Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники (3-е издание, 1989) (1141996), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Примером ортогонального разложения является следующее представление двумерной плотности вероятности двух нормированных гауссовских. случайных величин с коэффициентом корреляции Я: р ~ — 1 ( х', — 2Нх, х, + хт)1 = 2а )г'1 — /!и ( 2 = — ехР ! — — ( ха + хз) 1 2, — Н„(х,) Нп (х,), (2.102» где Я (х) =Нч(х)/)~'и! — нормированные полиномом Эрмита и с„= К". 2.Е.
ЗЛДАЧИ 2.1. Доказать, что начальные моменты распределения Вейбулла РЬ(х) = 1 — ехр( — Лх ), юб(х)= Ласо екр( — Лх ), х)О, Л)0, а)О (1а» (1б) вычисляются по фор|муле лгь Л-Ю"Г(1+Ь/а). (2» юб(х)= 1,(„) х" 1е Л, х)О, Л)О, а)0 (оа» вычисляются по формуле лзь=Л "Г(Ь+и)/Г(а), (Зб) а бета-распределения ха-! (1 х)ь-1 Ь(х) — В( Ь) О~ ~1 а)О Ь)О гю формуле Г (а+ Ь) Г (а + Ь) В (а + Ь, Ь) Г(а)Г(а+Ь+Ь) В(а. Ь) (4а» Рассмотреть частные случаи пуи а=! (мсопоиеныиальиое распределение) и при а=2, Л=~(2оз)-' (релеевское распределение).
2.2. Доказать, что начальные моменты гамма-распределения 2.3. Показать, что для яг-рзспределения (распределения Нзкзгями) яя-! ! яггз 1 1 ю (г)=2яглг ехр~ — — ), г~о, лг~— (бв) изчзльные моменты Г (яг+ А/2) / щз ')е/з Г(гл) ~ гл [бб) Убедиться, что при яг=1 распределение (бз) переходит в рзлеевское, з прм ел = 1/2 — я одностороннее нормзльиое. 2Л. Показать, что для одностороннего нормального распределения гяб(к) = )г2/(коз) ехр [ — лз/(2аз)1, х~ о (ба) среднее значение ~и дисперсия соотвегственчю гп,=о р'2/ч, из=(1 — 2/и)аз. (66) Вывести общую формулу для язмзльных моментов гля = (2оз)ьГз à — ) / Г (1/2).
ьз 2 // (бв) 2.5. Показать, что для рзспределевня Лапласа юб(х) = — ехр( — )г )хП, )г)0 2 (7в) ммеют место формулы глзь — ~=0, тзл=изь=(2а)1/хзь, дъ1, (76) Глава 3 е нкции случлиных вжличин ЗЛ. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕИ ФУНКЫНЙ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ (3.1) 43 3.1.1. Постановка задачи. Решение очень многих практических задач радиотехники, связи н управления сводится к опРеделению по заданной плотности распределения случайных величин плотности распределения другой совокупности случайных величин, получаемой из первой детерминированным функциональным преобразованием. Рассмотрим исходную совокупность случайных величин в"1= (4ь $з, -, $„), для которой известна совместная плотность вероятности гн , (хяг). Зададим закон преобразования этой сово- ~1 купности системой детерминированных функций уь=/ь(хяг), А=1, пз.
При помощи этих функций из исходной совокупности случайных величин й", получают т случайных величин Чь=(ь($"~), й=1, гп. (3.2) Необходимо определить плотность вероятности 1Р' (у,) случ, чайных величин т1 1=(т~~ " Ч ). Заметим, прежде всего, что решение сформулированной задачи при тФп всегда получается нз решения симметричной задачи при т=л. Если (п(п, то совокупность (3.2) дополняется случайными величинами П,=-5ь 1=т+1, ..., и; решается задача при равном числе исходных и преобразованных случайных величин, а искомая плогность К (у'"1) находится интегрированием ч1 Иг, (У"1) по пеРеменным У чь ..., У„. Если т)п, то слУчайные ч1 величины и +о и„+~, ..., т1 связаны функциональными зависимостями с т)"ь т.
е. и;=Фу(т)"1), 1=а+1, ..., т. Тогда искомая плотность (3.3) и'ч (У) = гв1 (ф (У)) ~ 44 й"ч~~ ( у1) = 1(гчп ( у"),' П б (Ь+ь — Ф» ( у")). 'ь-~ 3.1.2. Монотонное преобразование одной случайной величины. Рассмотрим сначала простейшую задачу, сформулированную в п. 3.1.1. Задана плотность вероятности юе (х) случайной величины $ и необходимо определить плотность вероятности 1Р'ч(у) случайной величины П=~($).
Предположим, что функция )(х) дифференцируема и преобразование У=Г(х) монотонное, т. е. существует единственная обратная функция х=<р(у). Если Ну/пх)0, н следовательно, байр(у)~ЫУ)0, то событии ~)(у и ф~х=~(у) эквивалентны. Поэтому Р(П~у) =~я (у) =~, (р(у)) =Р($~ р(у)), откуда следует у ч (И )Ж~(У)~:(У- ) ш1(х)б. Дифференцируя обе части последнего равенства по у, получаем йГ (У) = ш1 (ф Ы) (3.4а) Аналогично при ду/йх(0, т. е. при д~(у)/Ну(0, из эквивалентности событий 11 .У и ~)х=~у(У) следУет Рч (У) =1 — Р1(~Р(У)) и (р' (у) = — 1(ф(у)) ((3.4б) ау Объединяя равенства (3.4а и б), получаем Рис.
8.!. Преобразование плотности вероятности при монотонном преобразовании случай. яой величины у у"!у Полезно привести наглядную геометрическую интерпретацию вывода формулы (3.5) (рис. 3.1). Так как преобразование у=1(х) монотонное, то события А: х<$<х+Лх и В: у<«[(у+Лу эк- вивалентны. Вероятность события А равна площади 5, а вероят- ность события  — площади 5п. При достаточно малых Лх и Лу 5 -гпй (х)Лх, 5чж [р'и (у)Лу, 5 =5п.
Переходя к пределу при Лх-э-О, Лу- О, получаем 'оп (у) = аь [ф(у)[1пп — = ег [ф (у)[ а» о й» а» аф (»1 Но при (О правая часть последнего равенства становится и» отрицательной, что невозможно, поскольку. функция плотности поаф 1»1 ложительна. Поэтому для общего случая ~ " О следует брать а» модуль производчой, кака формуле (3.5).
Появление модуля про- изводной при указанном выводе формулы (3.5) не будет казать- ся «подгонкой», если придать интервалам Лх и Лу знак (напра- вление). В дальнейшем при обобщении формулы (3.5) будет ис- пользован геометрический подход. Заметим также, что совместная плотность вероятности слу- чайных величин 5 и т[=[(6) [см. (3.3)) гпйч(х, у) = тай(х) бв(у[х) = юй(х) 6 [у — 1(х)[, откуда следует «\ [[уч(у)= ~тпй(х)6[у — !(х)[г[х=.
)шй[ф(г)[6(у — г)ф'(г)дг. Используя фильтрующее свойство дельта-функции, приходим к формуле (3.5). 8.1.3. Линейное преобразование случайной величины. При ли- нейном преобразовании у=ах+Ь обратное преобразование х=ф(у) = (у †)!а, йр(у)/ду= 1/а, и в соответствии с (3.5) [» — ь~ (3.6) [а[ 'т а Из (3.6) следует, что при линейном преобразовании плотность вероятности исходной случайной величины смещается на значе- 45 (3.8а) ние Ь (вправо нли влево в зависимости от знака Ь) сжимается нли растягивается вдоль оси х в а раз (возможно, с зеркальным отображением относительно оси ординат, если а(0) н сжимается или растягивается вдоль оси у в 1а~ раз.
Например, при линейном преобразовании стандартной гаусг совской случайной величины (ай =О, озй =1) получаем гауссовскую случайную величину, плотность вероятности которой Ьогласно (3.6) (рис. 3.2) Я7и (у) =- ехр ~ — — (у — Ь)а~, (3.7) причем а„, =Ь, оа„=аз. 3.1А. Немонотонное преобразование одной случайной величины. Предположим теперь, что преобразование у=1(х) немонотонное. В этом случае данному значению у соответствует несколько (возможно, счетное число, если 1(х) — периодическая) значений аргумента х, т. е, обратная функция имеет несколько ветвей. Обозначим их через ха=сов(у), Ь=1, 2, ....
Тогда событие В: у(П(у+Ау эквивалентно объединению несовместимых событий А„: ха<в=.ха+Лха, й=1, 2, ... и, следовательно, Р(В) = ~;Р(А,). При достаточно малых Лхм Лу Р (Аа) ж сей (ха) Лха, Р (В) — $Г'ч (у) Л у. (3.86) Подставляя (3.8б) в (3.8а) и переходя к пределу при Лхз-+-О, Лу-+-О, получаем с учетом замечания о модуле производной )р (у)= Х 1(т.(у))~ ~'„„" ~. (3.9) 3.1.5. Квадратичное преобразование случайной величины. При квадратичном преобразовании у=х' каждому значению у)0 соответствуя т два значения х, = )Гу и х,= †)l у. Тогда в (3.9) сумма содержит два слагаемых.
Так как Фх~~с(у= (пхг/с(у~ ='1((2Уу), то получаем следующее выражение плотности вероятности квадрата случайной величины и =йз: у) — (~й(~ у)+ (3АО) 46 д х у х уь у Рис. З2. Линейное преобразование гауссовской случайной величины Во всем дальнейшем изложении для краткости не записывается область нулевых значений плотности вероятности (как это ,сделано в (3,10) при у<0). Поэтому если приводится функция лотности распределения с указанием ограничений ее аргумент, то это означает, что в области, где ограничения не выполняю ся, эта функция тождественно равна нулю.
14з (3.10) следует, например, что плотность вероятности квадрата гауссовской случайной величины с параметрами (а, и') Ю1. (У) = ехр( — — (у+па) сЬ( ~," ), у) О. (3.11) При а=О, а'=1, т. е. для плотности вероятности квадрата стандартной гауссовской величины из (3.11) находим (рис. 3.3) Ю'й*(у) = ехр( — — ), у) О. 1 ~ у о р'2ву, 2о' Рис. 3.3. иллюстрирует тот факт, что при нелинейном преобразовании случайной величины кривая плотности вероятности подвергается существенной деформации, которую заранее, вообще говоря, даже трудно предвидеть. 3.1.6. Специальный случай. В приложениях встречается функциональное преобразование следующего вида: ('у, (х), х < х„ 1(х) = У= ( О, хт<х<х„ (,уа (х), х)~ х,. При этом обратная функция х=~р(у) вообще не существует, так как континууму значений х на интервале (хь ха) соответствует одно значение У=О.
Однако, вводя дельта-функцию, можно распространить формулы преобразования плотности вероятности и на указанное преобразование. Пусть функция 1"1(х) — монотонно убывающая, а 1а(х) — монотонно возрастающая. Тогда (рис. 3.4) к, Р (О < т) < у) = Р (хп1 < $ < хт) + и (у) ~ юй (х) дх+ Р (х,< $ < х~а)), а, где хгп(у) и хьп(у) — функции, обратньм 11(х) и уа(х), а и(у)— Рис. 8.8, Квадратичное преобрааоваиие гауссовской случайной величины функция единичного скачка 1см. (2.7)1. Плотность вероятности случайной величины т) =[(й) В'ч(у) = — Р(0( т) ~у) =(ай [х()) (у)) ~ " (У) [+ ке ,4 (2) (у) +6(у) ~ ц)й(х)((х+шй[х(2)(у)) У ~, у~О. (3,13) к, Ыу ! Для линейных функций [~(х) =х) — х, [2(х) =х — х, формула (3.13) преобразуется к виду к, йуч(у)=и)й(х,— у)+ц)й(х +у)+6(у]) (ай(х)((х, у й О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
