-функция [см. (1.31)). Показать, что началь. лые моменты хз распределения с и степенями свободы определяются по фор- муле жа= — ( — + 1)...( — +й — 1) 2 ° (14) а кумулявты етого распределения из=2" 'л(й 1)! Хз!п(юз/+фз) равна 1!Ч= [1+2 Х ( ) П1 ( =)) $*$СА Е О1) Рассмотреть частный случай одинаковых амплитуд аз=а и доказать, что в атом случае (1ба) Определить вероятность того, 1по сумма $(!) по абсолютному значению не превзойдет )!а. Привести плотность распределения суммы двух независимых гармонических колебаний одинаковой амплитуды и случайной фазы к виду юй(л) = — ~К (1 — — ) ), )я( <2о, (1бб) где К(х) — полный эллиптический внзеграл первого рода. 3.11.
Пусть случайные величины з) в $ связаны функциональным преобра. еова1вием т) Р($). предположим, что г" (к) представляет также функппю респредеаевия случайной величины $. Показать, что при указанных условиях случайная величина !1 распределена равномерно на интервале (О, 1). 80 Сравнить (14) с (2) в задаче 2.1 для экспоненциального распределения, которое является )(!распределением с двумя степенями свободы. Ук а з а н не: формулу (12) получить двумя способа!ми: а) используя (3.33) в метод полной математической индукции, б) используя формулы (8) задачи 3.6 и (3.88). 3.10. Используя формулу (11) задачи 3.8, показать, что плотность вероятности суммы независимых гармонических колебаний с постоянными амплитудами и случайнымм равномерно распределенными фазамв $(!) = Е аьХ з 1 ЗД2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
